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2014高考数学(理)二轮专题升级训练:专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)]


专题升级训练

椭圆、双曲线、抛物线
满分:100 分)

(时间:60 分钟

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)
1.(2013·辽宁师大附中模拟,6)若抛物线 y2=ax 的焦点与双曲线=1 的右焦点重合,则 a 的值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.8 2.

已知 F1,F2 分别是椭圆=1 的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆 C 与 F1A 的延长线、F1F2 的延长 线以及线段 AF2 相切,若 M(t,0)为一个切点,则( ) A.t=2 B.t>2 C.t<2 D.t 与 2 的大小关系不确定 3.若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点,F1,F2 分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离 心率为 e1,双曲线的离心率为 e2.若=0,则=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若直线 mx+ny=4 与圆 x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆=1 的交点有( ) A.至少 1 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 5.已知点 A,B 是双曲线 x2-=1 上的两点,O 为坐标原点,且满足=0,则点 O 到直线 AB 的距离等于 ( ) A. B. C.2 D.2 2 6.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y =x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+=0 的距离等 于( ) A. B.2 C. D.4

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分)
7.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m),到其焦点的距离为 5,双曲线 x2-=1 的左顶点为 A,若双 曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= . 8.在△ABC 中,AB=BC,cos B=-,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= . 9.连接抛物线 x2=4y 的焦点 F 与点 M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A,设点 O 为坐标原点,则 △OAM 的面积为 .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)
10.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,椭圆 C 上的点到右焦点 F 的最短 距离为-1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 E(2,0)且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,P 是点 M 关于 x 轴的对称点,证 明:N,F,P 三点共线. 11.(本小题满分 15 分)(2013·山东东营模拟,22)已知圆的方程为 x2+y2=4,过点 M(2,4)作圆的两条 切线,切点分别为 A1,A2,直线 A1A2 恰好经过椭圆=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.

(1)求椭圆的方程; (2)设 AB 是椭圆=1(a>b>0)垂直于 x 轴的一条弦,AB 所在直线的方程为 x=m(|m|<a 且 m≠0),P 是 椭圆上异于 A,B 的任意一点,直线 AP,BP 分别交定直线 l:x=于 Q,R 两点,求证:>4.

12.(本小题满分 16 分)(2013·河南郑州模拟,20)如图,已知定点 F(-1,0),N(1,0),以线段 FN 为对角 线作周长是 4 的平行四边形 MNEF.平面上的动点 G 满足||=2(O 为坐标原点).

(1)求点 E,M 所在曲线 C1 的方程及动点 G 的轨迹 C2 的方程; (2)已知过点 F 的直线 l 交曲线 C1 于 P,Q 两点,交轨迹 C2 于 A,B 两点,若|AB|∈(2),求△NPQ 的内 切圆半径的取值范围. ## 1.C 2.A 解析:如图,P,Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的切点,则|MF2|=|F2Q|=2a(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a,所以 t=a=2.选 A.

3.B 解析:设椭圆方程为=1(a>b>0), 双曲线方程为=1(m>0,n>0),其中两焦点距离为 2c. 不妨令 P 在第一象限,由题意知 ∴|PF1|=a+m,|PF2|=a-m, 又·=0,∴PF1⊥PF2, 2 2 2 ∴|PF2 1| +|PF2| =|F1F2| , 2 2 ∴2(a +m )=4c , ∴=2,故选 B. 4.B 解析:∵直线 mx+ny=4 与圆 x2+y2=4 没有交点, ∴圆心到直线的距离 d=>2,解得 m2+n2<4, 即点 P(m,n)在以原点为圆心,半径为 2 的圆的内部,而此圆在椭圆=1 的内部,故点 P 在椭圆内部, 经过此点的任意直线与椭圆有两个交点.故选 B. 5.A 解析:由·=0?OA⊥OB,由于双曲线为中心对称图形,因此可考查特殊情况,令点 A 为直线 y=x 与双曲线在第一象限的交点,因此点 B 为直线 y=-x 与双曲线在第四象限的一个交点,因此直线 AB 与 x 轴垂直,点 O 到直线 AB 的距离就为点 A 或点 B 的横坐标的值. 由?x=.故选 A. 6.C 解析:据抛物线定义知,|AB|=x1++x2+=4, ∴x1+x2=. 故弦 AB 的中点到 x=-的距离为. 7. 解析:根据抛物线的性质得 1+=5,∴p=8. 不妨取 M(1,4),则 AM 的斜率为 2,由已知得-× 2=-1.故 a=. 8. 解析:如图所示,设 AB=BC=x,

由 cos B=-及余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=x2+x2+2x2× , ∴AC2=x2,∴AC=x. ∵椭圆以 A,B 为焦点, ∴焦距为 2c=AB=x. 又椭圆经过点 C, ∴AC+BC=x+x=2a, ∴2a=x,∴e=.

9. 解析:线段 FM 所在直线方程 x+y=1 与抛物线交于 A(x0,y0),则?y0=3-2 或 y0=3+2(舍去). ∴S△OAM=× 1× (3-2)=. 10.(1)解:由题可知解得 a=,c=1,∴b=1. ∴椭圆 C 的方程为+y2=1. (2)证明:设直线 l 为 y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0), 由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0. ∴x1+x2=,x1x2=. 而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k), =(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k). ∵(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k) =k[2x1x2-3(x1+x2)+4] =k=0, ∴.∴N,F,P 三点共线. 11.(1)解:观察知,x=2 是圆的一条切线,切点为(2,0). 设 O 为圆心,根据圆的切线性质,MO⊥A1A2, 所以=-=-, 所以直线 A1A2 的方程为 y=-(x-2). 直线 A1A2 与 y 轴相交于点(0,1),依题意可知 a=2,b=1, 故椭圆的方程为+y2=1. (2)证明:椭圆方程为+y2=1, 设 P(x0,y0),A(m,n),B(m,-n), 则有+4-4=0,m2+4n2-4=0. 在直线 AP 的方程 y-n=(x-m)中,令 x=,整理,得 yQ=.① 同理,yR=.② ①× ②,并将=1-,n2=1-m2 代入得 yQ·yR== =. 故··+yQ·yR==1+. 因为|m|<2 且 m≠0, 所以 0<m2<4,>3, 所以·>4. 12.解:(1)因为四边形 MNEF 为周长为 4 的平行四边形,所以点 E 到点 F,N 的距离之和是 2. 又|NF|=2<2,故由椭圆的定义知,曲线 C1 为椭圆,a=,c=1,b=1. 故曲线 C1 的方程为+y2=1. 由||=2 知,动点 G 的轨迹为以坐标原点 O 为圆心,2 为半径的圆,其方程为 x2+y2=4. (2)当 l⊥x 轴时,将 x=-1 代入 x2+y2=4 得 y=± , 所以|AB|=2?(2), 所以直线 l 不垂直于 x 轴. 设直线 l 的方程为 y=k(x+1). 圆 C2 的圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d=, 由圆的几何性质,得|AB|=2=2=2. 由|AB|∈(2),解得 k2>. 联立方程消去 x 得 y2-y-1=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),△NPQ 内切圆半径为 R, 则 y1+y2=,y1y2=-. 因为|NF|·|y1-y2|=·R·(|PN|+|PQ|+|QN|). 其中,|NF|=2,|PN|+|PQ|+|QN|=4, 所以 R=|y1-y2|. 而|y1-y2|= = =. 因为 k2>,所以 1-.

另外,显然有 1-<1, 即<|y1-y2|<,所以<R<. 所以,△NPQ 的内切圆半径的取值范围为.


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