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高中数学专题讲义(2)


二、课本回顾 (必修 5 第 24 页第 6 题)如图 , 已知 ∠ A 为定角 , P , Q 分别在 ∠ A 的两边上 , PQ 为定长 . 当 P , Q 处于什么位置时 , △ APQ 的面积最大?

【变式题】当 P , Q 处于什么位置时 ,△ APQ 的周长最大? 三、拓展提升 如图,海岸线 MAN , ?A ? 2? , 现用长为 l 的拦网围

成 一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC ? l , 求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D , 使 BD ? DC ? l ,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B、C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值. 解:(1)设 AB ? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0. l 2 ? x 2 ? y 2 ? 2xy cos 2? ? 2xy ? 2 xy cos 2? ,

xy ?

l2 l2 1 1 l2 l 2 cos ? , , ? S ? xy sin 2 ? ? ? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 2cos 2? 4sin 2 ? 2 2 4sin 2 ? 4sin ?

所以,△ ABC 面积的最大值为

l 2 cos ? ,当且仅当 x ? y 时取到. 4sin ?

(2)设 AB ? m, AC ? n(m,n 为定值). BC ? 2c (定值) , 由 DB ? DC ? l ? 2a , a=

1 1 l, 知点 D 在以 B 、C 为焦点的椭圆上,S ?ABC ? mn sin 2? 为 2 2

定值. 只需 ?DBC 面积最大,需此时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.

b ? a2 ? c2 ?

l2 1 l2 ? c 2 , S?BCD 面积的最大值为 ? 2c ? b ? c ? ? c2 , 4 2 4

1 l2 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 m ? n ? sin 2? ? c ? ? c2 . 2 4

(3)先确定点 B、C,使 BC ? l . 由(2)知 ?DBC 为等腰三角形时,四边形 ACDB 面积最大. 确定△BCD 的形状,使 B、C 分别在 AM、AN 上滑动,且 BC 保持定值, 由(1)知 AB=AC 时,四边形 ACDB 面积最大. 此时,△ACD≌△ABD,∠CAD=∠BAD=θ ,且 CD=BD= S= 2 S ?ACD ? 2 ?

l . 2

1 ? AC ? AD ? sin ? . 2
? ? 2 2 l 4 tan

由(1)的同样方法知,AD=AC 时,三角形 ACD 面积最大,最大值为 1 l

?
2

.

所以,四边形 ACDB 面积最大值为

l2 8 tan

? 2

.

【变式题】如图,已知 ?POQ ? ? 为定值,,过定点 M 引线 段 AB ,分别交 OP 、 OQ 于 A, B . (1)求证:当 MA ? MB 即 M 是线段 AB 中点时,△ OAB 的面积最小; (2)△ OAB 是以 O 为顶点的等腰三角形时,截线段的乘积 MA ? MB 最小. 命题意图:考查学生处理基本不等式的能力 解析: (1)过点 M 作 MC ??OB, MD??OA 设
A

P

M O θ B Q

MA b? a ? ? , OA ? a, OB ? b ,则 CM ? ,同理 CM ? , MB 1? ? 1? ?

SOAB SOCPD

1 OA ? OB ? sin ? (1 ? ? ) 2 2 ? ? ?2, OC ? OD ? sin ? 2?

当且仅当 ? ? 1 ,即 M 是线段 AB 中点时,△ OAB 的面积最小. (2)设 ?OAB ? ? 在△ MAC 、△ MBD 中,由正弦定理得 MA ?

sin ? sin ? ? MC , MB ? ? MD , sin ? sin(? ? ? )

那么 MA ? MB ?

sin 2 ? 2sin 2 ? ? MC ? MD ? ? MC ? MD sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos(? ? 2? )
2sin 2 ? ? MC ? MD ? 2(1 ? cos ? ) MC ? MD . cos ? ? 1

所以 MA ? MB ?

当 cos(? ? 2? ) ? ?1, ? ?

? ??
2

时取等号,此时△ OAB 是以 O 为顶点的等腰三角形,

MA ? MB 最小.
如右图,在梯形 ABCD 中,DA=AB=BC=

1 CD=1.点 P 在阴 2

BD 的 取 值 范 围 是 影 区 域 ( 含 边 界 ) 中 运 动 , 则 AP·
. [?

3 3 , ] 2 2

3、如图,线段 AB 长度为 2 ,点 A, B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限内作矩形

ABCD , BC ? 1 ,O 为坐标原点,则 OC OD 的取值范围是
.

?1,3?
cos B cosC ? AB ? ? AC ? 2m AO , sin C sin B

7、已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, ?A ? ? ,若 则m? (用 ? 表示)

8、O 是△ABC 所在平面上一定点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? 则点 P 形成的图形一定通过△ABC 的 变式:题中点 P 满足条件改为: OP ? OA ? ? ? 形一定通过△ABC 的

? AB AC ? ? ,? ? [0, ??) , ? ? AB AC ? ? ? ? ? ,则点 P 形成的图 AC sin C ? ? AC

(填外心、内心、重心、垂心)

?

AB

? AB sin B ?

?

(填外心、内心、重心、垂心)

9、△ABC 的面积为 1,三角形内点 P 满足 AP ?

1 2 AB ? AC ,则△PAC 的面积为 3 5

.

解法 1 如图 1,作 OE∥AC 交 AB 于 E,作 OF∥AB 交 AC 于 F. 由正弦定理,得

AE AO AO . ? ? sin AOE sin AEO sin A

A E O B D 图1 C F

? ? 又∠AOE=∠OAF= ? ?ADC = ? ?B , 2 2

AO cos B AB AO cos B ? ,所以 AE ? . sin A AB sin A AO cos C AC ? 同理, AF ? . sin A AC

所以 AE ?

因 AE ? AF ? AO ,故 因 即

AO cos B AB AO cos C AC ? ? ? ? AO . sin A AB sin A AC

AB AC cos B cos C ? ? 2 AO ,故上式可化为 AB ? AC ? AO , sin C sin B 2sin A sin C 2sin A sin B cos B cos C AB ? AC ? 2sin A ? AO ,所以 m=sinθ. sin C sin B cos B cos C AB ? AC ? 2mAO 两边同乘以 2 AO ,得 sin C sin B

解法 2 将等式

cos B cos C cos B AB2 cos C AC 2 . AB2 ? AC 2 ? 4mAO2 ,即 m ? ? ? ? sin C sin B sin C 4 AO2 sin B 4 AO2
由正弦定理,得 m=

cos B 2 cos C 2 sin C ? sin B =cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sinθ. sin C sin B cos B cos C AB ? AC ? 2mAO 两边平方,得 sin C sin B

解法 3 将已知等式

cos2 B cos2 C cos B cos C AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 4m2 AO2 . 2 2 sin C sin B sin C sin B
由正弦定理,得 m2= cos2 B ? cos2 C ? 2cos B cos C cos A = cos2 B sin 2 A ? (cos B cos A ? cos C )2 = cos2 B sin 2 A ? (cos B cos A ? cos( A ? B))2 = cos2 B sin 2 A ? (sin B sin A)2 =sin2A= sin 2 ? . 注意到 m>0,故 m=sinθ. 注 1.本题虽难度较大,但得分率却较高.其主要原因是考生利用了特值法,令△ABC 为 正三角形,即得 m=
3 ,于是猜测 m=sinθ. 2

2.题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法,解法 1 用的是平面向量基本定理, 从不同侧面表示 AO ;解法 2 与解法 3,是或将向量等式两边同乘某个向量,或将等式两边 同时平方,进而达到去除向量的目的. 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都 有 ai+bj=ak+bl,则
1 2011 ? (ai ? bi ) 的值是 2011 i ?1



解 依题设,有 bn+1-bn=a2-a1=1,从而数列{bn}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. 同理可得,{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,数列{an+bn}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列.

