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2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文)参考答案


2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 年广州市普通高中毕业班综合测试( 数学( 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现

错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 小题, 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题 分,满分 分. 选择题:本大题考查基本知识和基本运算. 小题 每小题5分 满分50分 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A

小题, 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性. 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 题是选做题,考生只能选做一 11.0 12. [ 0,1] 13.35,10 14. 6 2 15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共 小题 满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 小题, 解答题 16. 本小题满分12分) . 本小题满分 分 (本小题满分 本小题主要考查两角和的正切 诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识 两角和的正切、 三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识, (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归 与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) 与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ? 解

?π? ?π π? ? = tan ? + ? ……………………………………………………………………………1 分 ?9? ?3 4?

π π + tan 3 4 …………………………………………………………………………3 分 = π π 1 ? tan tan 3 4 tan = 3 +1 = ?2 ? 3 .………………………………………………………………………4 分 1? 3 3π π ? ?α π? ? + ? = tan ? α + + ? …………………………………………………………5 分 4 4? ? 3 4? ?

(2)解法 1:因为 f ? 解 :

= tan (α + π ) ………………………………………………………………6 分
= tan α = 2 .………………………………………………………………7 分

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所以

sin α = 2 ,即 sin α = 2 cos α . cos α
2 2

① ②

因为 sin α + cos α = 1 , 由①、②解得 cos α =
2 2

1 .………………………………………………………………………………9 分 5

所以 cos 2α = 2 cos α ? 1 ………………………………………………………………………………11 分

1 3 = 2 × ? 1 = ? .………………………………………………………………………12 分 5 5
解法 2:因为 f ? :

3π π ? ?α π? ? + ? = tan ? α + + ? …………………………………………………………5 分 4 4? ? 3 4? ?

= tan (α + π ) ………………………………………………………………6 分
= tan α = 2 .………………………………………………………………7 分
所以 cos 2α = cos α ? sin α ……………………………………………………………………………9 分
2 2

=

cos 2 α ? sin 2 α …………………………………………………………………………10 分 cos 2 α + sin 2 α

1 ? tan 2 α = ………………………………………………………………………………11 分 1 + tan 2 α = 1? 4 3 = ? .……………………………………………………………………………12 分 1+ 4 5

17. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分12分 本小题主要考查频率 频数、统计和概率等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法, 频率、 等知识, 数形结合、 (本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运 算求解能力) 算求解能力) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 解 所以 10 × (0.005 + 0.01 + 0.02 + a + 0.025 + 0.01) = 1 .………………………………………………1 分 解得 a = 0.03 .……………………………………………………………………………………………2 分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 × (0.005 + 0.01) = 0.85 .…………3 分 解 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 × 0.85 = 544 人. …………………………………………………………………5 分 (3)解:成绩在 [ 40,50 ) 分数段内的人数为 40 × 0.05 = 2 人,分别记为 A , B .……………………6 分 解 成绩在 [90,100] 分数段内的人数为 40 × 0.1 = 4 人,分别记为 C , D , E , F .…………………7 分 若从数学成绩在 [ 40,50 ) 与 [90,100] 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件 有: ( A, B ) , ( A, C ) , ( A, D ) , ( A, E ) , ( A, F ) , ( B, C ) , ( B, D ) , ( B, E ) , ( B, F ) , ( C , D ) ,
数学(文科)试题参考答案及评分标准 第 2 页(共 8 页)

( C , E ) , ( C , F ) , ( D, E ) , ( D, F ) , ( E , F )

共 15 种.…………………………………………9 分

如果两名学生的数学成绩都在 [ 40,50 ) 分数段内或都在 [90,100] 分数段内,那么这两名学生的数学成 绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 [ 40,50 ) 分数段内, 另一个成绩在 [90,100] 分数段内, 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有:

( A, B ) , ( C , D ) , ( C , E ) , ( C , F ) , ( D, E ) , ( D, F ) , ( E, F ) 共 7 种.……………………11 分
所以所求概率为 P ( M ) =

