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2013重庆一中初2013级12—13学年度上期期末考试数学试题


重庆一中初 2013 级 12—13 学年度上期期末考试 数 学 试 卷
2013.1

(全卷共五个大题 26 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分)在每个小题的下面,都给出了代 号为 A、B、C、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在答题卷中 相应的

位置上. 1.在 ?3,0, ? 3,3 四个数中,最小的数是( A. 3 B. 0 C. ? 3 ) B. (ab)2 ? ab2 C. (a2 )3 ? a6 D. a ? a ? a
2 2

) D .?3

2.下列运算正确的是( A. a ? a ? a
2 2 4

3. 已知一次函数 y ? x ? b 的图像经过一、二、三象限,则 b 的值可以是( A. ? 2 D B.-1 C.0 D.2 ) B D.40° )



E C

4.如图,直线 AB∥ CD,∠ A=70?,∠ C=40?,则∠ 等于 ( E A.20° B.30° C.35°

A (4 题图)

5.下图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是(

A 6. 下列说法正确的是( )

B

C

D

A.随机事件发生的可能性是 50% B.一组数据 2,2,3,6 的众数和中位数都是 2 C.为了解某市 5 万名学生中考数学成绩,可以从中抽取 10 名学生作为样本
2 D.若甲组数据的方差 S甲 ? 0.31 ,乙组数据的方差 S乙 ? 0.02 , 2

则乙组数据比甲组数据稳定 7.如图,⊙ 的直径 CD=20,AB 是⊙ 的弦,AB⊥ 于 M, O O CD OM:OD=3:5.则 AB 的长是 ( A.8 B.12 C.16 ) D.8 21 (7 题图)

8. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成, 其中第①个图形中一共有 6 个矩形,
1

第②个图形中一共有 11 个矩形,??,按此规律,第⑧个图形中矩形的个数为(



??

图① A.38

图② B.41

图③ C.44

图④ D.48

9. 如图, 已知 A、 是反比例函数 y ? B

k (k>0,x>0)图象上的两点, BC∥ 轴,交 y 轴于点 C. x 动 x

点 P 从坐标原点 O 出发,沿 O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为 C.过 P 作 PM⊥ 轴,PN⊥ 轴,垂足分别为 M、N,设四边形 OMPN 的面积为 S,P 点运动时间 x y 为 t,则 S 关于 t 的函数图象大致为( )

10.如图所示,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1, 2) 和 (1, 0) , 下列结论中:①abc ? 0 ;②2a ? b ? 0 ;③(2a ? ⑤3a ? c ? 2 ;其中正确的结论有( A.2 B.3 C.4 )个 D.5

1 2 c) ? b 2 ④a ? 1 ; 2

二、 填空题 (本大题 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)在每小题中,请将答案填在答题 卡相应位置的横线上. 11. 某红外线遥控器发出的红外线波长为 0.000 000 94m, 用科学记数法表示为 12.分解因式: 2 x ? 12 x ? 18x =
3 2

m.

13.如图, ?1 、 ? 2 、 ?3 、 ? 4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角, 若 ?A ? 130? ,则 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ________. 14. 小明用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示 的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥 形小丑帽子的底面半径为 10cm,那么这张扇形纸板的面 积是
24cm

(13 题图)

cm2 .
2

(14 题图)

15.已知平面直角坐标系内 A 、 B 两点的坐标分别为 A(0,0) 和 B (2, 2) ,现有四张正面分 别标有数字-2,0,2 ,4 的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面 朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数记为 x ,将卡片放回后再从中任取一张,将该 卡片上的数字记为 y ,记 P 点的坐标为 P( x, y) ,则以 P 、 A 、 B 三点所构成的三角形为 等腰直角三角形的概率为 .

16.一小船由 A 港到 B 港顺流需行 9 小时,由 B 港到 A 港逆流需行 12 小时.一天,小船从 早晨 6 点 30 分从 A 港出发顺流行至 B 港时,发现一救生圈在途中掉落在水中,就立刻返回 寻找,2 小时后找到救生圈,则救生圈掉入水中的时间为 三、解答题 (本大题 4 个小题,每小题 6 分,共 24 分)解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤.
0 17.计算: ?1 ? ( 2 ? 2013) ?

1 9 ? (? ) ?1 ? 3 tan 30? 2

18.解不等式

5x ? 2 x ? 1 ? ? 1 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 6 3

-5 -4 -3 -2 -1 O

1

2

3

4

5

19.如图,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. A 求证:AD=AE. E

B

D

C

3

20.如图, △ ABC 中, ?C ? 90? , BD ? 4 , AD ? BC , sin ?CAD ? 求 ?ABC 的面积

3 , 5

A

B

D

C

四、解答题 (本大题 4 个小题,每小题 10 分,共 40 分)解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤. 21.先化简,再求值: ( x ? 2 ?