所以,

1 2011 1 2011 ? 2010 (ai ? bi ) = (2011? 3 ? ? 2) =2013. ? 2011 i ?1 2011 2

变式 1 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 ai-bj=ak-bl,则
1 n ? (ai ? bi ) 的值是 n i ?1


1 n ? (ai ? bi ) =3. n i ?1

略解 依题设,有 ai-bj=aj-bi,于是 ai+bi=aj+bj,所以 an+bn=3,

变式 2 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时 都 有 aibj=akbl , 记 cn= n (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ? 是 .
n ?1 bn ?1 a2 ? ? 2 ,故 bn=2n.同理,an= 2 n ?1 ,通项公式为 3 ? 2 2 . bn a1

? (an ? bn ) , 则 数 列 {cn} 的 通 项公 式

略解 由 a2bn=a1bn+1,得

6.(南通、泰州、扬州二模)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 ,函数 g ( x) ? ax ? 2a ,若存 在 x0 ? R , 使 得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同 时 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____________ ?7,???
2 变式: 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , 函数 g ( x) ? x ? a , 若不存在 x0 ? R , 使得 f ( x0 ) ? 0

与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是________ ?- 3,6? 10. 关于 x 的不等式 (2 x - 1) ? ax 的解集中的整数恰有 2 个,实数 a 的取值范围是 ▲
2 2

_? , ? 11. 已 知

? 9 25 ? ?4 9 ?
1? a ? 6
, 函 数

M ( x) ? e

x ?2 a ?1



N ( x) ? e

x ?a ?1



f ( x) ?

M ( x) ? N ( x) M ( x) ? N ( x) ? 2 2

在区间 ?1,6? 上的最小值为 e ,则实数 a 的取值范围是 年江苏高考题)

?4 , 6 ? (本题改编自

2010

2 二次函数的零点分布问题 例 2-1 . 设 二 次 函 数 f ( x) ? x2 ? ax ? a , 方 程 f ( x) ? x ? 0 的 两 根 x1 和 x2 满 足

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与 0 ? x1 ? x2 ? 1 . 说明理由.

1 的大小.并 16

例 2-2.(07 广东)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间

[ ?11] , 上有零点,求 a 的取值范围.

3 二次函数的最值问题
设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

f ( x) 的最小值;
(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 ....

(3)设函数 h( x) ?

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵 活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 2 2 ? 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) ? ? ? ? 2a ? a min f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

2 2 2 (3)x ? (a, ??) 时,h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,? ? 4a ?12(a ?1) ? 12 ? 8a

当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ? ( x ? )( x ? )?0 ?a? 当? 时,△>0,得: ? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

当 a ? (?

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

当 a ? [?

2 2 a ? 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3

4、 (2011 江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ?

? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,

a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________.
【解析】由题意: 1 ? a1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2 ? q3 ,

?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
而 a2 ? 1 , a1 ? 1 , ?a ,2 a2 1 ? , a22 ? q3 ? a2 ? 2 ? 3 , 的最小值分别为 1, 2, 3; ?qmin ? 3 3 .

本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,考查 抽象概括能力和推理能力,本题属难题. 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ?7, 2

解得 a1 (2)

? ?5 ,d ? 2 ,
am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2 m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

(方法一) 则

8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。 14. 数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? ? 0,1? ,且 a
?

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

n ?1

? an ? 1 , an ? 1 . ? ? ? an ? 2a , a ? 1 n ? n

若对于任意的 n ? N ,总有 an?3 ? an 成立,则 a 的值为 14.设 x、y ? (?2,2) ,且 xy ? ?1 ,则函数

. 1,

,1 2

4 ? 9 的最小值为 12 ▲ . 5 4 ? x2 9 ? y 2

4 ?9 ? y2 ? ? 9 ? 4 ? x 4 9 易 得 ? ? 4 ? x2 9 ? y 2 ? 4 ? x2 ??9 ? y 2 ?

? ? 72 ? ?9x 37 ? ? 9 x
2

?24 y
2

? 4y

2

? ?

2

, 设 t ? 9 x2 ? 4 y 2 , 则

≥12 (当 ,则原式 ? 72 ? t ? 35 ? 1 t≥2 9x2 ? 4 y2 ? 12 (当且仅当 9 x2 ? 4 y 2 时等号成立) 37 ? t 37 ? t 5

且仅当 t ? 12 时等号成立) ; 9.(2012 南通一模) 若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? ? 2? ? 斜率研究)当经过 ? 取得最大值 1; ▲ .1 -

2

?

(转化为

sin x 2 sin x ?? ? 可取得最小值 ;当切点为 ?0,0? 时,此时 可 , 1? 时,此时 x ? x ?2 ?

已 知 平 面 内 两 点 M , N , 点 M (2 ? 5 cos? ,5 sin ? ) , MN ? 1 , 过 N 作 圆 C :

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 的两条切线
NE , NF ,切点分别为 E , F ,则 NE ? NF 的最小值为
。答:6

解析:双变量问题,经研究可知当两个变量同时取得最小值时可取得所求的最小值

例 1

已知点 y P F1 O F2 Q x

P ? x0 , y0 ?







x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上 不 为 椭 圆 a 2 b2
点 , F1 , F2 分别为椭圆的左右两焦点 ,

顶 点 的 任 意 一 图4 过 P 作椭圆的切线交 求证: PQ 为 ?F 1PF 2 的外角平分线. 证明 由性质 1 可知 : 切线 PQ 的方程为

x 轴于点 Q .

x0 x y0 y a2 ? ? 1 , 令 可得 ,即 y ? 0 x ? a2 b2 x0

? a2 ? QF1 a 2 ? cx0 a ? ex0 a 2 ? cx0 a 2 ? cx0 Q ? , 0 ? , 则 QF1 ? , QF . 由于 ? ? ,且 1 ? x0 x0 QF2 a 2 ? cx0 a ? ex0 ? x0 ?

PF1 PF2

?

PF1 QF1 a ? ex0 ? , 即 PQ 为 ?F1PF2 的外角平分线. , 则有 PF2 QF2 a ? ex0
y

例2 已 知 椭 圆 方 程 为 点 , 点 P 为右准线 l 上任 切点分别为 A, B . 图5 求 证 : A, F , B 三 点 由题意,设点 P ? 共线. O

A P F B x l

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , F 为其右焦 a 2 b2
意一点,过点 P 作椭圆的两条切线,

证明

? a2 ? , y0 ? , 由 性 质 2 可 知 : 切 点 弦 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 ? c ?

a2 x c ? y0 y ? 1,即 x ? y0 y ? 1 .令 y ? 0 得 x ? c ,即点 F ? c,0? 在直线 AB 上, 故 A, F , B c b2 a2 b2
三点共线. 例 3 已知点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 内不在对称轴上的任意一点, a 2 b2

过 P 作椭圆的两条弦 AB, CD .其中以 A, B 为切点的切线交于点 E ,以 C , D 为切点的切线 交于点 F . (1) 求出直线 EF 方程; 系.

(2) 判断直线 EF 与以点 P 为中点的弦所在直线的位置关



(1) 设点 E ? x1, y1 ? , F? x2 , y2? , 利用性质 2 可知切点弦 AB 所在直线方程为

x1 x y1 y xx y y ? 2 ? 1 , 切点弦 CD 所在直线方程为 22 ? 22 ? 1 . 由于点 P ? x0 , y0 ? 为直线 AB, CD 2 a b a b x1 x0 y1 y 0 ? 2 ?1 与 的交点,所以有 y a2 b x2 x0 y2 y0 A E ? 2 ?1 , 则 点 E? x y ? x C 1, y 1? , F 2, ? 2 的 a2 b P xx y y x 程 02 ? 02 ? 1 , 因 而 直 线 坐标分别满足方 O B F a b D x0 x y0 y l EF 的 方 程 为 ? 2 ? 1. 图6 a2 b
(2) 由 性 质 1 的 证 明 过 程 可 知 : 以 P ? x0 , y0 ? 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 方 程 为
2 2 2 2 x0 x y0 y x0 y0 x0 y0 P ? ? ? ? ? 1 . 则 直 线 EF 的 方 程 为 . 由 于 点 在 椭 圆 内 部 , 故 有 a2 b2 a 2 b2 a 2 b2

2 2 ? x0 ? x0 y0 x0 y0 y0 P x ? y ? 1 ? 0 ,而以 为中点的弦所在直线方程为 2 x ? 2 y ? ? 2 ? 2 ? ? 0 ,所以 2 2 a b a b ?a b ?

