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柱体、锥体、台体的表面积和体积教学设计


范例:以新课标教材人民教育出版社 A 版(2004 年)必修 2《1.3.1 面积与体积》

柱体、锥体、台体的表

一、教学目标
1.知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关 系。 (3)培养学生空间想象能力

和思维能力。 2.过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。 (3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想,培养学生通过化归解决问题的能力和意 识,体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。) 3.情感、态度与价值观 (1)通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响, 从而增强学习的积极性。 (2)培养学生质疑的意识,以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑,可以 通过教师的质疑逐步引导,培养理性的精神。)

二、学情分析
学生已具备一些直观的对简单几何体的认识,理性思维还不很成熟,所以在实际教学时, 要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度,从而激发学生进一步学习的欲望。

三、教材分析
1.本节的作用和地位 本节内容是高中的一个重要内容,它能使学生的认识在理性方面有所提高,通过本节内 容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归,因此本节内容十分重要。 2.本节主要内容 该部分内容中有一些是学生熟悉的,比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。 其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。 在解决这些问题的过程中,首先要对学生已有的知识进行再认识,提炼出解决问题的一般思 想——化归的思想,总结出一般的求解方法,在此基础上通过类比获得解决新问题的思路, 通过化归解决问题,深化对化归、类比等思想方法的应用,这也是学习下一章内容时要用的 基本方法。 3.重点、难点分析 在解决具体问题时,要用相似三角形求得线段的长,这是本课时的难点。特别是对于基
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础比较好的学生,如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式,其难度也是比较大的。 因此确定本课时的教学重点、难点是: 教学重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算,培养学生通过化归解决问题的能力 和合情推理的能力。 教学难点:台体的表面积与体积公式推导,以及“特殊到一般”认识规律和“创造条件 促成事物的转化”思想在推导公式过程中的渗透与应用。 4.课时要求:2 课时

四、教学理念
课程标准强调学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因 此教学中要“以人为本” ,积极引导学生参与到知识获得的过程中,让学生获得分析问题、解 决问题的能力。

五、教学策略
课程标准的要求是:了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆公 式)。而且,新课程的编排体系是从整体到部分,从宏观到微观,也即在本课时学习之前学生 对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知,所以,在本课时学习过程中最好通过直观感 知、合情推理的方式展开教学。

六、教学环境
本课时涉及的内容比较多,而且其中很多都是再现性的,因此必须借助适当的信息技术 手段提前将需要再现的图形准备好,提高课堂教学的效率。提前制作一些由一个棱柱切开成 3 个棱锥的模具,上课后供学生操作使用。

七、教学过程
引言:通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图,我们了解了空 间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法,即平面图形与空间几何体的互 化,尤其是空间几何体问题向平面问题的转化,这种化归的思想方法将贯穿立体几何的研究 过程,是一个重要的思想方法,在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。 (设计意图:挖掘旧知识中蕴涵的数学思想方法,使得隐性知识显性化,在本课时的学习 中发挥先行组织者的作用。) 本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面 的面积,即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。 问题 1 (1)试着完成下表 1 中你会的部分。 (2)比较表 1—1 和表 1—2 中空间几何体的侧面积与表面积你完成的部分, 是否蕴涵着上 述化归思想,并请具体给出阐释。
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(设计意图:通过完成(1)达到帮助学生复习扫清学习障碍、同时了解学生基础的目的。通 过完成(2)进一步明确化归思想方法,为后继解决问题提供思路。) 活动方式:学生独立完成之后教师利用展台展示学生完成的情况,讲评纠错。
表 1-1 部分平面图形的面积 表 1-2 部分空间几何体的表面积与体积

预设的结果:学生可以完成表 1—2 中正方体、长方体的表面积和体积,圆柱、圆锥的侧 面积、表面积和体积。
3

在教师的引导下,学生进一步明确其中蕴涵的空间几何体问题可以转化为平面几何问题 求解的化归思想方法,运用这种方法时,第一步是要得到空间几何体的展开图;第二步是依 次求出各个平面图形的面积;第三步将各平面图形的面积相加即可。 实际情况:学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清,所以出 现错误。于是对比表 1—l 进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式,之后又利用 扇形面积公式求得圆锥的侧面积。 在基础比较差的班级上课时,学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。 学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开,而是直接计算求解,但是在 回答问题“是否蕴涵有上述化归思想?”时学生还是能很清楚地解释的。 备用图

