湖南省2011个数学竞赛试题

1．如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部，试问：在允许将抛 物线平移或旋转的条件下，平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面？请 作出判断，并证明你的结论。 解：不能。证明如下： 因为每条抛物线有一条对称轴，所以 2011 条抛物线至多有 2011 条对称轴。 在下面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线 l ，则直线 l 和至多 2011 条 对称轴相交得 2011? 2 个交点。 这至多 2011? 2 个交点将直线 l 截割成若干段， 其中 2 条为射线， 其它的为线 段，位于抛物线内部的至多只有 2011 条线段。 所以，抛物线不能盖住平面上的直线 l ，当然不能盖住整个平面。

? 2 1? 2． 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ?1? a ? R ? 区间 ? ? , ? ? 内为减函数，在区间 ? 3 3? ? 1 ? ? ? , ?? ? 内为增函数，则 a ? ? 3 ?

。

1 解：2（提示：由题设知 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 ，且 x ? ? 是函数 f ( x) 的极值 3 1 2 4 点，即 f ?(? ) ? ? a ? ? 0 ，解得 a ? 2 。 ） 3 3 3

3．设 A 、 B 是两个集合，称 ? A, B ? 为一个“对子” 。当 A ? B 时，将 ? A, B ? 与 。满足条件 A ? B ? ?1, 2,3, 4? 的不同的对子 ? A, B ? 的个 ? B, A? 视为不同的“对子” 数为 。

解：81（提示：当集合 A 中没有元素，即 A ? ? 时， B 中有 4 个元素，有 1 种情形； 当集合 A 中含有 1 个元素时，集合 B 中含有除这个元素外的另外 3 个元
1 素，集合 A 中含有的元素 B 中可有可无，共有 C4 ? 2 ? 8 种情形；当集合 A 中含有

2 个元素时，集合 B 中含有除这 2 个元素外的另外 2 个元素，集合 A 中含有的元
2 素 B 中可有可无，共有 C4 ? 22 ? 24 种情形；当集合 A 中含有 3 个元素时，集合 B

中含有除这 3 个元素外的另外 1 个元素， 集合 A 中含有的 3 个元素 B 中可有可无，

3 共有 C4 ? 23 ? 32 种情形； 当集合 A 中含有 4 个元素时，集合 B 中可有可无集合 A 4 中 的 元 素 ， 共 有 C4 ? 24 ? 16 种 情 形 。 综 上 可 知 。 共 有 “ 对 子 ” 的 数 目 为

1 ? 8 ? 2 4? 3 2? 1 6 。 ? 8） 1

4．设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? m ? m ? R ? ? ，若 f (t) ? 0 ，则你对函数 y ? f ( x) 在区 间 ?t, t ?1? 中零点存在情况的判断是 。

解：至少存在一个零点（提示：因为 f (t ) ? 0 且 m ? 0 ，则 f ( x) ? x2 ? x ? m 的 图象与 x 轴有两个交点 A 、 B ，设横坐标分别为 x1 、 x2 且 x1 ? x2 ，由条件得
? x1 ? t ? x2 , ? ? x1 ? x2 ? ?1, ? x x ? m ? 0. ? 1 2
f ( ? t 1 ? )? ?
2

故

有

?1 ? x1 ? t ? x2 ? 0

，

t ?1 ? 0

，

于

是

t??

?1

? t ，即 f (t ) f?t ?1) 0?0 ，函数 y ? f ( x) 在区间 ?t, t ?1? ?1 m ( ?

中至少存在一个零点。 ）

5．已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P ? x0 , y0 ? 满足 2

0?

x0 2 ? y0 2 ? 1，则 PF1 ? PF2 的取值范围是 2

。

x2 解：? 2, 2 2 ?（提示： 0 ? 0 ? y0 2 ? 1可知点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C 的内部 由 （含 ? ? 2

边界） ，故 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 2 。 ）

6．已知由 ?ABC 的顶点 A 引出的两条射线 AX 、 AY 分别交 BC 于点 X 、 Y 。
求证： AB2 ? CY ? CX ? AC 2 ? BX ? BY 成立的充要条件是 ?BAX ? ?CAY 。 证明： （先证充分性）

若 ?BAX ? ?CAY ，设 ?BAX ? ?CAY ? ? ，?XAY ? ? ，又作 ?ABC 的高 AD ，
垂足为 D ，则

由此得 同理 由①×②得

1 1 AB ? AX ? sin ? BX ? AD S ?ABX ? 2 ? 2 1 1 S ?ACY ? AC ? AY ? sin ? CY ? AD 2 2 AB ? AX BX ? AC ? AY CY AB ? AY BY ? AC ? AX CX
AB 2 BX ? BY ? AC 2 CY ? CX
AB2 ? CY ? CX ? AC 2 ? BX ? BY 。

① ②

变形整理，即得
（再证必要性）

作 ?ABC 的高 AD ，垂足为 D ，不妨设 ?BAX ? ? ， ?CAY ? ? ， ?XAY ? ? ，则

S ?ABX S ?ACY
所以

1 1 AB ? AX ? sin ? BX ? AD 2 2 ? ? 1 1 ? AC ? AY ? sin ? CY ? AD 2 2
③

AB ? AX ? sin ? BX ? AC ? AY ? sin ? CY AB ? AY ? sin(? ? ? ) BY ? AC ? AX ? sin(? ? ? ) CX

同理

④

由①×②得

AB2 ? sin ? ? sin(? ? ? ) BX ? BY ? AC 2 ? sin ? ? sin(? ? ? ) CY ? CX
BX ? BY AB 2 ? CX ? CY AC 2
s i n ? s i n ( ? ? ) ? s i n ? s i n?( ? ? ) ? ? ?

由题设得 两式联立得 即

s i n ? ( s i? c o ? ? c o ? s i n ) ? s i n ? ( s i ? c o ? ? c o ? s i n ) ? n s s ? ? n s s ?

所以

?s i n ? ? s i n ? ?c o ? ? ( s i? c o ? ? s i n c o ? ) s i n ? 0 s n s ? s ?
2 2

?s i n ? s i n ??s i n ? s i n ? c o s ? 1 ( s i 2? ? s i n ? ) s i n ? 0 ? ? ? ? ? n 2 ?
2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

2

? cos ? ?

1 2? ? 2? 2? ? 2? ? 2 cos sin ? sin ? ? 0 2 2 2

即

?? ?? ?? s i n ? ? ? ? s i n ? ? ? ? c o ? ? c o ?s ? ? ? ? s i n ? ? ? ? s i n ? 0 s ? ? ?? ?? s i n ? ? ??s i n ? ? ?c o ? ? c o ?s ? ? ?s i n ? ? 0 s ? ?

所以

?? ?? s i n ? ? ?? s i n ? ? ? ? ? ? 0

因为 ? ? ? ? ? ? ?BAC 且 ?BAC 是 ?ABC 的一个内角，所以 sin?? ? ? ? ? 0 ， 则? ? ? 。 所以 ?BAX ? ?CAY 。