上述两直线平行. 例 1 已知点 y P F1 O 顶 点 的 任 意 一 图4 过 P 作椭圆的切线交 求证: PQ 为 ?F 1PF 2 的外角平分线. 证明 由性质 1 可知 : 切线 PQ 的方程为 F2 Q x

P ? x0 , y0 ?







x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上 不 为 椭 圆 a 2 b2
点 , F1 , F2 分别为椭圆的左右两焦点 ,

x 轴于点 Q .

x0 x y0 y a2 ? ? 1 y ? 0 , 令 可得 ,即 x ? a2 b2 x0

? a2 ? QF1 a 2 ? cx0 a ? ex0 a 2 ? cx0 a 2 ? cx0 Q ? , 0 ? , 则 QF1 ? , QF . 由于 ? ? ? ,且 1 x0 x0 QF2 a 2 ? cx0 a ? ex0 ? x0 ?

PF1 PF2

?

PF1 QF1 a ? ex0 ? , 即 PQ 为 ?F1PF2 的外角平分线. , 则有 PF2 QF2 a ? ex0
y A P O F 图5 B x l

例2

已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , F 为其右焦点,点 P 为右准线 l 上任意一点,过点 P 作 a 2 b2

椭圆的两条切线,切点分别为 A, B . 求证: A, F , B 三点共线. 由题意,设点 P ?

证明

? a2 ? , y0 ? , 由 性 质 2 可 知 : 切 点 弦 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 ? c ?

a2 x c ? y0 y ? 1,即 x ? y0 y ? 1 .令 y ? 0 得 x ? c ,即点 F ? c,0? 在直线 AB 上, 故 A, F , B c b2 a2 b2
三点共线. 例 3 已知点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 内不在对称轴上的任意一点, a 2 b2

过 P 作椭圆的两条弦 AB, CD .其中以 A, B 为切点的切线交于点 E ,以 C , D 为切点的切线 交于点 F . (1) 求出直线 EF 方程; 系. 解

(2) 判断直线 EF 与以点 P 为中点的弦所在直线的位置关

(1) 设点 E ? x1, y1 ? , F? x2 , y2? , 利用性质 2 可知切点弦 AB 所在直线方程为

x1 x y1 y xx y y ? 2 ? 1 , 切点弦 CD 所在直线方程为 22 ? 22 ? 1 . 由于点 P ? x0 , y0 ? 为直线 AB, CD 2 a b a b x1 x0 y1 y 0 ? 2 ?1 与 的交点,所以有 y a2 b x2 x0 y2 y0 A E ? 2 ?1 , 则 点 E? x y ? x C 1, y 1? , F 2, ? 2 的 2 a b P x0 x y0 y x ? 2 ?1 , 因而 直 线 程 坐标分别满足方 O B F a2 b D x0 x y0 y l EF 的 方 程 为 ? 2 ? 1. 图6 a2 b
(2) 由 性 质 1 的 证 明 过 程 可 知 : 以 P ? x0 , y0 ? 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 方 程 为
2 2 2 2 x0 x y0 y x0 y0 x0 y0 P ? ? ? ? ? 1 . 则 直 线 EF 的 方 程 为 . 由 于 点 在 椭 圆 内 部 , 故 有 a2 b2 a 2 b2 a 2 b2

2 2 ? x0 ? x0 y0 x0 y0 y0 P x ? y ? 1 ? 0 , 而以 为中点的弦所在直线方程为 x ? y ? ? ? 0 ,所以 ? 2 2 2 2 2 2 ? a b a b a b ? ?

上述两直线平行.

三角函数的实际应用(教师版)
(必修 4P115 复习题 14) 如图,在半径为 R 、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 M 、 N 在 OB 上,求这个矩形面积的最 大值及相应的 ?BOP 的值. 解: (1)如图,连 OP ,则 OP ? R . Rt PON 中, PN ? R sin ? , ON ? R cos ? ,
A

Rt OQM 中, QM ? PN ? R sin ? ,

Q

P

OM ? MQ

1 3 ? R sin ? , tan 60 3 3 R sin ? . 3 3 R sin ? ) 3

O

M

N B

∴ MN ? ON ? OM ? R cos ? ?

则 S ? PN ? MN ? R sin ? ? ( R cos ? ?

?
(2)

3 2 ? 3 2 ?? ? R sin(2? ? ) ? R , 定义域为 ?? 0 ? ? ? ? . 3 6 6 3? ?

0 ?? ?

?
3
?



?
6

? 2? ?

?
6

?

5? , 6

则当 2? ?

?
6

?
2

即? ?

?
6

时, Smax ?

3 2 3 2 3 2 R ? R ? R . 3 6 6

答:矩形 PNMQ 面积的最大值是 三、教学探究:

? 3 2 R ,此时 ?BOP ? . 6 6
? 的扇形纸报 AOB 上 3

例 1:如图,现要在一块半径为 1 m ,圆心角为

剪出一个平行四边形 MNPQ ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上, 点 M、N 在 OB 上, 设 ?BOP ? ? , 平行四边形 MNPQ 的面积为 S . (1)求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应的 ? 角. 解(1)分别过 P、Q 作 PD ? OB于D , QE ? OB于E ,则 QEDP 为矩形 由扇形半径为 1 cm , PD ? sin ? , OD ? cos?

在 Rt?OEQ 中, OE ?

3 3 QE ? PD , 3 3

MN ? OD ? OE ? cos? ?

3 sin ? 3

? ? 3 ?? ? sin ? , ? ? ? S ? MN ? PD ? ? cos ? ? sin ? ? 0, ? ? ? 3 ? 3? ? ?
? ? 3 sin 2? 3 1 ? cos 2? 3 ? 3 ? ?? () 2 S ? MN ? PD ? ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? sin(2? ? ) ? , ? ? ? 0, ? ? ? ? 3 2 3 2 3 6 6 ? 3? ? ? ? ? 5? ? 1 2? ? ? ( , ), sin(2? ? ) ? ( ,1? 2 6 ,6 2 2
所以,当 2? ?

? 5? 3 2 ? 时, Smax ? (m ) 2 6 6

变式一:如图,半径是 1 且圆心角为 120°的中,点 A、B 是的两个端点,线段 PQ 是一条 平行于弦 AB 的动弦,以 PQ 为一边作该的一个内接 MNPQ ,将

MNPQ 面积记为 S .试确定当 P 点在什么位置时, S 取得最大,最
大值是多少? 解:连接 OP ,设 ?AOP ? ? ,则 ? ? (0,

2? ), 3

过点 O 作 OH ? MN 于 H ,则 H 是 MN 的中点, 在 ?OMP 中,由正弦定理有

MP ? sin ?

MQ sin(

?
3

?

??)

1 , 2? sin 3

所以 MP ?

2 3

sin ?



OM ?

2

sin( ? ? ) , 3 3

?

所以在直角 ?OMP 中, HM ? OM sin 所以

?
3

? sin(

?
3

??)

MN ? 2 HM ? 2 sin(

?
3

??)



所以由①②得: S ?

