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个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲


1、数学竞赛考纲

二试
1、平面几何 基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的 平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求 n 次迭代,简单的函数方程。 n 个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧 几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及 其性质。 3、立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它 抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理托勒密定 理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。

一、 1. 梅涅劳斯定理

平面几何

梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它 指出:如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点,那么 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或:设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直 线上,则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明:当直线交△ABC 的 AB、BC、CA 的反向延长线于点 D、E、F 时, (AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1 逆定理证明: 证明:X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上,则 X、Y、Z 共线的充要 条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

证明一
过点 A 作 AG∥BC 交 DF 的延长线于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二
过点 C 作 CP∥DF 交 AB 于 P,则 BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

证明四
过三顶点作直线 DEF 的垂线,AA‘,BB',CC' 有 AD:DB=AA’:BB' 另外两个类似, 三式相乘得 1 得证。如百科名片中图。 ※ 推论 在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点,又分比是 λ=BL/LC、 μ=CM/MA、 ν=AN/NB。 于是 AL、 BM、 三线交于一点的充要条件是 λμν=-1。 CN (注意与塞瓦定理相区分,那里是 λμν=1) 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图:若 E,F,D 三点共线,则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1 即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用

证明:可用面积法推出:第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O,且 EDF 共线,则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠ DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O 不与点 A、B、C 重合) 梅涅劳斯球面三角形定理 在球面三角形 ABC 中, 三边弧 AB, BC, CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于 P,Q,R 弧 弧 三点,那么(sin 弧 AP/sin 弧 PB)×(sin 弧 BQ/sin 弧 QC)×(sin 弧 CR/sin 弧 RA)=1[ ※意义 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算, 其逆定理还是可以用来解决三点 共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有 重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。 2.赛瓦定理 在△ABC 内任取一点 O, 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

※ 推论 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA) /[(CD*cotB)]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1,所以三条高 CD、AE、BF 交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点(重心):如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中点 所以 BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 ,所以三角形三条中线交于一点,即为重心用塞 瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 此外,可用定比分点来定义塞瓦定理:

在△ABC 的三边 BC、 CA、 或其延长线上分别取 L、 N 三点, AB M、 又分比是 λ=BL/LC、 μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是 AL、BM、CN 三线交于一点的充要条件是 λμν=1。(注意与 梅涅劳斯定理相区分,那里是 λμν=-1) 1.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是: (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 2.如图,对于圆周上顺次 6 点 A,B,C,D,E, F,直线 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是: (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所 对圆周角关系易证。 3 托勒密定理

定理的内容

托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边

形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文: 圆的内接四边形中, 两对角线所包矩形的面积等于 一 组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面 积之和。 从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公 式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关 于共圆性的基本性质.

定理内容: 指圆内接凸四边形两对对边 乘积的和等于两条对角线的乘积
一、 (以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。 ) 在任意凸四边形 ABCD 中(如右图),作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接 DE. 则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即 BE· AC=AB· (1) CD

由△ABE∽△ACD 得 AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠ EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即 ED· AC=BC· (2) AD (1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB· CD+AD· BC 又因为 BE+ED≥BD (仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 复数证明 用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数,则 AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a?b)(c?d) + (a?d)(b?c) = (a?c)(b?d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与 (a-d)(b-c)的辐角相等,这与 A、B、C、D 四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上, 托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在 AB 上,∠ADB = ∠ACB。 在 AC 上取一点 K, 使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠ CBD + ∠ABD, 所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK 与△DBC 相似, 同理也有△ABD ~ △ KBC。 因此 AK/AB = CD/BD,且 CK/BC = DA/BD; 因此 AK· = AB· BD CD,且 CK· = BD BC· DA; 两式相加,得(AK+CK)· = AB· + BC· BD CD DA; 但 AK+CK = AC,因此 AC· = BD AB· + BC· CD DA。证毕。

推论
1.任意凸四边形 ABCD, 必有 AC·BD≤AB·CD+AD·BC, 当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积, 则这个凸四边形内接于一圆、

4、西姆松 西姆松定理是一个几何定理。表述为:过三角形外接圆上异于
三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。(此线常称为西姆松 线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线, 则该点在此三角形的外接圆上。

西姆松定理说明

相关的结果有:

(1)称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点,且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点 P 对应两者的西姆松线的交角,跟 P 的位置无关。 (4) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 (5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线 证明一:△ABC 外接圆上有点 P,且 PE⊥AC 于 E,PF ⊥BC 于 F,PD⊥AB 于 D,分别连 FE、FD、BP、CP. 易证 P、B、D、F 和 P、F、C、E 分别共圆, 在 PBDF 圆内,∠DBP+∠DFP=180 度,在 ABPC 圆内 ∠ABP+∠ACP =180 度,∠ABP=∠ECP

于是∠DFP=∠ACP ①,在 PFCE 圆内 ∠PFE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠DFP+∠PFE=180° ④ 即 D、F、E 共线. 反之,当 D、F、E 共线时,由④→②→ ③→①可见 A、B、P、C 共圆. 证明二: 如图,若 L、M、N 三点共线,连结 BP,CP,则因 PL 垂直于 BC,PM 垂直于 AC,PN 垂直于 AB,有 B、L、P、N 和 P、M、C、 L 分别四点共圆,有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP. 故 A、B、P、C 四点共圆。 若 A、P、B、C 四点共圆,则 ∠NBP= ∠MCP。因 PL 垂直于 BC,PM 垂直于 AC, PN 垂直于 AB, 有 B、L、P、N 和 P、M、C、L 四点共圆,有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MCP = ∠MLP. 5.费马点 在一个三角形中, 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马 到

点。

费马点定义
(1)若三角形 ABC 的 3 个内角均小于 120° , 那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的 周角。所以三角形的费马点也称为三角形的 等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于 120 度, 则此钝 角的顶点就是距离和最小的点。

费马点的判定
(1)对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+EC 有最小值,则 取到最小值时 E 为费马点。

费马点的计算 (2)如果三角形有一个内角大于或等于 120° ,这个 内角的顶点就是费马点;如果 3 个内角均小于 120° , 则在三角形内部对 3 边张角均为 120° 的点,是三角形 的费马点。

费马点作法(1)平面内一点 P 到△ABC 三顶点的之和为 PA+PB+PC,当点 P 为费
马点时,距离之和最小。 特殊三角形中: (2).三内角皆小于 120° 的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求的费马点. (3).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求的费马点. (4)当△ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合


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