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双曲线复习


双曲线复习 1 双曲线定义: ① 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹
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( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ) 这两个定点叫双曲线的焦点.
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要注意两点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在. ②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点 的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线
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2.双曲线的标准方程:

x y y x ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 b 2 ? c 2 ? a 2 , 2 a b a b
2

2

2

2

2

其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项 的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通 过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程 后,运用待定系数法求解. 双曲线的简单几何性质

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 ⑴范围:|x|≥a,y∈R ⑵对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称 ⑶顶点:轴端点 A1(-a,0) ,A2(a,0) ⑷渐近线:
①若双曲线方程为

y
M1 M2

P

F1 A1 K1

o

K2

A2 F2

x

x2 y2 x2 y2 b ? 2 ?0? y?? x ? ? 1 渐近线方程 ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b ②若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b 2 2 x y x2 y2 ③若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, a b a b ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) ④特别地当 a ? b时 ? 离心率 e ? 2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线
为等轴双曲线,可设为 x ? y ? ? ;y=
2 2

b b x,y=- x a a
2

⑸准线:l1:x=-

a a2 a2 ,l2:x= ,两准线之距为 K1 K 2 ? 2 ? c c c

⑹焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 ) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c

a2 PF2 ? e( ? x) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c
当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质(略)
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x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? (? ? 0) 共渐近线的双曲线系方程是 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ⑻与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 2 a ?k b ?k a b
⑺与双曲线 4.双曲线的内外部

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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, a b a b ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
6. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y ( 2 )过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c .
7.直线与椭圆相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则弦长 AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这里体现了解析几何“设而不求” 2 k k

的解题思想; 题型解析 题型一:双曲线定义问题 1.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 y2 x2 ? ?1 2.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 k ? 3 k ? 3 表示双曲线”的( )

A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. y2 x2 3.给出问题:F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距 16 20 离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1|- |PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正 确结果填在下面横线上. _________. 4.过双曲线 x -y =8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上,若|PQ|=7,F2 是双曲线的右焦点, 则△PF2Q 的周长是 .
2 2

题型二:双曲线的渐近线问题

y2 x2 - =1 的渐近线方程是( ) 4 9 3 2 9 4 A. y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x 2 3 4 9 2 x 2.过点(2,-2)且与双曲线 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是( ) 2 2 2 2 2 y y y2 y2 x x x2 x2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 2 4 4 2 4 2 2 4 题型三:双曲线的离心率问题
1.双曲线
2 2 1.已知 F1 , F2 是双曲线 x ? y ? 1, (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 2 2

a

b

双曲线的左支交于 A、B 两点,若 ?ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A.

2

B.

3
x2 ?
2

C. 2

D. 3

2.过双曲线 M: 别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.
10 3

y ?1 b2 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分
)
1

D.

5 2

3.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 2 ,则该 双曲线的离心率为( )
2 2 A.

B. 2
2 2

C. 2

D. 2 2

x y ? 2 ?1 2 b 4..已知双曲线 a (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)

题型四:双曲线的距离问题

x2 y2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别 9 a2 是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9
1.设 P 是双曲线

2.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交 12 4
? 3 3 3 , 3 ]

点,则此直线斜率的取值范围是 A.( B. (- 3 , 3 ) C.[ D. [- 3 , 3 ] 题型五:轨迹问题 1.已知椭圆 x2+2y2 =8 的两焦点分别为 F1、F2,A 为椭圆上任一点。AP 是⊿AF1F2 的外角平 分线,且 AP ? F2 P =0.则点 P 的轨迹方程是 . 2 2 2.双曲线 x -y =4 的两焦点分别为 F1、F2,A 为双曲线上任一点。AP 是∠F1AF2 的平分 线,且 AP ? F2 P =0.则点 P 的轨迹是 A.椭圆的一部分
2

?