4 ? 2 3 ? 3 sin ? sin( ? ?) ? sin(2? ? ) ? 3 3 6 3 3

因为 ? ? (0,

2? ? ? ? 3 ) ,所以当 2? ? ? ,即 ? ? 时 S max ? , 3 6 2 6 3 1 ? 3 时(或说成当 ?AOP ? 时) , S 取得最大值 . 4 6 3

即 AP 的长是 AB 的长的

例 2:如图,半圆形公园上有 P 和 Q 两点,线段 AB 是该半圆的 一条直径, C 为圆心,半径是 2km ,现要在公园内建一块顶点都 在半圆 C 上的多边形活动场地为等腰梯形 ABPQ . (1)若设 PQ ? 2 x(km) ,求场地面积 S 关于 x 的函数关系式; (2)若设 ?PCB ? ? ,求场地面积 S 关于 ? 的函数关系式; (3)选择(1)、(2)中的一个函数的关系式,求场地面积 S 的最大值. 解: (1)半圆的半径是 2km ,又由 PQ ? 2 x ,则 PQ 到 AB 的距离为 4 ? x 2 代入梯形面积公式,即可得到场地面积 S 关于 x 的函数关系式为:

S ? ( x ? 2) 4 ? x 2 , x ? (0,2) .
(2)若 ?PCB ? ? ,则梯形的高为 2 sin ? ,上底长为 2 cos ? 代入梯形面积公式,即可得到场地面积 S 关于 ? 的函数关系式为:

S ? 4 sin ? ? 2 sin 2? , ? ? (0, ) . 2
(3)若选用(1) ,则 S ?
/

?

? 2( x ? 1)(x ? 2) 4 ? x2

, x ? (0,2) ,

通过列表,观察得:当 x ? 1 时, S max ? 3 3(km2 ) ; 若选用 (2) , 则 S ? 4 cos? ? 4 cos2? ? 4(2 cos
/ 2

? ? cos? ? 1) ? 4(cos? ? 1)(2 cos? ? 1) ,

通过列表,观察得:当 ? ?

?
3

时, S max ? 3 3(km2 ) .

变式二:如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 外的地方种草, ?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余 的地方种花.若 BC ? a , ?ABC ? ? ,设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方 形的面积为 S 2 . (1)用 a, ? 表示 S1 和 S 2 ; (2)当 a 固定, ? 变化 时,求

S1 取最小值时的角 ? . S2
AC ? a sin ? , AB ? a cos ? ? S1 ?

1 2 1 a sin ? cos ? ? a 2 sin 2? ,设正方形边 2 4 长为 x ,则 BQ ? x cot ? , RC ? x tan ? ? x cot ? ? x ? x tan ? ? a ,
解: (1)

x?

a a sin ? cos ? a 2 sin 2? ? ? cot ? ? tan ? ? 1 1 ? sin ? cos ? 2 ? sin 2?
2

a2 sin 2 2? ? a sin 2? ? ? S2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 2? ? 4 ? sin 2? ? 4sin 2?

S1 1 ? 4 S 1? 1 ? ? ? ? ? sin 2? ? 4 ? 令 sin 2? ? t , 则 1 ? ? t ? ? 4 ? S2 4 ? sin 2? S2 4 ? t ? ? ? 1 1 0 ? ? ? ,? 0 ? t ? 1.令f ? t ? ? t ? , 用导数知识可以证明: 函数 f ? t ? ? t ? 在 ? 0,1? 是 2 t t ? S1 减函数,于是当 t ? 1 时, 取最小值,此时 ? ? . 4 S2
( 2 )当 a 固定, ? 变化时, 变式三:某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式 如图中实线部分所示.其上部分是以 AB 为直径的半圆,点 0 为圆 心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, DE , DF 是两根 支杆,其中 AB ? 2 米, ?EOA ? ?FOB ? 2 x, (0 ? x ?

?
4

) .现在

弧 EF 、 线段 DE 与线段 DF 上装彩灯, 在弧 AE 、 弧 BF 、 线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段 或弧的长度成正比, 且彩灯的比例系数为 2 k ,节能灯的比例系数为 k ( k ? 0 ),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦 效果”的和. (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳. 解:(1)? ?EOA ? ?FOB ? 2 x ,

∴弧 EF 、 AE 、 BF 的长分别为 ? ? 4 x , 2 x , 2 x 连接 OD,则由 OD ? OE ? OF ? 1 , ?FOD ? ?EOD ? 2 x ?

?
2

DE ? DF ? 1 ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 ? 2 sin 2 x ? 2 (sin x ? cos x) , 2
? y ? 2k (2 2 (sin x ? cos x) ? ? ? 4 x) ? k (2 2 ? 4 x) ? 2k (2 2 (sin x ? cos x) ? 2 x ? 2 ? ? );
(2)∵由 y ? 4k ? 2(cos x ? sin x) ? 1? ? 0 ,
'

?

?

?

解得 cos( x ? 又当 x ? (0, 当 x?(

?
4

)?

?

1 ? ,即 x ? , 2 12

, ) 时, y' ? 0 ,此时 y 在 ( , ) 上单调递减. 12 4 12 4

? ?
?

12

) 时, y' ? 0 ,此时 y 在 (0,

?
12

) 上单调递增;

? ?

故当 x ?

12

时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.

四、巩固练习:

1.如图, 在半径为 6 cm, 圆心角为 60°的扇形 OAB 中, 点 C 为弧 AB 的中点, 按如图截出一个内接矩形,则矩形的面积为 cm . 3
2

2.已知扇形的圆心角为 2α (定值),半径为 R(定值),分别按图一、二作扇形的内接矩 形,若按图一作出的矩形面积的最大值为

1 2 R tan ? ,则按图二作出的矩形面积的最大值 2

为R

2

tan

? . 2

3.如图 1,ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮, 其中 ATPN 是一半径为 90m 的扇形小山, P 是弧 TN 上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在 BC 与 CD 上 的长方形停车场 PQCR,求长方形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. 解:如上添加辅助线,设∠PAB=θ (0<θ <

? ) , 2

则 AM=90cosθ ,PM=90sinθ , RP=RM-PM=100-90sinθ ,PQ=MB=100-90cosθ , ∴S=PQ·PR=(100-90cosθ ) · (100-90sinθ ) =10000-9000(sinθ + cosθ )+8100 sinθ cosθ 设 sinθ + cosθ =t(1<t≤ 2 ),则 sinθ cosθ = 代入化简得 S= 故当 t=

t 2 ?1 . 2

图1

8100 10 2 (t- ) +950 2 9

10 2 2 时,Smin=950(m );当 t= 2 时,Smax=14050-9000 2 (m ) 9

4.有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形,即矩形 的各个顶点都在扇形的半径或弧上(如图所示) ,求这个内接矩形的最大面积.

解:如图(1)设∠FOA= ? ,则 FG=Rsin ? ,

2 R sin( ? ? ) 3 在△OEF 中, EF ? . 3
2 R 2 sin( ? ? ) sin ? 3 又设矩形 EFGH 的面积为 S,那么 S ? FG ? EF ? 3
=

?

?

R2 ? ? 1? cos(2? ? ) ? ? ? 3 2? 3?
? ? ? 3R 2 ,故当 cos(2? ? ) ? 1 ,即 ? ? 时,S 取最大值 3 3 6 6

又∵ 0 ? ? ?

如图(2) ,设∠FOA= ? ,则 EF= 2 R sin(

? 5? ? ?) ,在△OFG 中,∠OGF= , 6 6



FG ? sin ?

R 即 FC=2Rsin ? 5? sin 6
2

设矩形的面积为 S.那么 S ? EF ? FG ? 4 R sin ? sin( 又∵ 0 ? ? ?

? ? ? 3? ? ?) ? 2 R 2 ?cos(2? ? ) ? ? 6 6 2 ? ?

? ? ? ,故当 cos(2? ? ) ? 1 即 ? ? 时,S 取最大值 (2 ? 3) R2 , 6 6 12

显然,

3R 2 3R 2 . ? (2 ? 3) R 2 ,所以内接矩形的最大面积为 6 6

5.如图所示, 某市政府决定在以政府大楼 O 为中心, 正北方向和正东方向的马路为边界的扇 形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图 书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 OM=R,∠MOP=45°,OB 与 OM 之间的夹角为 ? . (1)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 ? 的函数. (2)若 R=45m,求当 ? 为何值时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值?其最大 2 值是多少?(精确到 0.01m ) 解:(1)由题意可知,点 M 为 PQ 的中点,所以 OM⊥AD. 设 OM 于 BC 的交点为 F,则 BC=2Rsin ? , OF=Rcos ? . AB ? OF ?