7 .…………………………………………………………………………12 分 15

18. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分14分 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法, 空间线面关系 等知识, 数形结合、 (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 运算求解能力) 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 证明: 因为平面 PAC ⊥ 平面 ABC , 平面 PAC I 平面 ABC = AC , PD ? 平面 PAC ,PD ⊥ AC , 证明: 所以 PD ⊥ 平面 ABC .…………………………………………………………………………………2 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB = BC , 所以 BE ⊥ AC . 因为 AB = BC = 所以 BE =

6 , AC = 4 ,

BC 2 ? CE 2 =

( 6)

2

? 22 = 2 .………………………………………………………4 分

所以△ ABC 的面积 S ?ABC = 因为 PD = 2 ,

1 × AC × BE = 2 2 . ……………………………………………………5 分 2

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC =

1 1 4 2 × S ?ABC × PD = × 2 2 × 2 = .……………………7 分 3 3 3

(2)证法 1:因为 PD ⊥ AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 证法 : 因为 PD = 2 , CD = 3 , 所以 PC =

P

PD 2 + CD 2 = 22 + 32 = 13 .………………9 分

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中, 因为 ∠BED = 90 , BE =
o

2 , DE = 1 ,

所以 BD =

BE 2 + DE 2 =

( )
2

2

A + 12 = 3 .…………10 分

E D B C

由(1)知 PD ⊥ 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ⊥ BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ∠PDB = 90 , PD = 2 , BD =
o

3,

所以 PB =

PD 2 + BD 2 = 2 2 +

( 3)

2

= 7 .……………………………………………………12 分
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在 ?PBC 中,因为 BC =
2 2 2

6 , PB = 7 , PC = 13 ,

所以 BC + PB = PC .………………………………………………………………………………13 分 所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………………………………14 分 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ∠BED = 90 , BE = :
o

2 , DE = 1 ,
P

所以 BD =

BE 2 + DE 2 =

( 2)

2

+ 12 = 3 .…………8分

在△ BCD 中, CD = 3 , BC =
2 2 2

6 , BD = 3 ,

所以 BC + BD = CD ,所以 BC ⊥ BD .………………10分 由(1)知 PD ⊥ 平面 ABC , 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 BC ⊥ PD . 因为 BD I PD = D ,

A

E D B C

所以 BC ⊥ 平面 PBD .…………………………………………………………………………………12分 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ⊥ PB . 所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………………………………14分 19. 本小题满分14分) (本小题满分 分 本小题满分 本小题主要考查等差数列 等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法 以及抽象概 主要考查等差数列、 求和等知识 (本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概 括能力、运算求解能力和创新意识 和创新意识) 括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列 {an } 是等差数列, 解 所以 an = a1 + ( n ? 1) d , S n = na1 +

n ( n ? 1) 2

d .……………………………………………………1 分

依题意,有 ?

?5a1 + 10d = 70, ? S5 = 70, ? ? 即? ………………………………………3 分 2 2 ?a7 = a2 a22 . ?( a1 + 6d ) = ( a1 + d )( a1 + 21d ) . ? ?

解得 a1 = 6 , d = 4 .……………………………………………………………………………………5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an = 4n + 2 ( n ∈ N ) .…………………………………………………6 分
*

(2)证明:由(1)可得 S n = 2n + 4n .……………………………………………………………………7 分 证明: 证明
2

所以

1 1 1 1?1 1 ? = 2 = = ? ? ? .…………………………………………………8 分 S n 2n + 4n 2n ( n + 2 ) 4 ? n n + 2 ?
1 1 1 1 1 + + +L + + S1 S 2 S3 S n ?1 S n

所以 Tn =

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1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1?1 1 ? = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + L + ? ? ?+ ? ? ? ……………9 分 4? 3? 4? 2 4? 4? 3 5? 4 ? n ?1 n + 1 ? 4 ? n n + 2 ? 1? 1 1 1 ? = ?1 + ? ? ? 4 ? 2 n +1 n + 2 ? 3 1? 1 1 ? = ? ? + ? .………………………………………………………………………10 分 8 4 ? n +1 n + 2 ?
因为 Tn ?

3 3 1? 1 1 ? =? ? + ? < 0 ,所以 Tn < .………………………………………………11 分 8 8 4 ? n +1 n + 2 ? 1? 1 1 ? ? ? ? > 0 ,所以数列 {Tn } 是递增数列.………………………………12 分 4 ? n +1 n + 3 ?

