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11近世代数复习


习题课

例 1.(1)设 A 是全体奇数的集合,B 是全体偶数的集合, ? :a →a+1, ? a∈A,则 ? 是 A 到 B 的什么映射?

(2)设 A 是全体奇数的集合,B 是全体偶数的集合, ? :a→ 2a, ? a∈A,则 ? 是 A 到 B 的什么映射? 例 2 设 1.设 G=(a)是 12 阶循环群,求

r />(1) 的所有生成元的个数;(2)G 的所有生成元;(3)G 的所有 G 子群;(4) |G|。 例 3.设 Z12={ 0, 1,?,11}是模 12 的剩余类环,

(1)求 Z12 的所有零因子;(2)求 Z12 的特征;(3) 求 Z12 的所有理想;(4)求 Z12 的非零元关于加法的阶.

例 4.二次多项式 x2 ? 1 在模 4 的剩余类环 Z4 ={ 0, 1, 2, 3 }内的 根为___ 例 5 设 S5 是 5 次对称群, (1)若τ=(1235), ? =(12)(35)∈S5,求τ和 ? 的阶;

(2)若(123),(125)∈S5,求(123)(125),(125)(125).

例 6.设 S3 是 3 次对称群,证明 H={(1),(123),(132)} 是 S3 的循环子群,并求 H 在 S3 里的指数. 例 7.设 ? 是群 G 到群 G 的同态映射, a ∈G, a ?1 是 a 的逆元, (1)如果 ? (a) ? a , a ? G ,那么 ? (a?1 ) =? 若 e, e 分别是 G, G 的单位元,则 ? (e) ? ? 例 8.设 Z 是整数环,求主理想(2),(3). 例 9.设 R 是偶数环,求主理想(2),(4). 例 10 设 G 是群,H≤G,a,b∈G, b ?1 是 b 的逆元,证明:
b?1a ∈H,则 aH=Bb. (1)若 b∈aH,则 aH=bH; (2)若

证明(1)b ? aH,可设 b=ah,h ? H.?x∈aH,设 x=at,t ? H.因 H 是子群,所以,
h ?1 ? H, h ?1 t ? H,且

a=b h ?1 ,x=at=b( h t) ? bH,从而 aH? bH,
?1

另一方面,?y∈bH,设 y=bs,s?H, 因 H 是子群,所以,sh ? H, 且 y=bs=ahs∈aH,

从而 bH? aH,故 bH=aH。 (2)
?1 ?1 例 11.设 G 是群, a , c ∈G,而且| a |=n, a 是 a 的逆元, c

是 c 的逆元,证明
?1 (1) | c ac |=n; (2) | a ?1 |=n.

证明 (1)因| a |=n, 所以 a =e,e 是群 G 的单位元,由于
n

(c ac) ? c a c ? c ec ? c c ? e
n
?

?1

?1 n

?1

?1

c ?1ac 的 阶 数 不 超 过 n, 设 | c ?1ac |=m , 则 m n. 因 ,这说明元
c?1amc ? (c?1ac)m ? e , 所 以

a m ? cec?1 ? cc?1 ? e , 因 | a |=n, 得

n|m,n m,从而 m=n.
?

例 12.若 H≤G,N≤G,证明 H∩N≤G.

例 13.设 ? 是群 G 到群 G 的同态满射, H 是 G 的子群。又设
H

= ? (H ) ,证明 H 是 G 的子群. = ? ( H ) ≠φ.

证明 设 e、e 分别是群 G 、G 的单位元, H 是 G 的子群,所以
H

的子群,所以 a b ?1 ? H.而且 ab = ? (a)? (b?1 ) ? ? (ab?1 ) = ?H ,由第二章§
?1

? a , b ? H = ? (H ) ,有 a,b ?H ,使得 ? (a)= a , ? (b)= b ,因为 H 是 G

3Th3 知 H 是 G 的子群。


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