1 AD ? R cos ? ? R sin ? 2

所以 S ? AB ? BC ? 2R sin ?( R cos ? ? R sin ?) ?

? ? 2 R 2 sin(2? ? ) ? R 2 , ? ? (0, ) . 4 4

? ? ? 3? ?( , ) . 4 4 4 4 ? ? ? 所以当 2? ? ? ,即 ? ? 时,S 有最大值. 4 2 8
(2)因为 ? ? (0, ) ,则 2? ? = 故当 ? ? .

? 2 时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 838.35m . 8

6.已知 A、B 两地相距 2R,以 AB 为直径作一个半圆,在半圆上取一点 C,连接 AC、BC,在 三角形 ABC 内种草坪(如图),M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点,在三角形 AMC、三角形 BNC 上种花,其余是空地.设花坛的面积为 S1,草坪的面积为 S2,取∠ ABC= ? . (1)用 ? 及 R 表示 S1 和 S2; (2)求

S1 的最小值. S2

坐标法在解题中的应用 1.设关于 ? 的方程 3 cos ? ? sin ? ? a ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内有相异的两个实根 ? , ? 则实数 a 的取值范围是 .

(?2, ? 3] ;
2. 已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和, 公差 d ? 0 , 且 s p ? sq ( p ? q) , 则 s p?q ? .

0;
3.满足条件 AB ? 2, AC ?

2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是



2 2;
4.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB ? 4 , BC ? 2 , M , N , P 分别为矩形边 DA , AB ,

BC 上的中点, Q 是边 CD 上的点,且 CQ ? 3QD ,则 MQ ? NP 的值为__________. 3;

5. 如 图 , 点 C 为 半 圆 的 直 径 AB 延 长 线 上 一 点 , AB ? BC ? 2 ,过动 点 P 作半圆的切线 PQ .若 PC ? 为__________.

2PQ ,则 ?PAC 的面积的最大值

4 5;

6.在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB, AC 上分别取 D, E 两点,使沿线段 DE 折叠 三角形纸片后,顶点 A 正好落在边 BC 上(设为 P ) ,在这种情况下,求 AD 的最小值.

2 3 ?3;

A

E D

B

P

C

二.课后练习: 1. 等差数列 {an } 中, 已知 a8 ? 15 , 则 a12 的取值范围是 a9 ? 13 , 2. 在 ?ABC 中, 若 AB ? 2, AC 2 ? BC 2 ? 8 , 则 ?ABC 面积的最大值为

(-?,7] ; .
. 3;

3. 点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点,N 是边 BC 的中点, 则 AN ? AM 的最大值是 .6 ;

5.已知函数 f ( x) ? x( x ? 3)2 , x ? [0, ??),存在区间 [a, b] ? [0, ?? ) ,使得函数 f ( x ) 在区 间 [ a, b] 上的值域为 [ka, kb] ,则 k 的最小值为 .1 ;

数列中的不等关系
题型一 数列中的最值问题 【例 1】 (1)设 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a3 +a4 ? a1 ? a2 =5 ,则 a5 ? a6 的最小 值是________. (2)(08· 四川高考)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10,S5 ? 15 ,则 a4 的最大值 为______. 题型二 与数列有关的不等式恒成立条件下参数问题 【例 2】 (1) 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 q ? 1 , 第 17 项 的 平 方 等 于 第 24 项 , 使

a1 ? a2 ?

? an ?
c n

1 1 ? ? a1 a2

?

1 恒成立的正整数 n 的取值范围是____________. an

* (2)若 an ? n ? (n ? N ) ,且 an ? a3 ,则实数 c 的取值范围是_________.

题型三 数列中比大小问题 【 例 3 】 (1) 等 差 数 列 ?an ? 与 等 比 数 列 ?bn ? 中 , a1 ? b1 ? 0, a3 ? b3 ? 0, ,则 且 a1 ? a3

a2 ____b2;a5 ____b5 (大小关系)
(2) 设

Sn 是 数 列

?an ?

的 前

n

项 和 , 对 任 意 n? N

*

总 有

m,k ? N *, Sn ? qan ? 1(q ? 0,q ? 1 ,

且m ? k ) .

①求数列的 ?an ? 通项公式 an ; ②试比较 Sm? k 与

1 ( S2 m ? S2 k ) 的大小; 2

③当 q ? 1 时,试比较

2 Sm?k



1 1 的大小. ? S2 m S2 k
1 ,定义 ?n ? a1a2 a3 2

1.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 512 ,公比 q ? ? 中最大项是_______.

an ,则 ?1 , ?2 , ?3

2.已知公差不为零的正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,正项等比数列{bn}的前 n 项的和 为 Tn ,若 a15 ? b5 , a30 ? b20 , 则S30 ? S15 _____T20 ? T5 (用不等号连接)
2 ? 3.已知 ?bn ? 是等差数列,对于给定的正整数 m , b12 ? bm ?1

3 ,则 bm?1 ? 2

?b2 m ?b2 m 1? 的

最大值为 4.设 1 ? a1 ? a2 ?



? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1

的等差数列,则 q 的最小值是________.
1 1 1 1 5.已知 (1 ? )(1 ? )(1 ? )....(1 ? ) ? k 2n ? 3 ,则 k 的最大值为____. 2 4 6 2n ? 2

6.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N * . (1) 设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 an?1 ? an , n ? N * ,求 a 的取值范围.

* 7.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,前 n 项和为 Sn ,设 m,n,p∈N ,且

m? n ? 2p
(1)求证: Sn ? Sm ? 2S2 p ; (2)求证: Sn Sm ? S p ;
2

(3)若 S1005 ? 1 ,求证:

2009 i ?1

?S

1
i

? 2009

变式训练 1(例 1(2)变式)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10,S5 ? 15 ,则

S7 的最大值为______.学会巧用数列的性质解决问题。
变式训练 2(例 2(1))正项等比数列 ?an ? 的公比 q ,第 17 项的平方等于第 24 项,使

a1 ? a2 ?

? an ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 恒成立的正整数 n 的取值范围是 ____________.学会用 an

分类讨论的思想解不等式。 变式训练 3:(例 3(2)): an ? n2 ? ?( 是单调递增数列,求 ? 的取值范围是 n n ? N *) _______学会灵活处理数列单调性问题。

利用函数解决不等式问题
3、已知定义在 R 的函数 f ( x), g ? x ? 满足: g ? x ? ? 0 , f 若 f ? x? ? ax g ? x? ,
'

? x? g ? x? ? f ? x? g ' ? x? ? 0。

f ?1? f ? ?1? 5 f ? n? , ? ? ,令 an ? g ?1? g ? ?1? 2 g ? n?
15 的最小自然数 n = 16
5

则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 答案:5 提示:

f ? x? 5 1 ? a x 为减函数,?0 ? a ? 1, an ? an ,由 a ? a ?1 ? 得: a ? 2 2 g ? x?

Sn ? 1 ?

1 15 ? ? nnin ? 5 2n 16

4、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且 f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则不等式 x2 f ( x) ? 0 的解集是 答案: ? ?1,0?

?1, ???

提示:奇函数 x ?
3

f ? x? 在 ? ??,0? 和 ? 0, ??? 上均递增 x

' 5、已知定义在 R 的可导函数 f ( x) 满足: f ? x ? 1? 为偶函数, f ? 2? ? 1, f ? x ? ? f ? x ? ? 0

则不等式 f ? x ? ? e 的解集为
x

f ? x? ? f ? x? ? f ' ? x? ? f ? x? ? 0 ? x 为减 答案: ? 0, ??? 提示: f ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? ? x e e ? e ?
' '

函数, 又 f ? x ? 关于 x ? 1 对称 ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 1 ?

f ? 0? ? 1 ? 解集为 ? 0, ??? e0

6、已知定义在 R 的可导函数 f ( x) 满足: f ' ? x ? ? f ? x ? ? 0 , 则当 m ? 0 时, em f ? m? 与 f ? 0 ? ( e 是自然对数的底数)的大小关系是 答案: em f ? m? ? f ? 0 ? 提示: ex f ? x ? 为减函数,

二、拓展练习: 设 M 是由满足下列条件的函数 f ? x ? 构成的集合:①方程, f ? x ? ? x ? 0 有实数根; ②函数 f ? x ? 的导数 f
'

? x ? 满足 0 ? f ' ? x? ? 1 .