图 2—1 正方体及其展开图

图 2—2 长方体及其展开图

图 2—3 圆柱体及其展开图

图 2—4 圆锥及其展开图

问题 2 (1)类比上述求法,利,用化归的数学思想方法,完成练习 1 和练习 2; 机动练习 1 表面积。 如图 2—5,已知三棱锥 S—ABC 的棱长为 a ,各面均为等边三角形,求它的

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图 2—5

图 2—6

机动练习 2

如图 2—6,四棱台的上、下底面均是正方形,边长分别是 8 cm 和 14 cm,

侧棱长都是 5 cm,求它的侧面积。 (2)思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?之后在 表 2—2 中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。 (设计意图:巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始,具体问题可以缩短学生进入解 题状态的时间, 同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受,提供了推广的基础。) 活动方式:学生独立完成,展示交流点评。 预设的结果:先完成练习 1 和练习 2,之后抽象得出一般解法。 实际的情况:学生在解决问题时,思路比较顺畅,几乎不存在问题,但是实际计算时出
1 a 3a 现了问题,表现在计算正三角形的面积时出错: ? ? , 于是求得最后结果 2 3a 2 ,还 2 2 2

有学生的计算结果是 2 3a ;计算梯形的面积时出现的错误是:错认为 5 是梯形的高。在练习 2 中只要求计算梯形的侧面积,但是有学生并没有认真审题,仍然计算全面积。 回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。 问题 3 类比上述方法,求圆台的侧面积和表面积,数据如图 2—7 所示。

图 2—7

圆台体及其侧面展开图

(设计意图:巩固已有方法,解决新问题。)
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活动方式:学生独立完成,展示讨论,形成正确的解题步骤。 预设的答案:(略) 实际的情况:学生的思路没有问题,但是具体的计算有问题,表现在两个方面:第一是 不能选择引入简单的变量,比如有学生设 O??B ? l ,使得计算复杂;第二是根据三角形相似列 r? O??A 式时出错,比如有学生列出的比例式是 ? 等。 r l 针对上述情况实际教学时, 将学生写的解答过程在展台上展示, 通过提问 “对应边是谁” , 纠正错误。 问题 4 将正方体、长方体的体积公式分别改写为: V正方体 ? a3 ? a2 ? a ? S底 ? h ,其中

h ? a ; V长方体 ? abc ? ab ? c ? S底 ? h ,其中 h ? a 。据此猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图:根据已有知识经验获得一般的结论,培养学生合情推理的意识和习惯。) 预设的答案: V棱柱 ? S底 ? h ,其中 h 表示棱柱的高。 实际的情况:比较顺利地完成。 问题 5 根据圆锥体积与圆柱体积的关系,猜想棱柱的体积公式是什么?

(设计意图:根据已有知识经验获得一般的结论,培养学生合情推理的意识和习惯。)
1 预设的回答: V棱锥 ? S底 ? h ,其中 h 表示棱锥的高。 3 实际的情况:比较顺利地完成。

问题 6 么猜想?

我们知道等底同高的三角形的面积相等,类比这个结论针对三棱锥你能得到什

(设计意图:培养学生根据空间图形与平面图形的关系将平面几何中的结论在空间进行推 广的意识和能力,为完成下面的任务做准备。) 活动方式:学生独立思考,完成猜想,必要时教师予以帮助。 预设的答案:如果两个三棱锥的底面积相等,高也相等,那么这两个三棱锥的体积相等。 实际的情况:在学生基础较好的班完成得比较顺利,在基础较差的班完成得比较困难, 学生不能将平面几何中的三角形、面积与空间中的三棱锥、体积联系起来。
1 你能利用上述猜想解释 V棱锥 ? S底 ? h 吗? 3

