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中山市高一级2012—2013学年度第二学期期末统一考试(数学)


中山市高中一年级 2012—2013 学年度第二学期期末统考

数 学 试 卷
本试卷共 4 页,20 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.

? ? bx ? a ,其中 b ? 参考公式:回归直线 y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x)

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx .

2 i

一、选择题: (本大题 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. cos
2

?

8

? sin 2

?

8

的值为( B. ?



A. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

2 2
).

2.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是 ( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 3.已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3 a ? b , 且 a, b 不共线,则 A. A. B. D 三点共线 C. B. C. D 三点共线 4.函数 y ? sin x ? B. A. B. C 三点共线 D. A. C. D 三点共线 )

uu r

r

r uu r

r

r r uu

? ?

r r

r r

cos x , (0 ? x ? ? ) 的图像大致是( sin x

5.已知 a ? 3 , b ? 4 ,且 a 与 b 不共线, 若 a ? kb 与 a ? kb 垂直时, k 的值为 A. ?

r

A.

r

r

B.

r

r

C.

r

r

r

D.

3 4

B.

3 4

C. ?

3 4

D.± 1

高一数学试题

第 1 页(共 4 页)

x , x ? R 上所有的点的( ) 5 1 A.横坐标伸长为原来的 5 倍,纵坐标不变; B.横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变; 5 1 C.纵坐标伸长为原来的 5 倍,横坐标不变; D.纵坐标缩短为原来的 倍,横坐标不变; 5 uu r r uu r r uu r r CA 、AB 的中点, 7. 已知 D 、E 、F 分别为 V ABC 的边 BC 、 且 BC ? a 、 CA ? b 、AB ? c 、
6.为了得到函数 y ? cos x, x ? R 的图像,只需把 y ? cos

uu r r 1r uu r uur uu r uu r r 1r 1r 1r 1r c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 中正 2 2 2 2 2 确的等式个数为( )
则① EF ?

uu r

A.1 B.2 8.下列各个数据中最小的数是( ) A.函数 y ? 5sin x ? 12cos x 的最大值 当 x ? 5 的值时, v1 的值 C.8251 与 6105 的最大公约数 D.二进制数 10001(2)

C.3

D.4

B.已知 f ( x) ? 4x5 ? 12x4 ? 3.5x3 ? 2.6x2 ? 1.7x ? 0.8,用秦九韶算法求这个多项式

9.有四个游戏盘,如下图所示, (其中 A. 的外形为正方形; B 的外形为正六边形; C 的外形为 正方形;D.的外形为圆, D.的阴影部分为等腰直角三角形)撒一粒黄豆到游戏盘,如果落 在阴影部分,则可中奖。你希望中奖机会大,你应当选择的游戏盘为( )

A.

B.

C.

D.

( ? 1) ?] 10 . 已 知 f ( x ) ? s i n [ x 3

?

3 c o s [x ? ( 3

?

1) ] f (1)? f ( 2) ? f (3) ?L ? f , 则

( 2013) ?

( ) A. ? 3 B. 3 C. ?2 3 D. 2 3 二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.同时掷六个面分别标有数字 1、2、3、4、5、6 的质地均匀和大小相同的两枚正方形骰 子,计算向上的点数之和是 5 的概率是 ; 12.已知角 ? 终边上一点 P (
2 2 2

3 1 , ) ,则 2sin 2? ? 3 tan ? ? 2 2
2

开始

13.右图是求 1 ? 2 ? 3 ? …+100 的值的程序框图,则正整数

n?
14.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料

i ? 1, s ? 0

i ? n?

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

根据上表可得回归



? ? 1.23x ? a ? ,据 方程 y
此模型估计,该型号机 万元(结果保留两
第 2 页(共 4 页)

输出 s
2

s ? s?i
i ? i ?1

结束 13 题图

器使用年限为 10 年的维修费用约

高一数学试题

位小数) .

三、解答题: (本大题 6 小题,满分 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 已知 sin ? ? ?