(1) 若函数 f ? x ? 为集合 M 中 的任意一个元素,证明:方程 f ? x ? ? x ? 0 只有一个实数根; (2) 判断函数 g ? x ? ?

x ln x ? ? 3 ? x ? 1? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 2

1 , (3) 设函数 f ? x ? 为集合 M 中的任意一个元素,对于定义域中任意 ? , ? ,当 ? ? 2012 ?


? ? 2012 ? 1 时,证明: f ?? ? ? f ? ? ? ? 2

' ' 解:(Ⅰ) 令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,故 h( x) 是单调递减函数,

所以,方程 h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 0 至多有一解, 又由题设①知方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以,方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根 (Ⅱ) 易知, g ( x) ?
'



1 1 1 ? ? (0, ) ? (0,1) ,满足条件②; 2 2x 2 x ln x F ( x) ? g ( x) ? x ? ? ? ? 3( x ? 1) 2 2





e 5 e2 F (e) ? ? ? ? 0, F (e 2 ) ? ? ? 1 ? 0 , 2 2 2

又 F ( x) 在区间 e, e 2 上连续,所以 F ( x) 在 e, e 2 上存在零点 x0 , 即方程 g ( x) ? x ? 0 有实数根 x0 ? e, e 2 ,故 g ( x) 满足条件①, 综上可知, g ( x) ? M (Ⅲ)不妨设 ? ? ? ,∵ f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 单调递增,∴ f (? ) ? f ( ? ) , 即 f (? ) ? f (? ) ? 0 , 令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 0 ,故 h( x) 是单调递减函数, ∴ f (? ) ? ? ? f (? ) ? ? ,即 f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? ,∴ 0 ? f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? , 则有 f (? ) ? f (? ) ? 1、已知函数 f ( x) ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? 2012 ? ? ? 2012 ? 2

4e x ,方程 f ( x) ? x 的一个根为 t,且 a ? t , f (a) ? b 。 ex ? 1

(1)求函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x) ;求导函数 f ' ( x) 的值域; (2)证明:① a ? b ,② a ? f (a) ? b ? f (b) 。 解: (1) f ( x) ?
'

4e x 4 ? ? 1 ,导函数 f ' ( x) 的值域 ? 0,1? , x 2 1 (e ? 1) ex ? x ? 2 e

' ' (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x ,则 g ( x) ? f ( x) ?1 ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上是减函数,a>t

g (a) ? g (t ) ? 0 , g (a) ? f (a) ? a ? 0 , f (a) ? a , f (a) ? b ,即 a ? b ,设 h( x) ? f ( x) ? x ,
' ' 则 h ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上是增函数, a ? b , h(a) ? h(b) ,即

a ? f (a) ? b ? f (b) 。

3、 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数, 且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

(e 为自然对数的底数)

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n ? m ? 1,(n, m ? Z ) 时,证明: mnn

?

? ? ?nm ?
m

m n

解:(1) 由 f ( x ) ? ax ? x ln x ? b ? x(a ? ln x ? b 是奇函数,则 y ? a ? ln x ? b 为偶函数

? b?0 ?

又 x ? 0 时, f ( x ) ? ax ? x ln x

f ' ( x) ? a ? 1 ? ln x

?

f ' (e ) ? 3

?

a?1

(2)当 x ? 1 时,令 g( x ) ?

f ( x ) x ? x ln x ? x ?1 x ?1

? g' ( x) ?

x ? 2 ? ln x

? x ? 1?2

令 h( x ) ? x ? 2 ? ln x ? h' ( x ) ? 1 ? 数

1 x ?1 ? ?0 x x

? y ? h( x ) 在 (1,??) 上是增函

? h' (1) ? ?1 ? 0, h' (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h' (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ? 存在 x0 ? ?3,4? ,使得 h' ( x0 ) ? 0
则 x ? ?1, x0 ?, h' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0, y ? g( x) 为减函数;

x ? ? x0 ,???, h' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0, y ? g( x) 为增函数

? g( x ) min ? g( x 0 ) ?

x 0 ? x 0 ln x 0 ? x0 x0 ? 1

(? ln x0 ? x0 ? 2)

? k ? x0 , 又 x0 ? ?3,4? , k ? Z
(3)要证

? kmax =3

?mn ? ? ?nm ?
n m

m n

即证

m ln m ? nm ln n ? n ln n ? nm ln m

即证

n ln n m ln m ? n?1 m ?1



? ( x) ?

x ln x x ?1

' , ? ( x) ?

x ? 1 ? ln x

? x ? 1?2

令g ( x) ? x ? 1 ? ln x, g '( x) ? 1 ? g (1) ? 0, g ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 0
所 以

1 ? 0, ( x ? 1) ? g ( x) x

? ' ( x) ? 0

?

y ? ? ( x) 是 增 函 数 , 又

n ? m ?1

?

?mn ? ? ?nm ?
n m

m n

数列中的一类存在性问题
专题知识梳理: 1. 等差、等比数列的概念(转化为基本量求解) ; 2. 子数列、生成数列问题 3. 数阵问题(转化为上述两问题) 4. 数列的周期性(递推关系不能导出通项公式时,必须考虑其周期性) 5. 求通项公式(an 与 Sn 的关系及转化;已知几种常见的数列递推关系求通项公式) 6. 数列求和(通过对通项特点的研究选取转化方向,进而实现消项的目的,即求和) 7. 数列中的不等关系(单调性【首选作差,其次构造函数】 ;最值;恒成立问题) 8. 数列中的一类存在性问题 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? 3n (n ? N ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的 项,若不存在,请说明理由。

例 2 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2, S3 ? 9 ? 3 2 , (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 n

练习:公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ 2,S3=12+3 2. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn; (Ⅱ )记 bn=an- 2,若自然数?1 ,? 2 ,...,? k ,...满足 1 ? ?1 ? ?2 ? ... ? ?k ? ... ,并且

b?1 , b? 2 ,...,b? ,...成等比数列,其中?1 ? 1,?2 ? 3 ,求?k (用 k 表示) ; k

Sn (Ⅲ )记 cn= n ,试问:在数列{cn}中是否存在三项 cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等 比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.

例 3 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?
an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

提高题 1.已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ?

1 。 2

(1)在数列 {an } 中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由; (2)若 a1 ? 1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中的某一项。 ①求公比 q ; ②若 bn ? ? logan?1 ( 2 ? 1) ,Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,Tn ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ,试用 S2011 表示 T2011

2.已知数列 {an } 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?

?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n (常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,是否存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列?若存在, 给出 r , s , t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和。若对任意 n ? N ? ,都有 (1 ? ? )Sn ? ?an ? 2? 恒成立, 求实数 ? 的取值范围。

数列的综合应用
引例 (2012 年高考说明中的示例) (1)设 a1 , a2 ,

an 是各项均不为零的 n (n ? 4) 项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此数

列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. a ① 当 n ? 4 时,求 1 的数值;②求 n 的所有可能值; d (2)求证:存在一个各项及公差均不为零的 n (n ? 4) 项等差数列,任意删去其中的 k 项 (1 ≤ k ≤ n ? 3) ,都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列. 例 1. 设 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列. (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ? N ? ,使 am ? am?1 ? ak ?

1 (2)数列 {bn } 中,若 b1 ? 1 ,公比 q ? (0, ) ,且 ?k ? N ? ,bk ? bk ?1 ? bk ? 2 仍是 {bn } 中的项, 2 则q? .

(3) {an } 满足 a1 ? 1, d ? 2, 试证明任给 m ? N? ,总存在 p ? N? 使 a1 , am , ap 成等比数列.

2 2 a2 ? a2 ? a3 (4) 设 {an } 的公差 d ? 0 , 且 a1 ? d , b1 ? d 2 , 1 {bn } 的公比 q 是 (0,1) 内的有理数, b1 ? b2 ? b3

是正整数,则 q 的取值集合是

.