因为 Tn +1 ? Tn = 所以 Tn ≥ T1 =

1 .………………………………………………………………………………………13 分 6 1 3 所以 ≤ Tn < . …………………………………………………………………………………………14 分 6 8
20. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分14分 (本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨 本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、 函数的性质 等知识 数形结合 的数学思想方法,以及运算求解能力) 论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:因为 f ( x) = ? x3 + ax 2 + b ,所以 f ′( x) = ?3 x 2 + 2ax = ?3 x ? x ? 解

? ?

2a ? ? .……………………1 分 3 ?

当 a = 0 时, f ′( x ) ≤ 0 ,函数 f ( x ) 没有单调递增区间;……………………………………………2 分 当 a > 0 时,令 f ′( x ) > 0 ,得 0 < x < 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 当 a < 0 时,令 f ′( x ) > 0 ,得 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

2a . 3

? ?

2 ? a ? ;…………………………………………………………………3 分 3 ? 2a < x<0. 3

?2 ? a, 0 ? .…………………………………………………………………4 分 ?3 ?

综上所述,当 a = 0 时,函数 f ( x ) 没有单调递增区间; 当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

2 ? a?; 3 ?

当 a < 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

?2 ? a, 0 ? .……………………………………5 分 ?3 ?
第 5 页(共 8 页)

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(2) :由 解 , (1) a ∈ [3, 4] 时,f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 知,

? ?

2 ? ?2 ? 单调递减区间为 ( ?∞, 0 ) 和 ? a, +∞ ? . a?, 3 ? ?3 ?
…………………………………6 分

所以函数 f ( x ) 在 x = 0 处取得极小值 f ( 0 ) = b ,……………………………………………………7 分
3 2a ? 2a ? 4 a 处取得极大值 f ? + b .………………………………………………8 分 函数 f ( x ) 在 x = ?= 3 ? 3 ? 27

由于对任意 a ∈ [3, 4] ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,

?f ? 所以 ? ?f ?
解得 ?

?b < 0, ? 即 ? 4a 3 ……………………………………………………………………10 分 ? 2a ? + b > 0. ? ? > 0. ? ? 27 ? 3 ?

( 0 ) < 0,

4a 3 < b < 0 .……………………………………………………………………………………11 分 27

因为对任意 a ∈ [3, 4] , b > ?

? 4a 3 ? 4 × 33 4a 3 恒成立,所以 b > ? ? =? = ?4 .………………13 分 ? 27 27 ? 27 ? max

所以实数 b 的取值范围是 ( ?4,0 ) .……………………………………………………………………14 分 21. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分14分 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程 直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识 考查数形结合 椭圆与双曲线的方程、 等知识, 数形结合、 (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力) 的数学思想方法, 推理论证能力和运算求解能力 化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得 A( ?1, 0) , B (1, 0) .…………………………………………………………………1 分 解

y2 设双曲线 C 的方程为 x ? 2 = 1 ( b > 0 ) , b
2

1 + b2 因为双曲线的离心率为 5 ,所以 = 5 ,即 b = 2 . 1
所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 = 1. ……………………………………………………………………3 分 4

(2)证法 1:设点 P ( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi > 0 , yi > 0 , i = 1, 2 ) 证法 : ,直线 AP 的斜率为 k ( k > 0 ) , 则直线 AP 的方程为 y = k ( x + 1) , ………………………………………………………………………4 分

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第 6 页(共 8 页)

? y = k ( x + 1) , ? 联立方程组 ? ………………………………………………………………………………5 分 y2 x2 + = 1. ? 4 ?
整理,得 4 + k 2 x 2 + 2k 2 x + k 2 ? 4 = 0 , 解得 x = ?1 或 x =

(

)

4 ? k2 4 ? k2 .所以 x2 = .…………………………………………………………6 分 4 + k2 4 + k2

4 + k2 同理可得, x1 = .…………………………………………………………………………………7 分 4 ? k2
所以 x1 ? x2 = 1 .……………………………………………………………………………………………8 分

