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2007年高考第一轮复习数学:4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式


第四章
●网络体系总览
角的概念推广

三角函数

定义公式

图 象 (四 种 基 本 函 数 及 其 变 形 :平 移、 转、 缩 等 ) 翻 伸

、 、

性 质 ( 如 y= A s in (? x+ ? ) +B , 究 定 义 域、 域、 研 值 奇 偶 性 、 调 性、 期 性 等 ) 单 周

单位圆与三角函数线

诱 导 公 式(- ? ? ? ± ? ?2 ? - ? ? 2 ? + ? (



) 等六种三角函数

和、差、倍、半角公式

解三角形

●考点目标定位 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正 弦、余弦和正切; 了解任意角的余切、 正割、 余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式; 掌握正弦、余弦的诱导公式. 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; 通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明(包括引出积化 和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). 4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出 余弦函数的图象;理解周期函数与最小正周期的意义,并通过它们的图象理解正弦、余弦、 正切函数的性质;会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ω x+ ? )的简图, 理解 A、ω 、 ? 的物理意义. 5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念,会用反三角表示角. ●复习方略指南 本部分内容历来为高考命题的热点,其分值约占 20%,一般都是三或四个小题,一个 大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题 则着重考查 y=Asin(ω x+ ? )的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本 中的例题、 习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本,着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意: 1.弄清每个公式成立的条件, 公式间的内在联系及公式的变形、 逆用等.切不可死记硬背, 要在灵、活、巧上下功夫. 2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中, 应深刻理 解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不 体现等价转化思想.

3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”. 4.有关三角函数方面的应用题, 大都需要用 “辅助角公式” asinx+bcosx= sin(x+ ? ) (其中 ? 角所在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 成 y=Asin(ω x+ ? )+h 的形式,再求其最值或周期等.
b a
a
2

? b

2

确定)将函数化

4.1

三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式

●知识梳理 1.任意角的三角函数 设α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离是 r(r= 0) ,则 sinα =
y r

x

2

? y

2



,cosα =

x r

,tanα =

y x

.

上述三个比值不随点 P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式 sin2α +cos2α =1(平方关系) ;
sin ? cos ?

=tanα (商数关系) ;

tanα cotα =1(倒数关系). 3.诱导公式 α +2kπ (k∈Z) 、-α 、π ±α 、2π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数值,前面 加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号. 另外:sin( ●点击双基 1.已知 sin
?
2 π 2

-α )=cosα ,cos(

π 2

-α )=sinα .

=

3 5

,cos

?
2

=-

4 5

,那么α 的终边在 B.第三或第四象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 解析:sinα =2sin
?
2

cos

?
2

=-

24 25

<0,cosα =cos2

?
2

-sin2

?
2

=

7 25

>0,

∴α 终边在第四象限. 答案:D 2.设 cosα =t,则 tan(π -α )等于 A.
1? t t
2

B.-

1? t t

2

C.±
sin ? cos ?

1? t t

2

D.±

t 1? t
2

解析:tan(π -α )=-tanα =-

.
1? t t
2

∵cosα =t,又∵sinα =± 答案:C

1? t

2

,∴tan(π -α )=±

.

3.α 是第二象限角,P(x, A.
3

5

)为其终边上一点且 cosα = C.-
3

2 4

x,则 x 的值为 D.-
2

B.±

3

解析:∵cosα = 答案:C 4.若
1 ? sin ? ? ? sin ?

x r

=
x

x
2

=
? 5

2 4

x,∴x=0(舍去)或 x=

3

(舍去)或 x=-

3

.

=

1 ? sin ? cos ?

,则α 的取值范围是_______.

解析:∵

1 ? sin ? ? ? sin ?

=

1 ? sin ? | cos ? |

=

1 ? sin ? cos ? π 2 π 2



∴cosα >0.∴α ∈(2kπ - 答案:α ∈(2kπ - 5.化简 解析:
1 ? sin 8

π 2

,2kπ +

) (k∈Z).

π 2

,2kπ +

) (k∈Z)

=_________. = ( sin
4 ? cos 4)
2

1 ? sin 8

=|sin4-cos4|=sin4-cos4.

答案:sin4-cos4 ●典例剖析 【例 1】 (1)若θ 是第二象限的角,则 (2)π <α +β <
4π 3 sin( cos ? ) cos( sin 2? ) π 3

的符号是什么?

,-π <α -β <-

,求 2α -β 的范围.

剖析: (1)确定符号,关键是确定每个因式的符号,而要分析每个因式的符号,则关键 看角所在象限. (2)可以把α +β 与α -β 看成两个变量(整体思想) ,然后把 2α -β 用这两个变量 表示出来即可. 解: (1)∵2kπ +
π 2

<θ <2kπ +π (k∈Z) ,

∴-1<cosθ <0,4kπ +π <2θ <4kπ +2π ,-1<sin2θ <0. ∴sin(cosθ )<0,cos(sin2θ )>0. ∴
sin( cos ? ) cos( sin 2? )

<0.