例 2. (北京 2011 理改)若数列 An : a1 , a2, ..., an ( n ? 2) 满足 a ? a ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) ,则数列 k ?1 k

An 为 E 数列,记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an .
(Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) >0 的 E 数列 A5 ; (Ⅱ)略; (Ⅲ)对任意给定的整数 n ? 4m ? 2 (m ? N ) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得

S An =0?如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由.

? ?

探究: 已知 a, b, c, d 是正整数, a ? b ? c ? d , d ? a ? 7 ,若 a , b, c 成等差数列, b, c, d 成等 比数列,则这四数依次为 .

作业: 1、设 a1 , a2 , ???, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ??? ? a50 ? 9 ,

(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ? ??? ? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1 , a2 , ???, a50 中数字 0 的个数为

.

2、 一个正数, 它的小数部分、 整数部分及它本身, 依次构成等比数列, 则这个正数为

.

3、 已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N ,总存在 m ? N ,使得
* *

am ? 3 ? bn 成立,则 an ?

. 5n ? 3 .

4、 ( 2009 江苏高考 17 )设
2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足

(1)求数列

?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

(2)试求所有的正整数 m ,使得

? ?5a ? 3an , ( an ?1an ? 2k1 ), 5、已知数列 {an } a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? ? n ?1 (k1 , k2 ? Z) ? ?an ?1 ? an , (an ?1an ? 2k2 ? 1).
(1)求 a3 , a4 的值; (2)证明:①任意相邻三项中,有且只有一项是偶数;②任意相邻三项均不成等比数列.

函数的最值
张家港外国语学校高三数学备课组 一、基础训练

1.已知三次函数 f ( x) ? __________. 1.答案 3;

a 3 b 2 a?b?c 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2 b?a

1 1 1 1 x+ + ?=yz,则?x+ ??x+ ?的最小值为________. 3.已知正实数 x、y、z 满足 2x? ? y z? ? y ?? z ? 3.答案 2 4.已知等腰 ?ABC 中, AB ? AC 且腰上的中线 BD 为定长 l ,则当顶角 A 变化时, ?ABC 的 面积最大值为 4.答案 .

2 2 l 3

二、例题探究 例题 1、设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x . (1)当 k=2 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 k<0 时,求函数 g(x)= f ?( x) 在区间(0,2]上的最小值.
解 (1)因为 k=2, 由

f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 4ln x ,所以 f ?( x) = 2x ? 2 ?

4 . x

2 f ?( x) >0 得 ( x ? 1)( x ? 2) >0, (此处用“≥”同样可以) x 又 x>0,故 x>1,于是函数的增区间为 (1, ??) . (或 [1, ??) )
f ?( x) = 2 x ? 2 ?

(2)当 k<0 时,g(x)= 当且仅当 x= ① 若

2k ?k .g(x)= 2( x ? ) ? 2 ≥ 4 ?k ? 2 , x x

?k 时,上述“≥”中取“=” .

?k ∈(0, 2] ,即当 k∈[?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ; k ② 若 k<-4,则 g ?( x) ? 2(1 ? 2 ) 在 (0, 2] 上为负恒成立,故 g(x)在区间 (0, 2] 上为减函 x 数,于是 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为(2)=6-k.
综上所述,当 k∈[?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4

?k ? 2 ;

当 k<-4 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k.

?x + x ,|x|≥2, 例题 2、已知常数 a>0,函数 f(x)=? 49 a ? 4 a x,|x|<2.
3 2

3a4

a

(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 0<a≤2,求 f(x)在区间[1,2]上的最小值 g(a); a a?? a? 2 (3)是否存在常数 t,使对于任意 x∈? ?2,2t-2??t>2?时,f(x)f(2t-x)+f (t)≥[f(x)+f(2t -x)]f(t)恒成立?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. a 49 解:(1)当|x|< 时,f(x)= a2x 为增函数.(1 分) 2 4 a 3 a4 当|x|≥ 时,f′(x)=3x2- 2 .令 f′(x)>0,得 x>a 或 x<-a.(3 分) 2 x a a - , ?和(a,+∞).(4 分) ∴ f(x)的增区间为(-∞,-a),? ? 2 2?

(2)由右图可知, a ①当 1<a<2 时, <1<a,f(x)在区间[1,a]上递减,在[a,2]上递增,最小值为 f(a)= 2 4a3;(6 分) ②当 0<a≤1 时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,最小值为 f(1)=1+3a4;(8 分) ③当 a=2 时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,最小值为 f(a)=4a3.(9 分) ?1+3a4?0<a≤1?, ? 综上,f(x)最小值 g(a)=? 3 (10 分) ? ?4a ?1<a≤2?. (3)由 f(x)f(2t-x)+f2(t)≥[f(x)+f(2t-x)]f(t), 可得[f(t)-f(x)][f(t)-f(2t-x)]≥0,(12 分) ? ? ?f?t?≤f?x? ?f?t?≥f?x? 即? 或? 成立,所以 t 为极小值点或 t 为极大值点. ?f?t?≤f?2t-x? ?f?t?≥f?2t-x? ? ? a a? 又 x∈? ?2,2t-2?时 f(x)没有极大值,所以 t 为极小值点,即 t=a.(16 分) (若只给出 t=a,不说明理由,得 1 分)

三、反馈练习

?( x ? y ? 6)( x ? y ? 6) ≥ 0, y 2.实数 x, y 满足 ? 则 的最大值是 1 ≤ x ≤ 4, x ?



2.答案 7; 3. 已知 f(x)=log2(x-2). 若实数 m、 n 满足 f(m)+f(2n)=3, 则 m+n 的最小值是________. 3.答案 7 4.已知函数 f(x)=1+x- + - +?+ ,g(x)=1-x+ - + -?- , 2 3 4 2 011 2 3 4 2 011 设 F(x)=f(x+3)·g(x-3),且函数 F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a、b∈Z)内, 则 b-a 的最小值为____________. 4.答案 9

x2 x3 x4

x2 011

x2 x3 x4

x2 011

6.对于定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x),如果对于任意 x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1 成 立,那么称函数 f(x)在区间 D 上可被函数 g(x)替代. x 1 (1) 若 f(x)= - ,g(x)=lnx,试判断在区间[1,e]上 f(x)能否被 g(x)替代? 2 x 1 (2) 记 f(x)=x,g(x)=lnx,证明 f(x)在( ,m)(m>1)上不能被 g(x)替代; m

1 (3) 设 f(x)=alnx-ax,g(x)=- x2+x,若 f(x)在区间[1,e]上能被 g(x)替代,求实数 a 2 的范围. x 1 6 解(1) 解:∵ f(x)-g(x)= - -lnx, 2 x 2 x 1 1 1 1 x +2-2x 令 h(x)= - -lnx,∵ h′(x)= + 2- = >0,(2 分) 2 x 2 x x 2x2 1 e 1 ∴ h(x)在[1,e]上单调增,∴ h(x)∈[- , - -1].(3 分) 2 2 e ∴ |f(x)-g(x)|≤1,即在区间[1,e]上 f(x)能被 g(x)替代.(4 分) (2) 证明:令 t(x)=f(x)-g(x)=x-lnx. 1 x-1 ∵ t′(x)=1- = ,(5 分) x x 且当 x<1 时,t′(x)<0;当 x>1 时,t′(x)>0,(6 分) ∴ t(x)≥t(1)=1,即 f(x)-g(x)=x-lnx≥1,(7 分) 1 ∴ f(x)在( ,m)(m>1)上不能被 g(x)替代.(8 分) m (3) 解:∵ f(x)在区间[1,e]上能被 g(x)替代,即|f(x)-g(x)|≤1 对于 x∈[1,e]恒成立. 1 1 ∴ |alnx-ax+ x2-x|≤1,即-1≤alnx-ax+ x2-x≤1,(9 分) 2 2 由(2)知,当 x∈[1,e]时,x-lnx>0 恒成立, 1 2 1 2 x -x+1 x -x+1 2 2 ∴ ① a≤ .(10 分)令 F(x)= , x-lnx x-lnx 1 1 1 1 ?x-1??x-lnx?-?1- ?? x2-x+1? ?x-1?? x+1-lnx- ? x 2 2 x ∵ F′(x)= = , 2 2 ?x-lnx? ?x-lnx? 1 1 由(1)的结果可知 x+1-lnx- >0,(11 分) 2 x 1 ∴ F′(x)恒大于零,∴ a≤ .(12 分) 2 1 2 x -x-1 2 ② a≥ ,(13 分) x-lnx 1 2 x -x-1 2 令 G(x)= , x-lnx 1 1 1 1 ?x-1??x-lnx?-?1- ?? x2-x-1? ?x-1?? x+1-lnx+ ? x 2 2 x ∵ G′(x)= = , ?x-lnx?2 ?x-lnx?2 1 1 1 1 ∵ x+1-lnx+ > x+1-lnx- >0,(14 分) 2 x 2 x e2-2e-2 ∴ G′(x)恒大于零,∴ a≥ .(15 分) 2?e-1? e2-2e-2 1 综上,实数 a 的范围为 ≤a≤ .(16 分) 2 2?e-1?