3 3 3 , 3 )


2

) D.抛物线的一部分
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B.双曲线的一部分
2 2

C.圆的一部分

3 求与圆 ( x ? 3) ? y ? 1 及 ( x ? 3) ? y ? 9 都外切的动圆圆心的轨迹方程

例题解析 1.已知 F1 , F2 是双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P、Q 为右支上的两点,直线 PQ 过 F2 ,且 2
)

倾斜角为 ? ,则 PF 1 ? QF 1 ? PQ 的值为 ( A 4 2
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B8
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C 2 2
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D 随 ? 的大小变化
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2.过双曲线 2x ? y ? 2 ? 0 的右焦点作直线 l 交曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4 则这样的直
2 2

线存在 ( A 0条
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) B 1条
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C 2条
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D 3条
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3. 直线 y ? ?
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x x y2 1 x ? 5 与曲线 ? ? 1 的交点个数是 ( 3 9 25
C 2个
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)

A 0个
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B 1个
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D 3个
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4. P 为双曲线
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x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1 上一点, F1 为一个焦点,以 PF 1 为直径的圆与圆 x ? y ? a 的 2 a b
( ) C 内切或外切
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位置关系为
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A 内切 B 外切
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D 无公共点或相交
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5. 设 F1 , F2 是双曲线
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x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ,则 4
( )

?PF1 F2 的面积为

A 1
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B

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5 2

C 2
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D

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5

6. 设 F1 , F2 是双曲线
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x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积为 1 时, 4

PF1 ? PF2 的值为( )
A 0
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B 1
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C

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1 2

D 2
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7. 过点 A(0,2)可以作___条直线与双曲线 x2-
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y2 =1 有且只有一个公共点 4
( )

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x2 y2 过点 P(4,4)且与双曲线 - =1 只有一个交点的直线有 16 9 A.1 条 B.2 条 C.3 条
2

D.4 条

8. 已 知 A ( 3 , 2 ) ,M 是双曲线 H: x ?

y2 ? 1 上 的 动 点 , F2 是 H 的 右 焦 点 , 求 3

AM ?

1 MF2 的最小值及此时 M 的坐标。 2

y2 9.P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 上的 15 点,则|PM|-|PN|的最大值为________. .10.直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C: 2 x ? y ? 1的右支交于不同的两点 A、B。
2 2

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值。若不存在,说明理由。

11.已知两定点 F 1 (? 2,0), F 2 ( 2,0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求k的取值范围; ( Ⅱ ) 如 果 AB ? 6

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 3 ,且 曲 线 E 上 存 在 点 C , 使 O A 求 ? O? B m, O C

m的值和?ABC的面积S 。

课后作业: 1. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 , 0) ,直线 y=x - 1 与其相交于 M 、N 两点, MN中点的横坐标为﹣

2 ,则此双曲线的方程是 3

x2 y2 ? A. =1 3 4
6 2

x2 y2 ? B. =1 4 3
6 3 3 3

x2 y2 ? C. =1 5 2

x2 y2 ? D. =1 2 5

2.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为 A. 3 B. C. D.

3、已知双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, a2 b2 a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 2
B.45? C.60? D.90?

△OAF 的面积为 A.30?

4 、 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) , P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 , 且

PF1 ? PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ?1 A. 2 3 3 2
x2 ? y2 ? 1 C. 4 y2 ?1 D. x ? 4
2

x2 y2 5、已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 a b
MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

6. 直线 y=x+3 与曲线 ?

xx 4

?

y2 =1 的交点的个数是( ) 4

(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 7.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离是 2 ,则 a+b 的值 为( ) 。 (A)-
1 1 1 1 (B) (C)- 或 (D)2 或-2 2 2 2 2

x2 y2 8.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂 a b 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) ( B.(1,2) ) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2)

x2 2 9.设 P 为双曲线 4 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹

方程是



10.求与圆 A: (x+5)2+y2=49 和圆 B: (x-5)2+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为 ________________
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11.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

12.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.


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