12 4? x 1 2 )? ,其中 x 满足方程 ? . x?2 x?2 x x?3

22. 已知一次函数 y ? kx ? b 与双曲线 y ? B 点横坐标为4. (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象指出不等式 kx ? b ?

4 在第一象限交于 A、B两点,A 点横坐标为 1, x

4 的解集; x

(3)点E是x轴正半轴上一点,过E点作x轴的垂线分别交直线和双曲线于C、D两点,已知△OCD 的面积为1, 求点E的坐标.

4

23.为了充分展示我校学生的精神风貌,加快学生成长成才的步伐,引导和激励广大学生刻 苦学习,学校为了鼓励其中表现突出的同学,每周进行“校园之星”评选活动.初 2014 级对 本年级上学期这五周的获奖人数进行了统计,并制成了如下不完整的折线统计图. (1) 已知该年级这五周获选“校园之星”的平均人数为 5 人, 求该年级这五周获选“校园之星” 人数的中位数,并将折线统计图补充完整. (2)该年级第五周评出的4位“校园之星”中男女同学各有 2 人,校广播站小记者打算从中 随机选出 2 位同学进行采访,请你用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好 是 1 男 1 女的概率. 人数 7 6 5 4 3 2 1 0 第一 周 第二 周 周数 第三 第四 第五 周 周 周

24. 如图,正方形 ABCD 中,M 为 AD 边上的一点,连接 BM,过点 C 作 CN//BM,交 AD 的延长线于点 N,在 CN 上截取 CE=BC,连接 BE 交 CD 于 F , (1)若 ?AMB ? 60? , CE ? 2 3 ,求 DF 的长度; (2)求证:BM=DN+CF

5

25.某大型生活超市销售一种进口奶粉 A,从去年 1 至 7 月,这种奶粉的进价一路攀升,每 罐 A 奶粉的进价 y1 与月份 x ( 1 ? x ? 7 ,且 x 为整数) ,之间的函数关系式如下表 : 月份 x 1 230 2 240 3 250 4 260 5 270 6 280 7 290

y1 (元/千克)

随着我国对一些国家进出口关税的调整,该奶粉的进价涨势趋缓,在 8 至 12 月份每罐奶粉 A 的进价 y2 与月份 x ( 8 ? x ? 12 ,且 x 为整数)之间存在如下图所示的变化趋势. (1)请观察表格和图像,用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识分别直 接写出 y1 与 x 和 y2 与 x 的函数关系式. (2)若去年该奶粉的售价为每罐 360 元,且销售该奶粉每月必须支出(除进价外)的固定 支出为 4000 元,已知该奶粉在 1 月至 7 月的销量 p1(罐) 与月份 x 满足: p1 ? 30x ? 240 ; 8 月至 12 月的销量 p2 (罐)与月份 x 满足: p2 ? ?30 x ? 750 ;则该奶粉在第几月销售时, 可使该月所获得的利润最大?并求出此时的最大利润. (3)今年 1 月到 4 月,受到国际方面因素的影响,该进口奶粉的进价进行调整,每月进价 均比去年 12 月的进价上涨 15 元,且每月的固定支出(除进价外)增加了 15%,已知该进 口奶粉的售价在去年的基础上提高了 m% ( m <100) ,与此同时每月的销量均在去年 12 月 的基础上减少了 0.2m% ,这样销售下去要使今年 1 至 4 月的总利润为 122000 元,试求出

56 ( ( 53 m 的值. m 取整数值) 参考数据: 2 ? 2809, 542 ? 2916 , 552 ? 3025 , 2 ? 3136 )

y2

(元/千克)

315 305 295 O

.

.

.

.

.

8 9 10 11 12 x(月)

6

26. 已知,Rt ?ABC 和 Rt ?ADE 中,?ABC ? ?ADE ? 90? , ?CAB ? 30? , ?DAE ? 60? , AD=3,AB= 6 3 ,且 AB,AD 在同一直线上,把图 1 中的 ?ADE 沿射线 AB 平移,记平 移中的 ?ADE 为 ?A DE (如图 2) ,且当点 D 与点 B 重合时停止运动,设平移的距离为 x .
'

(1)当顶点 E 恰好移动到边 AC 上时,求此时对应的 x 值; (2)在平移过程中,设 ?A DE 与 Rt ?ABC 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 x 之间
'