3 ? ,且 ? 为第四象限角,求 tan(? ? ) 的值 5 4

r r 16.(本小题满分 12 分)已知 | a |=1,| b |= 2 . r r r r (1)若 a , b 的夹角为 135° ,求 | a + b |; r r r r (2)若 a / / b ,求 a ? b ;

17. (本小题满分 14 分) 夏威夷木瓜是木瓜类的名优品种,肉红味 甜深受市民喜爱 .某果农选取一片山地种植夏 威夷木瓜,收获时,该果农随机选取果树 20 a 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单 位 : kg ) , 获 得 的 所 有 数 据 按 照 区 间 0.06

频率 组距

? 40, 45? ? , ? 45,50 ? ? , ? 50,55? ? , ? 55,60 ? ?进
中产量在区间 45, 50 ? ? 上的果树株数是产量

b

行分组,得到频率分布直方图如图。已知样本 0.02

?

O

40

45

50

55

60 产量/kg

4 在区间 ? 50, 60 ? ? 上的果树株数的 3 倍.
(1)求 a , b 的值;
高一数学试题

17 题图

第 3 页(共 4 页)

(2)用直方图估算每一株果树产量的中位数和平均值,

18. (本题满分 14 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电 视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

(1)用分层抽样方法,在收看新闻节目的观众中随机抽出 5 名,大于 40 岁的观众应该 抽取几名? (2)从(1)中抽取的 5 名观众中任取出 2 名,求恰有 1 名观众年龄在 20 岁至 40 岁的 概率。

19. (本小题满分 14 分) (1)已知圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第
2 2

二象限,半径为 2 .求圆 C 的方程; ( 2 )已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . 直线 l 过点 P ?1, 2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若
| AB |? 2 3,求直线 l 的方程.

r r 20 . (本题满分 14 分)已知向量 a ? (2 cos? x , cos 2 ,令函数 ? x ), b ? (sin ? x ,1)( 其中 ? ? 0) r r f ( x) ? a ? b ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? .
(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若方程 2 f ( x)+k =0 在 (? , ) 上恒有解,求实数 k 的取值范围. 4 4

? ?

高一数学试题

第 4 页(共 4 页)

中山市高中一年级 2012—2013 学年度第二学期期末统考

数学试卷参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 10 题,满分 50 分) 1.D;2. D ;3. A;4. B;5. C;6. B;7. C;8. B;9. A;10. D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.

1 9



12. 0 ;

13.101



14.

12 . 38

三、解答题: (本大题 6 小题,满分 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解:由 sin ? ? ?

3 且 ? 为第四象限角得 5
…………………………4 分

3 4 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? )2 ? 5 5
3 sin ? 3 tan ? ? ??5 ?? 4 cos ? 4 5

…………………………8 分

于是有

? 3 tan ?? tan ? ? 1 4 ? 4 tan(? ? ) ? ? ?7 4 1 ? tan ? tan ? ? 3 ? 1 4 4 ?
rr
r r r r

…………………………12 分

16. (本小题满分 12 分) 解(1) Q a, b 的夹角为 135 ,?
? a?b
0

0 a ? b ? a ? b ? cos135 ? ?1

………………3 分

r r2

? a?b

? ?
r

r r 2

r2 r r r2 ? a ? 2a gb ? b =1-2+2=1
………………6 分

? a ?b ?1

r r

(2) Q a / / b , 所以 a , b 的夹角为 0 或 180 ① 若 a , b 同向,则 a ? b ? a ? b ? 2

r

r

r

0

0

r r

r r

r r

r r

………………9 分 ………………12 分

0 ② 若 a , b 同反向,则 a ? b ? a ? b cos180 ? ? 2

r r

r r

高一数学试题

第 5 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) (1)解:样本中产量在区间 45,50 ? ? 上的果树有

?

a ? 5 ? 20 ? 100a (株) ,
样本中产量在区间 ? 50, 60 ? ? 上的果树有:

…………1 分

? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20
依题意,有 100a ?