问题 7

6

图 2 —8

(设计意图:虽然此处还不能进行理论的论证,但是在猜想的基础上可以引导学生进行说 理,培养学生的理性思维习惯。) 预设的活动方式:展示操作,由老师利用模型或图 4—2—8 进行解释。 实际情况:都是学生完成的。(在学生基础较差的班级实际教学时没有进行到这里。) 学生不善于改变方向换角度看问题。 学生在解释图 2—8 中三棱锥 1 与 2 的体积相等选择 的底面是 ?A?BC ,顶点是点 A 和点 B? 。这样的选择能直接解释底面积相等,但是就目前的几 何知识还解释不了高相等,虽然学生解释了如何做高。又有学生解释时选择的底面分别是
?A? AB 和 ?A?B?B ,顶点是 C。这个选择比较容易理解,但是还不够直观,也许是因为手头没

有模具的原因,后来在老师的提示下将两个三棱锥“扳倒” ,使得 ?A?AB 和 ?A?B?B 所在的面 着地,那么顶点重合高相当,而不需要从顶点到底面做高,既直观又避开了没有学过的知识。 问题 8 类比棱台、圆台侧面积的求法,你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?

如图 2—9,设圆台的上、下底面积分别为 S ? 和 S ,高为 h ,试求其体积。

图 2 —9

预设的答案:转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。 活动方式:学生独立思考完成。 预备的解决过程(以圆台为例):如图 2—9,设 O ?O ?? ? x ,上、下底面的半径分别为 r ? , 和 r ,圆台的上、下底面积分别为 S ? 和 S 。
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x r? ? ? 因为 x?h r

? ? S?
S S

S?

?
所以 x ?

h S? S ? S?

1 1 1 1 1 所以 V台 = S (h ? x ) ? S ?x ? Sh ? Sx ? S ?x 3 3 3 3 3

1 1 1 1 h S? ? Sh ? ( S ? S ?) x ? Sh ? ( S ? S ?) 3 3 3 3 S ? S?

1 1 1 ? Sh ? ( S ? S ? )h S ? ? h( S ? SS ? ? S ?) 3 3 3
实际情况:学生只给出思路,具体的计算课后完成。 机动练习 3 看图填空

机动练习 4

四棱台的上、下底面均是正方形,边长分别为 3 cm 和 5 cm,高是 6 cm,

求此棱台的体积。

图 2—10

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(设计意图:检验教学效果。) 实际情况:在课堂上没有做这两个练习。 问题 9 结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征,再观察它们的表面积公式、体积公式,你

能发现什么关系? (设计意图:从运动变化的观点分析三者之间的关系。) 预设的答案:

柱体、锥体、台体的体积之间的关系:

实际情况:只完成了表面积之间的关系。由于棱台的体积公式没有在课堂上推导,所以 没有要求学生思考体积之间的关系。 问题 10 (1)通过本节课的学习你有什么收获,请从数学知识、思想方法、解决问题的

经验等方面谈谈。(2)在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑? (设计意图:问题(1)是引导学生对本课时的学习进行归纳总结; 问题(2)引导学生对合

情推理过程进行质疑,培养学生思维的严谨性,同时激发学生进一步探究的好奇心,为第五 章的学习埋下伏笔。) 活动方式:学生独立思考,汇报交流。 实际情况:学生能小结出化归的多种途径,但是谈到质疑,学生只提出一个问题:还没 有讲棱台的体积怎么求。对于这个问题我的回答是: “为什么没有讲?”学生能类比解决。 学生没有其他质疑,于是教师提出问题: (1)为什么计算圆台的侧面积时可以用两个三角形相似?学生说根据定义圆台的两个底面
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平行。教师进一步追问:两底面平行就能推出两直线平行吗?并举出反例进一步激起学生的疑 问。 (2)做三棱锥的高是从一点向平面做垂线, 你怎么确定这条线是垂直的? 这些问题都需要 到下一章才能解决。

八、目标检测作业
作业:P27 练习,习题 1.3A 组 1,2,3。 (设计意图:初步运用公式解决问题。设计理念:将作业作为课堂教学的延伸、联结和必 要补充,而不单是模仿训练。)