(2)设 x=α +β ,y=α -β ,2α -β =mx+ny, 则 2α -β =mα +mβ +nα -nβ =(m+n)α +(m-n)β . ∴?
? m ? n ? 2, ?m ? n ? ?1.

∴m=

1 2

,n=

3 2

.∴2α -β =
π 3

1 2

x+

3 2

y.

∵π <x< ∴
π 2

4π 3

,-π <y<-
2π 3


π 2



1 2

x<

,-

3π 2



3 2

y<-

.

∴-π <

1 2

x+

3 2

y<

π 6

.

评述: (1)解此题的常见错误是: π <α +β <
4 3

π,
π 3

① , ② ③ ④
2π 3

-π <α -β <-

①+②得 0<2α <π , 由②得
π 3

<β -α <π ,
4π 3

①+④得 ∴-
7π 6

<2β <

7π 3 2π 3

,∴ .
π 3

<β <

7π 6

.

⑤ ⑥

<-β <-
7π 6

③+⑥得-

<2α -β <

.

(2)本题可用线性规划求解,不妨一试. 【例 2】 已知 cosα = ,且-
3 1 π 2

<α <0,



cot( ? ? ? π )? sin( 2π ? ? ) cos( ? ? )? tan ? 1

的值.

剖析:从 cosα = 中可推知 sinα 、cotα 的值,再用诱导公式即可求之.
3

解:∵cosα = ,且-
3

1

π 2

<α <0,∴sinα =- =
? cot ? ? sin ? sin ?

2 3

2

,cotα =-
2 4

2 4

.

∴原式=

cot( ? ? )? sin ? cos( ? ? )? tan ?

=-cotα =

.

评述:三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题,也是常考的问题之一. 【例 3】 已知 sinβ = ,sin(α +β )=1,求 sin(2α +β )的值.
3 1

剖析:由已知 sin(α +β )=1,则α +β =2kπ + β 即可求之. 解:∵sin(α +β )=1,∴α +β =2kπ +
π 2

π 2

,再将 2α +β 改造成 2(α +β )-

.
1

∴sin(2α +β )=sin[2(α +β )-β ]=sinβ = .
3

评述: 整体代入是常用的技巧, 这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函 数名称之间的关系. ●闯关训练 夯实基础 1.角α 的终边过点 P(-8m,-6cos60°)且 cosα =-
4 5

,则 m 的值是

A.

1 2

B.-

1 2
?8m 64 m
2

C.- =-
? 9

3 2

D.

3 2

解析:P(-8m,-3) ,cosα =

4 5

.

∴m=

1 2

或 m=-

1 2

(舍去).

答案:A 2.设α 、β 是第二象限的角,且 sinα <sinβ ,则下列不等式能成立的是 A.cosα <cosβ B.tanα <tanβ C.cotα >cotβ D.secα <secβ 解析: 与 D 互斥, 与 C 等价, A B 则只要判断 A 与 D 对错即可.利用单位圆或特殊值法, 易知选 A. 答案:A 3.已知 tan110°=a,则 tan50°=_________. 解析:tan50°=tan(110°-60°)=
tan 110 ? ? tan 60 ? 1 ? tan 110 ? tan 60 ?

=

a ? 1?

3 3a

.

答案:

a ? 1?

3 3a

4.(2004 年北京东城区二模题)已知 sinα +cosα = 解析:两边平方得 1+2sinα cosα = ∴sinα cosα =-
12 25 1 25

1 5

,那么角α 是第_______象限的角.



<0.

∴α 是第二或第四象限角. 答案:第二或第四 5.若 sinα ?cosα <0,sinα ?tanα <0,
1 ? sin

?
2

1 ? sin

?
2

化简
1 ? sin

?
2

+
1 ? sin

?
2

.

解:由所给条件知α 是第二象限角,则
1 ? sin

?
2

是第一或第三象限角.

?
2

? 1 ? sin
2

?
2

原式=

1 ? sin

?
2

=

2 | cos

?
2

|

? ? ? ( 是第一象限角), ? 2 sec ? 2 2 =? ? ? 2 sec ? ( ? 是第三象限角) ? 2 2 ?

.

6.化简

? ? sin( k ? 1) π ? ? ? ? cos ( k ? 1) π ? ?
sin( k π ? ? )? cos( k π ? ? )

?

(k∈Z).

解:当 k=2n(n∈Z)时, 原式=
sin( 2 n π ? π ? ? )? cos( 2 n π ? π ? ? ) sin( 2 n π ? ? )? cos( 2 n π ? ? )

=

? sin ? ( ? cos ? ) ? ? sin ? ? cos ?

=-1.

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式=

? ? sin( 2 n ? 2) π ? ? ? ? cos ( 2 n ? 2) π ? ?
sin( 2 n π ? π ? ? )? cos( 2 n π ? π ? ? )

?

=

sin ? ? cos ?

sin ? ( ? cos ? ) ?

=-1.