, 证法 2:设点 P ( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi > 0 , yi > 0 , i = 1, 2 ) : 则 k AP =

y1 y2 , k AT = .…………………………………………………………………………4 分 x1 + 1 x2 + 1 y1 y y12 y2 2 = 2 ,即 = .……………………………………5 分 2 2 x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1) ( x2 + 1)
2

因为 k AP = k AT ,所以

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?

y12 y2 = 1 , x2 2 + 2 = 1 . 4 4

即 y12 = 4 x12 ? 1 , y2 2 = 4 1 ? x2 2 .…………………………………………………………………6 分 所以

(

)

(

)

4 ( x12 ? 1)

( x1 + 1)

2

=

4 (1 ? x2 2 )

( x2 + 1)

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 = .……………………………………………………7 分 x1 + 1 x2 + 1

所以 x1 ? x2 = 1 .……………………………………………………………………………………………8 分 证法 3:设点 P ( x1 , y1 ) ,直线 AP 的方程为 y = :

y1 ( x + 1) ,………………………………………4 分 x1 + 1

y1 ? ? y = x + 1 ( x + 1) , ? 1 联立方程组 ? …………………………………………………………………………5 分 2 ? x 2 + y = 1. ? ? 4
整理,得 ? 4( x1 + 1) 2 + y12 ? x 2 + 2 y12 x + y12 ? 4( x1 + 1) 2 = 0 , ? ? 解得 x = ?1 或 x =

4( x1 + 1) 2 ? y12 .…………………………………………………………………6 分 4( x1 + 1)2 + y12
数学(文科)试题参考答案及评分标准 第 7 页(共 8 页)

将 y1 = 4 x1 ? 4 代入 x =
2 2

4( x1 + 1) 2 ? y12 1 1 ,得 x = ,即 x2 = . 2 2 4( x1 + 1) + y1 x1 x1

所以 x1 ? x2 = 1 .…………………………………………………………………………………………8 分 , (3)解:设点 P ( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi > 0 , yi > 0 , i = 1, 2 ) 解 则 PA = ( ?1 ? x1 , ? y1 ) , PB = (1 ? x1 , ? y1 ) . 因为 PA ? PB ≤ 15 ,所以 ( ?1 ? x1 )(1 ? x1 ) + y1 ≤ 15 ,即 x1 + y1 ≤ 16 .…………………………9 分
2 2 2

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

y12 因为点 P 在双曲线上,则 x1 ? = 1 ,所以 x12 + 4 x12 ? 4 ≤ 16 ,即 x12 ≤ 4 . 4
2

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 < x1 ≤ 2 .…………………………………………10 分

1 1 1 | AB || y2 |=| y2 | , S 2 = | OB || y1 |= | y1 | , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 S1 ? S 2 = y2 ? y1 = ( 4 ? 4 x2 ) ? ( x1 ? 1) = 5 ? x1 ? 4 x2 .……………………………11 分 4
因为 S1 = 由(2)知, x1 ? x2 = 1 ,即 x2 = 设 t = x1 ,则 1 < t ≤ 4 ,
2

1 . x1

S12 ? S 2 2 = 5 ? t ?
设 f (t ) = 5 ? t ?

4 . t

4 4 ( 2 ? t )( 2 + t ) ,则 f ′ ( t ) = ?1 + 2 = , t t t2

当 1 < t < 2 时, f ′ ( t ) > 0 ,当 2 < t ≤ 4 时, f ′ ( t ) < 0 , 所以函数 f ( t ) 在 (1, 2 ) 上单调递增,在 ( 2, 4] 上单调递减. 因为 f ( 2 ) = 1 , f (1) = f ( 4 ) = 0 , 所以当 t = 4 ,即 x1 = 2 时, S1 ? S 2
2

(

2

)

min

= f ( 4 ) = 0 .……………………………………………12 分

当 t = 2 ,即 x1 =
2 2

2 时, ( S12 ? S 2 2 )

max

= f ( 2 ) = 1 .………………………………………………13 分

所以 S1 ? S 2 的取值范围为 [ 0,1] .……………………………………………………………………14 分

2 2 2 2 说明: 说明:由 S1 ? S 2 = 5 ? x1 + 4 x2 ≤ 5 ? 4 x1 x2 = 1 ,得 S1 ? S 2 2

(

)

(

2

)

max

= 1 ,给 1 分.

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