九、教学反思
1.以研究方法及学生的认知发展规律为主线,旨在发挥数学的教育功能 根据上述的设计思路,这一节 2 课时的划分办法是:第一课时研究柱体、锥体、台体的 表面积,及教材中的例 1;第二课时,解决教材中的例 2、例 3 及相关的公式应用问题,之后 完成对球的表面积与体积的学习。 这个设计思路在实际教学中得以充分的实现,学生从一开始对“化归”思想的陌生,不 知道该如何解释“类比” ,及化归的具体办法,可见他们已经能将之显性化。通过本课时的学 习,学生应该比较清楚立体几何初步学习的基本思路,对后继的学习有帮助。 2.注重先行组织者的作用——解释研究方法 在实际教学时,引导学生回忆本章前面学习了哪些知识,其中蕴涵着什么数学思想。通 过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想,这是本课时的核心思想,它贯穿本课时教学的全 过程,很好地发挥了先行组织者的作用。 3. 注重学生的已有知识经验的作用, 并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层 次;注重设计与生成的有机结合 在学生基础较差的班级上课时,确实困难,因为有学生连正方体、长方体的表面积和体 积都写不对,更不用说写出圆柱、圆锥的表面积与体积了。怎么办? 落实与完美不可兼得时 选择“断臂维纳斯”之美。于是在课堂上“就地卧倒” ,和学生一起填写表格,一点一点地落 实,并且是看着学生把该填的都填上,否则这一节课就只能是“教师讲课”了。在这一节课 上没有按照预设的完成任务,但是学生是有收获的,听课教师也是有收获的。听课教师说听 了这节课后要写文章“普通班学生数学缺乏兴趣,问题出在哪里?”或者“如何真正针对普通 班学生数学缺乏兴趣,落实因材施教原则” 。学生“感觉收获特别大!” “整节课,学生在一种 愉快而又紧张(他们怕被提问但又想被问)的思考中,结束了这节课的学习。 ” 在教学实践中,注重学生的参与,并且是思维层面的参与,并通过环环相扣的问题串实 现。什么是思维层面的参与,可以通过一个具体的事例解释:比如求圆台的侧面积,笔者的 处理方式是问题提出后,教师“闭嘴” ,由学生独立思考解决,之后再交流。常见的教学方式 是,提出问题之后教师先分析思路,确定解法之后由学生完成。后一种方式中学生活动的思
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维含量较低,属于“苦力”行为,而且容易养成学生的依赖性,导致在考试中“不怕难题怕 新题的现象” 。在评课时,授课所用班级的原课任教师也说到, “学生的配合并不是太好,原 因是学生不习惯这种教学方式。 ”事实上只有一开始就把问题交给学生,才能真正发现问题, 生成教学,才能培养学生独立性,才能培养学生分析问题的能力。 4.注重直观感知,合情推理,但是争取不失时机地进行说理和推理 课程标准对该部分内容的要求是“了解” ,并且不要求记忆公式。但是在写教学设计时一 直有一个困惑: 难道就直接把公式给学生吗?那样做符合高中的课程目标和学生的思维规律吗? 在写教学设计时还是希望不失时机地给学生渗透说理和推理,并在教学实践中予以落实,这 样做导致的结果就是容量加大,在规定的 2 课时内实在是难以完成,包括对实验班的学生。 这一节课在我省最好学校的最好班级、城市优质高中的实验班 (该校班级分为实验班、普通 班)、城市优质高中的普通班(该校班级分为特优班、实验班、普通班)分别上过,每次上完课 的感觉都是紧张,容量大,听课教师的感觉也是如此,但是这一课时完不成上述教学设计的 内容,那么必定在 2 课时内完不成这一节的教学内容,就像在普通班“就地卧倒”之后,必 须用 3 课时完成,而这个普通班还不是最差的班级。所以现在依然困惑是教学设计超标了, 还是课时给少了? 对于这一节有两种解决课时的办法:第一种办法是不用本教学设计,只把结论给学生, 但对这种方法多数教师都持怀疑态度,这样教就可以了吗? 第二种办法是用 3 课时完成,并 如下划分 3 课时:柱体、锥体、台体的表面积及其应用 1 课时,体积及其应用 1 课时,球的 体积、表面积和本节习题处理 1 课时。 5.教材处理有变化,但变化中有不变的规律——尊重教材的处理思路 教材处理中有两点做了明显的变化:其一是调整了教材处理的顺序,将圆柱、圆锥的表 面积与体积问题提前,因为这些内容在义务教育阶段已经学过;其二是将问题分化,即将表 面积分化为侧面积与底面积。重点解决侧面积问题。实践证明这样处理是正确的,不论在哪 种类型的班级上课,只要解决了侧面积问题,表面积问题就水到渠成,一带而过。但是变化 中不变的一条是遵循教材的研究思路,与同题授课的老师相比更注重研究思路在教学过程中 发挥的作用,在评课中同题授课的教师也认为笔者的处理方式更好。所以建议教师在研读教 材时不但要看显性的知识,还要看隐性的知识,将明线暗线相统一。 (注:该案例由山西省教科院薛红霞老师提供) 思考与练习: 1.教学设计与教案的关系是什么?选择一个中学数学内容具体详细写一个教学设计与教 案,并作比较。 2.你认为数学课堂教学设计要遵循哪些原则?选择一个中学数学内容具体来说明。 3.下面是某老师设计的《函数的最大值与最小值》教学目标: [知识和技能目标] (1)明确闭区间[。 ,6)上的连续函数/(J),在[d,凸]上必有最大值与最小值。 (2)理解上述函数的最值可能存在的位置。
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-