, ? 100 ? b ? 0.02 ? (株)

……………2 分

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①………4 分 3 3

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 . (2)①先求中位数,设样本中产量的中位数为 x ; 依题意,有(

?

?

② ………6 分 ……………8 分

? x ? 45? ? 0.4 ? 0.3 ?
5

1 2

…………10 分

解得: x ? 47.5 18.(本题满分 14 分)

……………11 分(注:没有过程,用条形图中点作答扣 2 分)

②样本产量的平均值为:42.5 ? 0.3+47.5 ? 0.4+52.5 ? 0.2+57.5 ? 0.1=48 ………14 分

解(1)应抽取的人数为: 5 ?

27 =3 (人) 45

……………4 分

(2)由(1)知抽取的 5 名观众中,有 2 名年龄处于 20 至 40,不妨设为 A 1, A 2 ;有 3 名年 龄大于 40 的,不妨设为 B1 , B2 , B3 从这 5 人中随机抽取两人共有 10 种情况:

? A , A ? ? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ?
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2

? B , B ? ,? B , B ? ,
1 3 2 3

……………………………8 分

其中恰有 1 名观众年龄 20 岁至 40 岁共有 6 种情况:

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,.
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3

………10 分

记“抽取的 5 名观众中任取出 2 名,求恰有 1 名观众年龄 20 岁至 40 岁”为事件 M , 则 P?M ? ?

6 3 ? . 10 5

………………14 分

(注:不设事件扣 1 分)

19. (本小题满分 14 分)

? D E? 2 2 解:⑴由 C : x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 ? ? , ? ? 2? ? 2

……1 分

高一数学试题

第 6 页(共 4 页)

? D E? ∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,∴点 ? ? , ? ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 2? ? 2
即? D ? E ? ?2 且 ① ② ………………………2 分 ……………………………4 分

D 2 ? E 2 ? 12 ?2 4

又∵圆心 C 在第二象限 ? D ? 0, E ? 0 由①②解得? D ? 2, E ? ?4 ∴所求圆 C 的方程为: C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 .
2 2

………………………6 分 ………………………7 分

(2) ①当直线 l 垂直于 x 轴时, 则此时直线方程为 x ? 1 ,l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和

? ?

?1,? 3 ?,其距离为 2
即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .

3 ,满足题意

.……………………………9 分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , ……………………10 分

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ∴1 ?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 , 4
…………………………13 分 ………………………… 14 分

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1

20. (本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? a ? b ? 2cos ? x sin ? x ? cos 2? x ……………………… 2 分 …………………………… 4 分

?? ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin ? 2? x ? ? 4? ?
f ( x) 的最小正周期为 ?
?? ? 1
从而

f ( x)?

?? ? 2 si ? 2 ? ?n x 4? ?

………………………6 分

高一数学试题

第 7 页(共 4 页)

?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

??

?
2

? 2k?,k ? Z

……………………… 8 分

即?

3? ? ? k? ? x ? ? k?,k ? Z 时, f ( x) 单调递增。 8 8

故 f ( x ) 的单调增区间为 ? ?

? ? 3? ? ? k? , ? k? ?,k ? Z 8 ? 8 ?
? ?

…………………… 10 分

( 注:写开区间不扣分,不写成区间形式扣 1 分,不写 k ? Z 扣 1 分,二者都错共扣 1 分) (2)方程 2 f ( x)+k =0 在 ( ? 则 k 的范围与 ?2 f ( x) 在 ( ?

, ) 上的取值范围相同。 4 4 ? ? ?? ? 当 x ? ( ? , ) 时 ?2 f ( x) ? ?2 2 sin ? 2 x ? ? ? ??2 2, 2) 4 4 4? ? ?
故 k ? ? ?2 2, 2)

? ?

, ) 上恒有解, 4 4

……………………… 13 分 (注:区间开闭不正确扣 1 分)

?

……………… 14 分

高一数学试题

第 8 页(共 4 页)


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