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东北三校2013届高三第一次模拟考试 数学(理)


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哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2013 年高三第一次联合模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回

。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 o.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(CuA) ? B= ( ) A.{x|0<x<2} C.{x|0≤x<2} 2.命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是 A.若 x>l,则 x≤0 C.若 x≤1,则 x≤0 3.在复平面内复数 z= B.{x |0<x≤2} D.{x| 0≤x≤2} ( B.若 x≤l,则 x>0 D.若 x<l,则 x<0 ( D.第四象限 ( D.) ) )

3 ? 4i 对应的点在 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4.已知数列{an}是等差数列,且 a1+a4+a7= 2 ? ,则 tan( a3+a5)的值为 A. 3 B.- 3 C.

3 3

3 3
( )

5.与椭圆 C:

y 2 x2 ? =l 共焦点且过点(1, 3 )的双曲线的标准方程为 16 12
B.y2—2x2=1 C.

A.x2 一

y2 =1 3

y2 x2 一 =1 2 2

D.

y2 一 x2 =1 3

6.将 4 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,若每班至少 1 名教师,则不同的分配方案种数为 ( )
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A.12

B.36

C.72

D.108

7.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是( A.5 B.6 C.7 D.8 8.若 ( x ?



1 2 x
3

)n 的展开式中第四项为常数项,则 n=(

)

A.4 B.5 C.6 D.7 9.已知函数 y=Asin( ? x ? ? )+k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正

? ? ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( 2 3 ? ? A.y= 4sin(4x+ ) B.y =2sin(2x+ )+2 6 3 ? ? C.y= 2sin(4x+ )+2 D.y=2sin( 4x + )+2 3 6
周期为



10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2 ,AC =2,若四面体 ABCD 体积的最大值为

2 ,则这个球的表面积为 3 125? A. B.8 ? 6

( C.



25? 4

D.

25? 16


11. 若点 P 在抛物线 y2= 4x 上, 则点 P 到点 A (2, 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差 3) ( A.有最小值,但无最大值 B.有最大值,但无最小值 C.既无最小值,又无最大值 D.既有最小值,又有最大值 12.已知 f(x)=

1nx ? 1nx ,f(x)在 x=xO 处取最大值,以下各式正确的序号为 1? x 1 1 ① f(xo)<xo ② f(xo)=xo ③ f(xo)>xo ④ f(xo)< ⑤ f(xo)> 2 2
A.① ④ B.② ④ C.② ⑤ D.③ ⑤

(

)

第Ⅱ 卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

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?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 x、y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
1



14.已知 ? ={(x,y) | x|≤1,|y|≤l},A 是曲线 y=x2 与 y=x 2 围成的区域,若向区域 ? 上随机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 的概率为 。

15.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为 2,则该 几何体的体积为 。

A
16. 在△ABC 中, 2 2 = 2sin sin =2cosBsinC, 则 3 sinA, (B-C)

AC AB

的值为 。 三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-l)n(n∈ *) N 。 (I)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3; (Ⅱ )求证:数列{ an ?

2 ( ?1) n }为等比数列,并求出{an}的通项公式 3

18. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入 肺颗粒物。根据现行国家标准 GB3095-2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量 为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上 空气质量为超标。 从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2. 监测值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本, 5 监 测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 ?25,35? ?35,45? ? 45,55? ?55,65? ?65,75? ?75,85? (微克/立方米) 3 1 1 1 1 3 频数 (I)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的 概率; (Ⅱ )从这 10 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布 列; (Ⅲ )以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 366 天计算)中平均有 多少天的空气质量达到一级或二级. (精确到整数)
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19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥ 底面 ABC,∠ ACB=90o,E 是棱 CC1 上动点,F 是 AB 中点,AC=1,BC=2,AAl=4。 (I)当 E 是棱 CC1 中点时,求证:CF//平面 AEB1; (Ⅱ )在棱 CC1 上是否存在点 E,使得二面角 A-EBl-B 的余弦值是 存在,求 CE 的长,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0) (m>0)为抛物线 y2=4x 内一个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交 抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点。 (I)若 m=l,klk2 =-1,求三角形 EMN 面积的最小值; (Ⅱ )若 k1 +k2=1,求证:直线 MN 过定点。

2 17 ,若 17

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=axsinx+ cosx,且 f(x)在 x ?

?
4

处的切线斜率为

2? . 8

( I)求 a 的值,并讨论 f (x)在[ ?? , ? ]上的单调性; (Ⅱ )设函数 g x) 1n mx+1) ( = ( +

1? x ? , x ≥0, 其中 m>0, 若对任意的 x1∈ [0,+∞) 总存在 x2 ? [0, ] , 1? x 2

使得 g(x1)≥f(x2)成立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清 题号。
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22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交半径 OA 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长线交 于 M。 (I)求证:MD=ME; (Ⅱ )设圆 O 的半径为 1,MD= 3 ,求 MA 及 CE 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 是 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , (? 为 参 数 ) 和 ? y ? 2sin ?

? x ? cos ? , 。以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (? 为参数) ? ? y ? 1 ? sin ?
(I)求圆 Cl 和 C2 的极坐标方程; (Ⅱ )射线 OM: ? ? ? 与圆 Cl 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求|OP|· |OQ|的最大值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-a| +2x,其中 a>0. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥2x+1 的解集; (Ⅱ )若 x?(-2,+∞)时,恒有 f(x)>0,求 a 的取值范围.

参考答案
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一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) CCBAC BBBDC DB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.14 14.

1 12

15. 24 ?

3? 2

16.