等差数列、等比数列的综合应用
问题:已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。

(1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由; (2) 找出所有数列

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * , an?1 ? b ,并说明理由。
an
n

例 1:从数列 {an } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 {an } 的 一个子数列. 设数列 {an } 是一个首项为 a1 、公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a2 , a 5 成等 比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7 d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项, 试问该数列是否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由.
2 解: (1) 由题设, 得 a2 即 (a1 ? ? a1a5 , d ) 2? aa ( 4 d) 1 1 ? a 故其公比 q ? 2 ? 3 . a1

, 得 d2 ? 2 又d ? 0, 于是 d ? 2a1 , ad1 ,

(2)设等比数列为 {bm } ,其公比 q ? 由题设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? (n ? 6)d .

a6 3 3 ? , bm ? a2 qm?1 ? 8d ? ( )m?1 , a2 2 2

假设数列 {bm } 为 {an } 的无穷等比子数列,则对任意自然数 m (m ≥ 3) ,都存在 n ? N* ,使

an ? bm ,
即 (n ? 6)d ? 8d ? ( )m?1 ,得 n ? 8( )m?1 ? 6 当 m ? 5 时, n ? 8( )5?1 ? 6 ?

3 2

3 2

3 2

69 ? N* ,与假设矛盾, 2

故该数列不为 {an } 的无穷等比子数列.

变式 1:一个正数,它的小数部分、整数部分及它本身,依次构成等比数列,则这个 正数为

变式 2:设数列 ?an ?? n ? 1,2,

? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两

项之和仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”.

(1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列” ,并说明理由? (2)试问:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明. (1)数列 ?an ? 是“封闭数列” ,因为: an ? 4 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ? 2 , 对任意的 m, n ? N ? ,有

am ? an ? ? 2m ? 2? ? ? 2n ? 2? ? 2 ? m ? n ?1? ? 2 ,

[来源:学§科§网]

m ? n ? 1? N ? 于是,令 p ? m ? n ? 1 ,则有 ap ? 2 p ? 2 ??an ?
[来源:学&科&网]

(2)结论:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md .分 证明: (必要性)任取等差数列的两项 as , at ? s ? t ? ,若存在 ak 使 as ? at ? ak ,则

2a1 ? ? s ? t ? 2? d ? a1 ? ? k ?1? d ? a1 ? ? k ? s ? t ? 1? d
故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? md , 下面证明 m ? ?1 。当 d ? 0 时,显然成立。 对 d ? 0 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对 不同的两项 a1 , a p ,存在 aq 使 a1 ? a p ? aq ,
源:学科网 ZXXK] [来

即 2md ? ? ?m ?1? d ? md ? ? q ?1? d ? qd ? 0 ,这与 q ? 0, d ? 0 矛盾, 故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md 。(充分性)若存在整数 m ? ?1 使 a1 ? md ,则任取等差数列的两项 as , at ? s ? t ? ,于是

as ? at ? a1 ? ? s ?1? d ? md ? ?t ?1? d ? a1 ? ? s ? m ? t ? 2? d ? as?m?t ?1
由于 s ? t ? 3, m ? ?1? s ? t ? m ? 1 为正整数,? as ?m?t ?1 ??an ? 证毕.-

例 2:已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列, a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 . (1)若 b3 ? ai ( i 是某个正整数) ,求证:q 是整数,且数列 ?bn ? 中的每一项都是数列 ?an ? 中的项;

(2)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 ?bn ? 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由. (1) b3 ? a1q2 , a i ? a1 ? ?i ? 1? a1 ? q ? 1? ,由 b3 ? ai ,

所以 q2 ? 1 ? ?i ? 1?? q ? 1? , q2 ? ?i ? 1? q ? ?i ? 2? ? 0, 解得,q ? 1 或 q ? i ? 2 , 但 q ? 1, 所以 q ? i ? 2 ,因为 i 是正整数,所以 i ? 2 是整数,即 q 是整数,设数列 {bn } 中任意一项 为

bn ? a1 q n ?1 ? n ? N ? ? ,设数列 {an } 中的某一项 am ? m ? N ? ? = a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1?

现在只要证明存在正整数 m ,使得 bn ? am ,即在方程 a1qn?1 ? a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1? 中 m 有正整数解即可, q
n ?1

m ? 2 ? q ? q2 ?

q n?1 ? 1 ? 1 ? q ? q 2 ? q n?2 ,所以 q ?1 n ?2 q ,若 i ? 1 ,则 q ? ?1,那么 b2n?1 ? b1 ? a1, b2n ? b2 ? a2 ,当 i ? 3 ? 1 ? ? m ? 1?? q ? 1? , m ? 1 ?

时,因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,只要考虑 n ? 3 的情况,因为 b3 ? ai ,所以 i ? 3 ,因此 q 是正 整数,所以 m 是正整数,因此数列 {bn } 中任意一项为

bn ? a1 q n ?1 ? n ? N ? ? 与数列 {an } 的第 2 ? q ? q2 ?

qn?2 项相等,从而结论成立。
1 ? qy ,令 qx

? (2)设数列 {bn } 中有三项 bm , bn , bp m ? n ? p, m, n, p ? N 成等差数列,则有

2 a1qn?1 ? a1qm?1 ? a1q p?1

? , 设 n ? m ? x, p ? n ? y , ? x , y ? N ? , 所 以
?

?

2?

x ? 1, y ? 2, 则 q3 ? 2q ?1 ? 0 ,
所 以 q?

? q ? 1? ?q 2 ?q ? 1 ? ?

0 , 因为 q ? 1 , 所以 q2 ? q ? 1 ? 0 ,

5 ?1 5 ?1 舍去负值 ? , 即 存 在 q ? 使 得 {bn } 中 有 三 项 ? 2 2 bm , bm ?1 , bm ?3 ? m ? N ? ? 成等差数列。

思考: (1) 、如果一个等差数列 ?an ? 中删去某一项后按原来顺序组成等比数列,求 n 的所有可能 的值。

(2) 、在(1)中如若删去的是某 k 项呢?

(3) 是否存在这样的等差数列 ?an ? ,当它任意删去若干项后按原来的顺序所组成的数列 中没有三项是等比数列

作业: 1、 设有等比数列 a, aq, aq2 , 试问: 这个数列中存在三项构成等差数列吗? , 其中 q 是整数,

2、由例 1 思考:若 a1 ? 1 ,从数列 {an } 中取出第 1 项、第 m (m ≥ 2) 项(设 am ? t )作为一 个等比数列的第 1 项、 第 2 项, 试问当且仅当 t 为何值时, 该数列为 {an } 的无穷等比子数列, 请说明理由.

2、 (Ⅰ)设 a1 , a2 ,

,且公差 d ? 0 ,若将此数 , an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 )

列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,

, bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.


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