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复数运算的几何意义


复数 运算的几何意义



复数的加法与减法的几何意义 1、加法的几何意义 2、减法的几何意义 y Z2 Z1 x Z y Z1

Z2
o x

o

z1z2≠0时, z1+z2对应的向量是以OZ1、OZ2、为邻边
的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ

z2-z1对应的向量是Z1Z2

二 复数乘法与除法的几何意义 设复数z1=r1 (cosθ1+ i sinθ1) z2=r2 (cosθ2+ i sinθ2 ) 则复数z=z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2) =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

y

z

1、旋转对象 2、旋转方向 3、模的变化

Z1 θ2

r2

θ2

z1
θ1

o

x

例1 已知|z1| =|z2| ,argz1=π/3 , argz2=π/6, argz3=7π/8 求 z1+z2 arg———— .

z3
解:设z1,z2,z1+z2对应的点分别是ABC, 如图,∵|z1|=|z2|,由加法的几何意义知 四边形OACB为菱形,由 argz1=π/3,argz2=π/6, ∴∠COX=π/4,即 arg(z1+z2)=π/4,argz3=7π/8,由除法的几 何意义知 z1+z2 arg——— =11π/8 y A

C

B
o x

z3

例2 设复平面上的点A.B.C对应的复数分别为z1,z2,z3,已知 |z1|=1,z2=z1z,z3=z2z,其中z=3/2(1+√3i),求四边形OABC的面 积。 C y

SOABC=SAOB+SBOC =15√3/2

B

A

o

x

例3:已知︱z︱=2,arg(z+2)=π/3求: (1)求虚数z (2)在复平面内,把复数z3对应的向量OP绕原点O按顺时 针旋转π/3,求所得向量对应的复数。 解(1)如图,设虚数z对应的向量OA,2对应的点为C,由 加法的几何意义可得以OC,OA为邻边作平行四边OABC, 则OB对应的复数为z+2,∠COB=π/3,|OA|=|BC|=|OC|=2, ∴∠AOB=∠OBC=∠BOC=π/3 y ∴∠COA=2π/3 ∴z=2(cos2π/3+isin2π/3)=-1+√3i A (2)z3=(-1+√3i)3=8(cos2π+isin2π) B 故由乘法的几何意义得 8(cos2π+isin2π) [cos(-2π/3)+isin(-2π/3)] o 2 C x =8(cos5π/3+sin5π/3) =4-4√3i

练习: (1)已知非零复数z1,z2分别对应于复平面上的点A,B,且 Z12-√3z1z2+z22=0,则三角形AOB是( B ) (A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 (2)复平面上点Z1对应的复数是-1+√3i,将向量OZ1绕原点O 顺时针旋转5π/6,得向量OZ2,则向量Z1Z2对应的复数的 三角形式为 (√6+√2)(cos7π/4+sin7π/4) (3)两个非零复数Z1Z2对应的向量OZ1⊥OZ2的充要条件是 z1/z2=λi(λ∈R, λ≠0) (4)非零复数满足|z1+z2|=|z1-z2|,u=(z1/z2)2,则( B ) (A)u>0 (B)u<0 (C)u=0 (D)以上都有可能 小结: (1)要能熟练应用复数运算的几何意义解决有关问题 (2)记住有关结论对解题是有帮助的


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