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江西省上高二中、宜春一中等四校2016届高三上学期联考试题 数学(文)


上高二中 樟树中学 宜丰中学 宜春一中

2016 届高三联考文数试卷

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x∈R|lgx2>0},集合 B={x∈R|1≤2x+3<7},则( A.CUB?A
3

) D.

A ? B

B.B?A

C.A ?CU B ) D. ?

2、复数 A.

1 5

i ( i 为虚数单位)的虚部是( 2i ? 1 1 1 B. i C. ? i 5 5

1 5

3、下列说法不正确的是( ) A.若“ p 且q ”为假,则p 、q 至少有一个是假命题 B.命题“? x0∈R,x02-x0-1<0”的否定是“? x∈R,x2-x-1≥0” C.“? =

? ”是“y=sin(2x+?)为偶函数”的充要条件 2
) D. y ? ? x
3

D.a<0 时,幂函数 y =xa 在(0,+∞)上单调递减 4、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? sin( x ?

?
6

)

B. y ? 2

x

C. y ? x

5、函数 y ? 3cos2 x ? 4cos x ? 1, A. ?

1 3

B.0

x ? [0, ? ] 的最大值为( ) 2 1 C. D.1 3
)

6、等比数列 {an } 中, a4=2,a5=5,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 ) D、4

7. 若实数 a, b 满足 A、 2

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为( a b
C 、2 2

B、2

? ? ? ? ? ? ? ? 8.设 e1 , e2 , e3 为共起点的单位向量,且 e3 ? 1 e1 ? ke2 ,(k>0),若以向量 e1 , e2 为两边
2
的三角形的面积为

1 ,则 k 的值为() 2
B.

A.

2 2

3 2

C.

5 2

D.

7 2

9、定义运算:

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ? x ? ?

3 sin ?x ( ? ? 0 )的图象向左平 1 cos?x

移 ? 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 ? 的最小值是( A.1 B.

5 6



1 5

C.

11 5

D.2

10、已知数列 a1 ,

a a2 a3 , , ??? , n , ??? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,则下列项中 a1 a2 an ?1
) C. 32 D. 64

是数列 ?an ? 中的项是( A. 16

B. 128

11.若定义域为 R 的函数 f(x)的周期为 2,当 x ? (?1,1] 时, f ( x) ? x ,则函数 y =f(x)的图象与

y ? log3 x 的图象的交点个数为(
A.2 B .4

) C .6 D.8

12.设 y ? f ??( x) 是 y ? f ?( x) 的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 都有对称中心 ( x0 , f ( x0 )) ,其中 x0 满足 f ??( x0 ) ? 0 .已知
f ( x) ? 1 3 1 2 5 1 2 3 2014 x ? x ? 3x ? ,则 f ( )? f ( )? f ( ) ? ??? ? f ( )?( ) 3 2 12 2015 2015 2015 2015
B.2014 C.2015 D.2016

A.2013

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
?sin ? x, x ≤ 1 13.已知函数 f ( x) ? ? ,则 ? f ( x ? 1), x ? 1

?4? f ? ? 的值为 ?3?



14.设 f(x)=x3+ax2+bx+a2,若 f(x)在 x=1 处取得极值 10,则 a+b 的值为_____.
?x ? y ?1 ? 0 ? 2x 15、若实数 x, y 满足 ? x ? 2 ? 0 ,则 z ? y 的取值范围是 4 ?x ? y ? 3 ? 0 ?



16、用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ?是首项为 a1 ,公差为

d (d ? 0) 的等差数列,且 b1 , b3 , b9 成等比数列.

(1)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (2)若 cn ?

2 (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn . (n ? 1)bn

18. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知向量

? ? ? ? m ? (2cos2 B , cos 2B) , n ? (4 , ? 2) ,且 m ? n ? 7 ,且 b ? 1. 2 5? (1)若 A ? ,求 c 的值; 12
(2)求 ?ABC 的面积的最大值。 19. (本题满分 12 分)设数列 ?an ?满足 a1 ? 1 ,点( an , a n ?1 )在直线 y ? 2 x ? 1 上. (1)求 ?an ?的通项公式; (2)记 bn ? log2 (an ? 1) ,求数列 ?bn ? an ?的前 n 项和 Sn . 20、(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 数 f ? x ? 的最小正周期为 π. (1) 求 f ? x ? 的单调递增区间; (2) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,又 f ? 的面积等于 3,求边长 a 的值.

1 3 sin ? x cos ? x ? cos 2? x, ? ? 0, x ? R ,且函 2

?A ?? 4 ? ? ? , b ? 2 ,且△ABC ?2 3? 5

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 , f ? x ? 在点 3, f ?3? 处的切线方程为 12 x ? 2 y ? 27 ? 0 . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若对任意的 x ? [1, ??) , f ' ? x ? ? k ln x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?

?

22、(本小题满分10 分)选修4-5:不等式选讲

设a ? R,f(x)=|x-a|+(1-a)x, (1)解关于a的不等式 f(2)<0; (4分) (2)如果 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. (6 分)

上高二中宜春一中 2016 届高三联考参考答案 2015-12-22
一.选择题: 题号 答案 1 A 2 A 14. ?7 3 C 4 D
1 15. [ , 1] 16

5 D

6 C

7 C

8 B

9 A

10 D

11 B

12 B

二.填空题: 13.