I

(3)掌握用导数方法求上述函数的最大值与最小值的方法与步骤。 [过程和方法目标] I (1)在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识。

I I I

(2)培养学生的数学能力,能够自己发现问题、分析问题并最终解决问题。 [情感和价值目标] 思想。 (2)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。 请你对该老师设计的这个教学目标作出点评。 4.下面是某老师设计的《数学归纳法及其应用举例》的学情分析: 知识准备:学生对等差(比)数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面 ÷ (1)认识事物之间的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义

的把握和较深入的理解,同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力,但对归 纳的概念是模糊的。 能力储备:学生经过中学前 5 年的数学学习,已具有一定的推理能力,数 学思维也逐步向理性层次跃进,并逐步形成了辩证思维体系。但学生自主探究 问题的能力普遍还不够理想。 学生情况:我所在的学校是省属重点中学,所教的两个班级是平行班,学 生基础还不错。我按照大纲要求,结合学生情况,补充了一些问题情境和数学 实例以烘托重点,突破难点。 你认为该老师的这个学情分析有什么缺陷? 5.数学课堂的教学反思有哪些方法?你常用哪种方法进行课后反思?请 你判断以下的课后反思用的是什么方法。 “充分条件与必要条件”课后反思 (1)本课的学习是为今后进一步学习其他知识作准备,随着后续章节的学 习,对充要条件的理解和应用将贯彻始终,学生对逻辑知识的应用将越来越广 泛和深入,相应的对逻辑知识的理解和掌握水平也将越来越高,同时学生的认 知是一个循序渐进的过程,片面地强调求难、求偏均不能很好地完成本课教学 任务,因此本课教学一定要从学生实际和教科书的具体内容出发,提出恰如其 分的教学要求,避免一步到位。 (2)对教材中例 1 选题的几点思考: ①这组题设置由一般(不等关系)到特殊(等量关系),为什么? ②教材仅设置例 1 一道例题,要完成本课教学目标,如何把握其设置意 图?学生由此题可得到怎样的知识和心得?教师要如何运用教材更好地体现自 己的教学思想?都值得我们教学人员仔细推敲。 6.下面是某老师“充分条件与必要条件”的教材分析: 学习数学需全面理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这就离不开对
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逻辑知识的掌握和应用。更广泛地说,在日常生活、工作和学习中,基本的逻 辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。作为高中数学起始章节的内 容,充要条件在高中数学中地位是最基本的,也是最重要的。通过本课学习着 重培养学生逻辑思维(如理解、判断、推理、归纳等)的能力。 请你对该老师所做的教材分析作出评价。 主要参考文献: 1.章建跃: 《数学课堂教学设计研究》 ,载《数学通报》 ,2006(7)。 2.王秋海主编: 《数学课堂教学技能训练》 ,第 1 版,上海:华东师范大 学出版社,2008。 3.蒋永晶、王书臣: 《数学课堂教学设计的概念、内容和意义》 ,载《继续 教育研究》 ,2002(3)。 4.唐彩斌: 《数学课堂教学设计“六问” 》 ,载《研究与探索(数学版)》 , 2007(6)。 5.杨瑞强: 《浅谈利用多媒体在数学课堂教学中的体会和思考》 ,网址 http://WWW.pep.com.cn。 6.章建跃: 《数学教学反思的内容与方法(指导意见)》 ,载《中国数学课程 网》 ,网址 http://math.cersp.com。

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