的函数关系式以及相应的自变量 x 的取值范围; (3)过点 C 作 CF//AE 交 AB 的延长线于点 F,点 M 为直线 BC 上一动点,连接 FM,得到

?MCF ,将 ?MCF 绕点 C 逆时针旋转 60? ,得到 ?M 'CF ' (M 的对应点为 M ' ,F 的对应
点为 F ) 问 ?FMM 的面积能否等于 3 ?若能, , 请求 AM 的长度, 若不能, 请说明理由.
' ' '

图1

图2

备用图

命题人:刘毅 审题人:李兰

7

重庆一中初 2013 级 12—13 学年度上期期末考试 数 学 答 案
一.选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

C

D

B

A

D

C

B

A

A

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 9.4 ?10 ; 14. 240? ; 三、解答题(共 24 分) 17.解:原式= 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? = ?5 ? 3
?7

12. 2 x( x ? 3)2 15.



13. 310? 16. 13 点 30 分

3 ; 8

3 ??????????????5 分 3
??????????6 分

18.解:去分母,得: 5 x ? 2 ? 2( x ? 1) ? 6 ????????????3 分 ????????????4 分 x?2 ??????????????5 分 图略 ?????????????6 分 19. 解:∵ AB ? AC ,点 D 是 BC 的中点 ∴∠ADB=90°??????????2 分 又 AE⊥BE ∴∠ADB=∠E=90° ??????????3 分 ?EAB ? ?DAB ∵AB 平分∠DAE ∴ 又 AB=AB ∴ ?ABE ? ?ABD ??????????5 分 ∴AE=AD ??????????6 分 20. 解:设 AD ? BC ? x ,∴ CD ? x ? 4 在 Rt△ACD 中,sin∠CAD= ∴ AD ? BC ? 10 ,CD=6 ∴ AC ? ∴ S ?ABC ? 去括号,得: 5 x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 6

CD AD



3 x?4 ? 5 x

∴ x ? 10

??????????4 分

AD2 ? CD2 ? 8
1 ? 8 ?10 ? 40 ??????????????????6 分 2

四、解答题(共 40 分) 21. 解:原式 ? (

x 2 ? 4 12 x?2 ? )? ????????????3 分 x?2 x?2 4? x

8

?

x 2 ? 1 6 x ? 2 ( x ? 4 ) x? ( ? ? x?2 4? x x?2

4) x ? 2 ? ? (x ? 4 )

? ?x ? 4 ????????????7 分 1 2 ∵ ? ∴ x ? 3 ? 2x ∴x ?3 ?????8 分 x x?3 经检验: x ? 3 是原方程的解. ?????9 分 ∴当 x ? 3 时,原式 ? ?3 ? 4 ? ?7 . ???????10 分
22.解:(1)设 A(1,a),B(4,b) ∵A,B 都在双曲线 y ? ∴a ? 4 ,b ?1 ∴A(1,4) B(4,1) 现将A,B代入到y=kx+b中 得: ?

4 上 x

?k ? b ? 4

?k ? ?1     ? ?4k ? b ? 1 ?b ? 5
∴直线AB的解析式为: y ? ? x ? 5 ......3分

(2) 1 ? x ? 4 或 x ? 0 (3)∵ S?COD ? 设 E ( a, 0) ∴

......5分

1 CD ? OE ? 1 2
,a ? 0 则 yC ? ?a ? 5
2

; yD ?

4 a

1 4 (?a ? 5 ? ) ? a ? 1 2 a ∴ a ? 2或a ? 3
∴ E1 (2,0)

化简得: a ? 5a ? 6 ? 0

E2 (3,0)

......10 分

23.解: (1)设该年级第三周的获奖人数为 x 人.则

5?6? x?6?4 ?5. 5

解得 x ? 4 . ???????2 分 ∴该年级这五周获选“校园之星”人数的中位数为 5 人.???3 分 补图如下: 人数 7 6 5 4 3 2 1 0 第一 周 第二 周 周数 第三 第四 第五 周 周 周 ???4 分

9

(2)设 A1 、 A2 为男同学, B1 、 B2 为女同学.画树状图如下: A2 B1 A1 A2 或列表: B1 B2 A1 B1 B2 A1 A2 B2 A1

B2 A2 B1

A1
A1

A2

B1

B2

( A1 , A2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A2 , A1 ) ( B1 , A1 ) ( B1 , A2 ) ( B2 , A1 ) ( B2 , A2 ) ( B2 , B1 ) ?????8 分 ( A2 , B1 ) ( A2 ,B2 ) ( B1 , B2 )

A2

B1
B2

所以,所选两位同学恰好是 1 男 1 女的概率为 P ? 24、 (1)∵CE=BC ∴ ?1 ? ? 2 ∴ ?2 ? ?3

8 2 ? . ???10 分 12 3

? CN / / BM 1 1 ∴ ?1 ? ?3 ? ?MBC ? ?AMB ? 30? 2 2 CF 在 Rt△ACF 中,tan∠1= BC
∴ CF ? 2 3 ?