3 2

16. 6n+2

三.解答题: 17.解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n , 又 a1 ? S1 ? 2 ? 2 ? 2 也满足上式,
2 1

所以数列 ?an ?的通项公式为 an ? 2n , b1 ? a1 ? 2 , 设公差为 d,则由 b1 , b3 , b9 成等比数列, 可得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 8d ) ,所以 d=2 或 d=0(舍去) ,
2

所以数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? 2n . (2)结合(1) cn ?

2 1 ,所以数列 ?cn ?的前 n 项和 ? (n ? 1)bn n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? ? ? ??? ? ? ? 1? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 1 ? cos B 2 B ? 2 cos 2 B ? 8 ? ? 2(2 cos 2 B ? 1) ? 7 18. 解: (1)由已知, m ? n ? 8 cos 2 2 Tn ?

1 2 2 即 ? 4 cos B ? 4 cos B ? 6 ? 7 ,化简得 4 cos B ? 4 cos B ? 1 ? 0 解得 cos B= , 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3 又∵ C ? ? ? A ? B ?

?
4

, b ? 1,

sin b sin C 4 ? 2? 6。 由正弦定理,得 c ? ? sin B sin ? 3 3 3
2 2 2 2 2

?

……………6 分

(2)由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,则 ac ? 1 , ∵ S?ABC ?

1 3 3 3 ,∴ ?ABC 的面积的最大值为 。………12 分 ac sin B ? ac ? 4 2 4 4

19. 解: (1)? an?1 ? 2an ? 1 ,? (an?1 ? 1) ? 2(an ? 1) ,

? a1 ? 1 ? 2 ? 0 ,?an ? 1 ? 0 ,?

an?1 ? 1 ?2, an ? 1

??an ? 1?是以 2 为公比,2 为首项的等比数列,? an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ?1.
(2)? an ? 2n ? 1,?bn ? log2 (an ? 1) ? log2 2n ? n ,

?bn ? an ? n ? (2n ?1) ? n ? 2n ? n ,
1 2 n 2 n n?1 记 A ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ,? 2 A ? 1? 2 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2 ? n ? 2 ,

? ? A ? A ? 2 A ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 , 1? 2
n(n ? 1) . 2

? A ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 , S n ? A ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n) ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ?
20. 解: (1)因为 f ? x ? ? 为 π,得 ω=1. ∵ 2 k? ?

3 1 ?? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin ? 2? x ? ? ,由 f ? x ? 的最小正周期 2 2 6? ?

…………………………………………………………………3 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,即 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

所以,函数 f ? x ? 的增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? Z .……………………………6 分

(2)∵ f ?

4 3 ?A ?? 4 ? ? ? , A ? ? 0, ? ? ,∴ cos A ? ,sin A ? .…………………………8 分 5 5 ?2 3? 5

∵S ?

1 3 bc sin A ? 3, b ? 2,sin A ? ,? c ? 5 . 2 5

…………………………10 分 …………………………12 分

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cosA ? 13 ,∴ a ? 13 . 21. 解:(1)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ?

9 9 ,? 27 a ? 9b ? ? ①…………………1 分 2 2

f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx, f ' ?3? ? ?6,?27a ? 6b ? ?6 ② ……………………………………2 分
①②联立,解得 a ? ? , b ?

1 3

1 1 1 ,? f ? x ? ? ? x 3 ? x 2 .…………………………………4 分 2 3 2
2

2 (2) f ' ? x ? ? ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln x 在 x ??1, ?? ? 恒成立;

即 x ? x ? k ln x ? 0 在 x ??1, ?? ? 恒成立;………………………………………………5 分
2

设 g ? x ? ? x ? x ? k ln x, g ?1? ? 0 ,∴只需证对任意 x ??1, ?? ? 有 g ? x ? ? g ?1? .……6 分
2

k 2x2 ? x ? k g ' ? x ? ? 2x ?1 ? ? , x ? ?1, ?? ? , …………………………………………7 分 x x
设 h ? x ? ? 2x ? x ? k ,………………………………………………………………………8 分
2

①当 ? ? 1 ? 8k ? 0 ,即 k ?

1 时, h ? x ? ? 0 ,∴ g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 8

∴ g ? x ? ? g ?1? ;………………………………………………………………………9 分 ② 当 ? ? 1 ? 8k ? 0 , 即 k ?

1 2 时 , 设 x1 , x2 是 方 程 2 x ? x ? k ? 0 的 两 根 且 x1 ? x2 , 由 8

x1 ? x2 ?

1 ,可 知 x1 ? 1 ,分析题意 可知当 x2 ? 1 时 对任意 x ??1, ?? ? 有 g ? x ? ? g ?1? ; 2 1 ,……………………………………………11 分 8
……………………………………12 分

∴ h ?1? ? k ? 1 ? 0, k ? ?1,??1 ? k ?

综上分析,实数 k 的取值范围为 ? ?1, ?? ? . 22. 解: (1)解法一:


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