综上结论,原式=-1. 培养能力 7.(2005 年北京东城区模拟题)已知 tan( (1)tanα 的值; (2)sin2α +sin2α +cos2α 的值. (1)解:tan(
π 4 π 4

+α )=2,求:

+α )=

1 ? tan ? ? ? tan ?

=2,∴tanα = .
3
2

1

(2)解法一:sin2α +sin α +cos2α =sin2α +sin α +cos2α -sin2α =2sinα cosα +cos2α = =
2 sin ? cos ? ? cos ?
2

2

?

=

2 sin ? cos ? ? cos sin
2

2

?

? ? cos

2

?

2 tan ? ? ? tan
2

? ??

=

3 2

.

解法二:sin2α +sin2α +cos2α =sin2α +sin2α +cos2α -sin2α =2sinα cosα +cos2α . ∵tanα = ,∴α 为第一象限或第三象限角.
3 1



当α 为第一象限角时,sinα = 当α 为第三象限角时, sinα =-

1 10 1

,cosα =

3 10

,代入①得 2sinα cosα +cos2α =
3 10

3 2


3 2

, cosα =- .

, 代入①得 2sinα cosα +cos2α =

.

10

综上所述 sin2α +sin2α +cos2α = 8.已知 sinθ =
1? a 1? a

3 2

,cosθ =

3a ? 1 1? a

,若θ 是第二象限角,求实数 a 的值.

1? a ? ? 1, ?0 ? 1? a ? 3a ? 1 ? ? 0, 解:依题意得 ? ? 1 ? 1? a ? ? 1? a 2 3a ? 1 2 ( ) ? ( ) ? 1. ? 1? a ? 1? a

解得 a=

1 9

或 a=1(舍去).
1 9

故实数 a=

.

9.设α ∈(0,

π 2

) ,试证明:sinα <α <tanα .

证明:如下图,在平面直角坐标系中作单位圆,设角α 以 x 轴正半轴为始边,终边与单 位圆交于 P 点.
y P ? O M A x T

∵S△OPA<S 扇形 OPA<S△OAT,∴ ∴sinα <α <tanα . 探究创新

1 2

|MP|<

1 2

α <

1 2

|AT|.

10.是否存在α 、β ,α ∈(- =
2

π 2


2

π 2

) ,β ∈(0,π )使等式 sin(3π -α )

cos(

π 2

-β ) ,

3

cos(-α )=-

cos(π +β )同时成立?若存在,求出α 、β 的

值;若不存在,请说明理由. 解:由条件得 ?
? ? ? sin ? ? ? 2 sin ? , 2 cos ? ? ① ②

3 cos ? ?

①2+②2 得 sin2α +3cos2α =2,∴cos2α = ∵α ∈(- 将α =
π 4
π 2

1 2

. .
π 6



π 2

) ,∴α =
3 2

π 4

或α =-

π 4

代入②得 cosβ =
π 4

.又β ∈(0,π ) ,∴β =

,代入①可知,符合.

将α =-

代入②得β =
π 4

π 6

,代入①可知,不符合.

综上可知α =

,β =

π 6

.

●思悟小结 1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角 函数概念. 2.在已知一个角的三角函数值, 求这个角的其他三角函数值时, 要注意题设中角的范围, 并就不同的象限分别求出相应的值. 3.注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法,要尽量减 少开方运算,慎重确定符号. 4.注意“1”的灵活代换,如 1=sin2α +cos2α =sec2α -tan2α =csc2α -cot2α =tanα ?cotα . 5.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断,一般常用“奇变偶不 变,符号看象限”的口诀. ●教师下载中心

教学点睛 1.本课时概念多且杂,要求学生在预习的基础上,先准确叙述回忆,复习中注意“三基” 的落实. 2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时,要细心观察题目的特 征,注意培养学生观察、分析问题的能力,并注意做题后的总结,引导学生总结一般规律. 如: “切割化弦” 的巧代” “1 ,sinα +cosα 、sinα cosα 、sinα -cosα 这三个式子间的关系. 拓展题例 【例 1】 求 sin21°+sin22°+?+sin290°. 分析:sin21°+cos21°=sin21°+sin289°=1. 故可倒序相加求和. 解:设 S=sin20°+sin21°+sin22°+?+sin290°,S=sin290°+sin289°+sin288°+?+sin20°, ∴2S=(sin20°+sin290°)+?+(sin290°+sin20°)=1?91.∴S=45.5. 【例 2】 已知 sinα +cosβ =1,求 y=sin2α +cosβ 的取值范围. 分析:本题易错解为 y=sin2α +1-sinα ,sinα ∈[-1,1] ,然后求 y 的取值范围. 解:y=sin2α -sinα +1=(sinα -
1 2

)2+

3 4

.

∵sinα +cosβ =1,∴cosβ =1-sinα .∴ ? ∴sinα ∈[0,1]. ∴y∈[
3 4

? ? 1 ? 1 ? sin ? ? ?, ? ? ? ? sin ? ? ??

,1].


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