1 ? 13 2

三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1中分别令 n ? 1,2,3
n

得:

?a1 ? 2a1 ? 1 ? ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1
n

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

……3 分

(Ⅱ)由 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1得: S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 高考资源网 两式相减得: an ? 2an?1 ? 2(?1) n , n ? 2 ……6 分

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 高考资源网 3 3 3 3 2 2 a n ? (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )( n ? 2) ……9 分 3 3
故数列 ?a n ? 以

? ?

2 1 2 ? 公比为 2 的等比数列. 高考资源网 (?1) n ? 是以 a1 ? ? 为首项, 3 3 3 ?
an ? 1 2 ? 2 n ?1 ? ? (?1) n 3 3
……12 分



an ?

2 1 (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3

18.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事 件 A, ……1 分

P( A) ?

1 2 C3 ? C7 21 . ? 3 C10 40

……4 分

(Ⅱ)依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 10, M ? 3, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,其分
3 C3k C7 ?k 布列为: P ?? ? k ? ? ? k ? 0,1, 2,3? 3 C10

……6 分

?

0

1

2

3
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P

7 24

21 40

7 40

1 120

……8 分

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(366,0.7)

7 , 10
……10 分

? E? ? 366 ? 0.7 ? 256.2 ? 256 ,

? 一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级
19.(本题满分 12 分) 解: (1)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG ? F、G 分别是棱 AB、AB1 中点,

.…12 分

1 BB1 2 1 又? FG∥EC, EC ? CC1 , FG=EC 2 ? 四边形 FGEC 是平行四边形, ? CF / / EG ? CF ? 平面 AEB1, EG ? 平面 AEB1 ? CF / / 平面 AEB. ? FG / / BB1 , FG ?
(2)解:以 C 为坐标原点,射线 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz. 则 C(0,0,0) ,A(1,0,0) 1(0,2,4) ,B 设 E (0, 0, m) (0 ? m ? 4) ,平面 AEB1 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) . 则 AB1 ? (?1, 2, 4) AE ? (?1,0, m) , 由 AB1 ? n1 , AE ? n1 得?

……4 分 ……6 分

uuu r

uur u

????

??? ?

?? x ? 2 y ? 4 z ? 0 ?? x ? mz ? 0
……8 分

n1 ? ( 2 m ? 4 , 2 ) m,
? CA ? 平面 C1CBB1

??? ? ??? ? ? CA 是平面 EBB1 的法向量,则平面 EBB1 的法向量 n2 ? CA ? (1,0,0) ……10 分
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? 二面角 A—EB1—B 的平面角余弦值为
n ?n 2 17 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 17 n1 n2

2 17 , 17
2m



4m ? (m ? 4) 2 ? 4
2

解得 m ? 1(0 ? m ? 4)

? 在棱 CC1 上存在点 E,符合题意,此时 CE ? 1 20.(本题满分 12 分)
解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

……12 分

∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ……2 分 2 2 k1 k1

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ……4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k1 ?
2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

……6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ……8 分 2 2 k1 k1 k2 k2
……10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2
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∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1
……12 分

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) . 21.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a sin x ? ax cos x ? sin x ? (a ? 1)sin x ? ax cos x

……2 分

? 2 ? 2 2? f ?( ) ? (a ? 1) ? ? ?a? ? 4 2 4 2 8
?a ?1
……4 分

? f ?( x) ? x cos x
? f ?( x )? 0 ?? ? x ? ? ? ? f ?( x )? 0 ? ?
则 f ( x ) 在 (?? , ? (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

或 ?x? , 0

?
2

?
2

? x? 0, 或

?
2

? x ??

?
?

), (0, ) 上单调递增; f ( x) 在 (? , 0), ( , ? ) 上单调递减;……6 分 2 2 2 2 ] 时, f ( x) 单调递增,? f ( x)min ? f (0) ? 1

?

?

?

2

则依题 g ( x) ? 1 在 x ? [0, ??) 上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?
①当 m ? 2 时,

……8 分

m?2 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,即 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,又 m

g (0) ? 1 , 所 以


g ( x) ? 1 在

x ? [0, ??) 上 恒 成 立 , 即 m ? 2 时 成
……10 分

②当 0 ? m ? 2 时,当 x ? (0,

2?m ) 时, g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 单调递减,? g ( x) ? g (0) ? 1 , m
……12 分

故 0 ? m ? 2 时不成立,综上 m ? 2 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OD ,则 OD ? MD

?CEO ? ?ECO ? 90o , ?MDE ? ?EDO ? 90o , 又?EDO ? ?ECO ??CEO ? ?MDE ? ?MED,? MD ? ME
·9·

……5 分

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(Ⅱ)解:由(Ⅰ) MD2 ? MA ? MB ?3 ? MA ? (MA ? 2) ? MA ? 1 在 Rt ?MDO 中, MO ? 2, MD ? 3

??MOD ? 60? ,??COD ? 150? ??ECO ? 15?
CE ? OC 1 ? ? 6? 2 cos ?ECO cos 15 o

……10 分

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) C1 和 C2 的错误!未找到引用源。的普通方程分别是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 和 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 圆 错误!未找到引用源。 , 所以圆 C1 和 C2 的错误!未找到引用源。的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? 错误! 未找到引用源。. ……5 分

(Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 P(4cos ? , ? ) 错误!未找到引用源。和 Q(2sin ? , ? ) 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | .从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? | ? 4 . 当且仅当 sin 2? ? ?1 时,上式取“=”即, | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . ……10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ) a ? 2 时, x ? 2 ? 2x ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

? 解集为 ? ??,1? ? ?3, ???
(Ⅱ) f ( x) ? ?

……5 分

?3x ? a,x ? a ? a ? 0 ? 当 x ? ?2 时 f ( x) ? x ? a ? ?2 ? a ,只需 ?2 ? a ? 0 即可, ? x ? a, x ? a
……10 分

?a ? 2

·10·


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