3 ?2 3
∴ DF ? CD ? CF ? 2 3 ? 2 ???5 分

又 BC ? BE ? CD ? 2 3

(2)过点 C 作 CG ? BE 交 AD 于点 H, ?1 ? ? 4 , BC=CD, ?BCF ? ?CDH ? 90? ∴ ?BCF ? ?CDH ∴ CF ? HD

? ?CHN ? 90? ? ?4 ?ECG ? 90? ? ?2 ? 90? ? ?1 ? 90? ? ?4 ∴ ?CHN ? ?ECG ∴ CN ? HN 又易证 四边形 MBCN 为平行四边形 ∴ BM ? CN ? HN ? DN ? HD ? DN ? CF ???10 分
五、解答题(共 22 分) 25.(1) y1 =10 x +220.????1 分

y2 =5 x +255.????2 分
(2)设:利润为 W 元. 当 1≤ x ≤7 时,

10

W1 ? (360 ? 10 x ? 220) ? (30 x ? 240) ? 4000

? ?300 x2 ? 1800 x ? 29600 b 1800 ? ? ? ? 3. 2a ?600 ∴当 x =3 时,W1 有最大值, Wmax =32300 . ????4 分 当 8≤ x ≤12 时, W2 ? (360 ? 5x ? 255)(?30 x ? 750) ? 4000 2 =150 x -6900 x +74750.
∵?

b ?6900 ? ? ? 23 ,又 x ? 23 , 2a 300

∴W2 随 x 增大而减小,∴ x =8 时,W2 有最大值, Wmax =29150. ∴在第 3 月时,可获最大利润 32300.???????????????????6 分 (3)

4 ? [360 ? m%) ? (315 ? 15)] ? (?30 ? 12 ? 750)(1 ? 0.2m%) ? 4 ? 4000 ? 15%) (1 (1
=122000 令 m %= t ,原方程化为 (1 ? 12t)(1 ?

1 t) ? 3 ? 0 . 5

整理得 12t ? 59t ? 10 ? 0
2

∴t ?

59 ?

3001 59 ? 55 . ? 24 24

4 1 114 ? ? 16.7%,t2 ? ? 475% . 24 6 24 ∴ m1 ≈17, ∴ m =17.?????10 分 m2 =475(舍). t1 ?
26、解: (1) x ? 3 3 ? 3 ? 3 ? 12 (2) 0 ? x ? 3 , S ?

3 2 x 8 3 2 3 x ? 3x ? 3 24 2

3? x ?6 3,S ? ?

13 3 2 111 3 x ? (18 ? 3) x ? 24 2 3 2 99 3 x ? 18 x ? 12 ? x ? 6 3 ? 3, S ? ? 2 2

6 3 ? x ? 12 , S ? ?

(3)①设 CM ? CM ? x
'

C M'

S?FMM ' ? S?FCM ' ? S?FCM ? S?MCM '
F

M

11

B

F'

A

=

1 1 3 2 x?4 3 ? x?2 3 ? x ? 3 2 2 4
2

化简得: x ? 4 x ? 4 ? 0 ②设 CM ? CM ? x
'

∴x ? 2

∴ AM ? 12 ? 2 ? 10
'

C M'

S?FMM ' ? S?FCM ? S?MCM ' ? S?FCM '
1 3 2 1 = x?2 3 ? x ? x?4 3 ? 3 2 4 2
化简得: x ? 4 x ? 4 ? 0
2

M F B F' A

∴ x ? 2 ? 2 2 (舍负) ∴ x ? 2 ? 2 2
M M'

∴ AM ' ? 12 ? (2 ? 2 2) ? 10 ? 2 2 ③设 CM ? CM ? x
'

C

S?FMM ' ? S?MCM ' ? S?FCM ' ? S?FCM
=

3 2 1 1 x ? x?4 3 ? x?2 3 ? 3 4 2 2
2

F

B

F'

A

化简得: x ? 4 x ? 4 ? 0

∴ x ? ?2 ? 2 2 (舍负) ∴ x ? ?2 ? 2 2

∴ AM ' ? 12 ? (?2 ? 2 2) ? 10 ? 2 2 ∴ AM 的值为 10 或 10 ? 2 2 或 10 ? 2 2
'

?????12 分

12


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