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广东省中山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


中山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期 高二级 第一次段考 文科数学试题
参考公式:

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

?? x ? ? y ?b ,a

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1. 在复平面内,复数 A.第一象限

1 ? 2i 对应的点位于( ) 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 数列 2, 5,11, 20, x, 47, ? 中的 x 等于( ) A.28 C.33 B.32 D.27

3. 根据右边程序框图,当输入 10 时,输出的是( ) A.12 C.19 B.14.1 D.-30

4. “所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数, 故该奇数是 3 的倍数.”上述推理( ) A.小前提错 5. 函数 f ( x) ? A.单调递增 C.先 单调递增后单调递减 B.结论错 C.正确 D.大前提错

1 3 1 2 x ? x ? 6 x ? 1 在区间 (?2,2) 上( ) 3 2
B.单调递减 D.先单调递减后单调递增

6. 已知回归直线斜率的估计值是 1.23, 样本点的中心为(4, 5), 则回归直线的方程是 ( ) A.

y =1.23x+0.08

?

B.

y =1.23x+5

?

C.

y =1.23x + 4

?

D.
1

y =0.08x+1.23
7. 设 a , b 大于 0,则 a ? A.都大于 2 C.都小于 2 8.已知命题 p :“ x ? 1 ”,命题 q : “ A.充要条件 C.必要不充分条件 9. 双曲线

?

1 1 , b ? 的值 b a
B.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

1 ? 1 ”,则 p 是 q 的( x



B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 a 2 4a 2
B.

A.

5

5 2

C.2

D. 3

10. 若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最 大值等于( A.3 ) B.6 C.9 D.2

11.把正整数按下图所示的规律排序,则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为 B

12. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n , 称 Tn 为数列 a1 ,a2 , ??, n

an 的“理想数”,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 2004, 那么数列 2, a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为(
A.2002 B.2004 ) D.2000

C.2008 第 II 卷(共 90 分)

2

二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13. 某工程的工序流程如图所示,现已知工程总时数为 10 天,则工序 c 所需工时为 天.

a

2

c n 4 d
3

5
4

e
3

0 1 1 m 0 3 b 2
2

7 f

g
1

8

6

14. 若“ ?x ? R, 使 x ? 2ax ? 2 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的范围 15. 在极坐标系中,直线 ? sin(? ?

. .

?
4

) ? 2 ,被圆 ? =4 截得的弦长为

16. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为
a 2 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个正方体的 4

某顶点在另一个正方体的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒 为 . 三、解答题: (本题满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应数据: (1)请画出上表数据的散点图; x 2 4 5 6 (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法 y 30 40 50 60 ? x+ a ?; 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y =b

8 70

(3)要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元),则广告费支出至少为多少百万元? (结果精确到 0.1,参考数据:2×30+4×40+5×50+6×60+8×70=1390) 。 18. (本小题满分 10 分) x ? 1 ? 3cos t 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) .在极坐标 ? ? y ? ?2 ? 3sin t 系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为

3

? 极轴)中,直线 l 的方程为 2 ? sin(? ? ) ? m ( m ? R ) . 4
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2 ,求 m 的值.

19. (本小题满分 12 分 ) (1)已知复数 z ? 1 ? i ,且 z ? az ? b ? 3 ? 3i ,求实数 a, b 的值;
2

(2)解不等式: 2x ? 1 ? x ? 4 ? 2 .

20. (本小题满分 12 分) (1)用分析法证明不等式: 6 ? 5 ? 7 ? 2 ; (2)用综合法证明不等式:若 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ac ?

1 . 3

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x . 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求证: x ? 1 时, f ( x ) ?

2 3 x 3

22. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (? 3,0) 、F2 ( 3,0) ,P 为椭圆 C a 2 b2

上任一点, PF1 ?

PF 2 的最大值为 1.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 A(1, 0) ,试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 E 两点,且 使得 | AD |?| AE | ?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

17. (本小题满分 10 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应数据: (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的

x y

2 30

4 40

5 50

6 60

8 70

? x+ a ?; 线性回归方程 ? y =b
(3)要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元),则广告费支出至少为多少百万元? (结果精确到 0.1,参考数据:2×30+4×40+5×50+6×60+8×70=1390) 。

解: (1)散点图如下:

5

2017 届高二下学期期中考试数学(文科)参考答案 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 A 10 C 11 B 12 A

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13.4; 14. [? 2, 2] ; 15. 4 3 ; 16.

a3 8

三、解答题: (本题满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.解: (1)散点图如下图所示:

?????? 3分

(2) x ? 5, y ? 50 ,
5

?x
i ?1

5

2

i

? 145 , ? xi yi ? 1390 ,
i ?1

5

?? ?b

? x y ? 5x ? y
i ?1 5 i i

?x
i ?1

?

2

i

? 5( x) 2

1390 ? 5 ? 5 ? 50 ? 7, 145 ? 5 ? 52

? ? y ? bx ? ? 50 ? 7 ? 5 ? 15 , a ? 所求回归直线方程为 ? y ? 7x ?15

??????8分

(3)依题意,有 7 x ? 15 ? 100,? x ? 12.1, 所以广告费支出至少为 12.1 百万元. ?????????10 分 18.解: (1)圆 C 的普通方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ;????????3 分 直线 l 的直角坐标方程 x ? y ? m ? 0 .????????6 分

6

(2)?

圆心 C (1, ? 2) 到直线 l 的距离 d ?

1 ? (?2) ? m 2

?

3? m 2

? 2 ???8 分

? m ? ?3 ? 2 2 ????????10 分
19. 解: (1)? z ? 1 ? i ,且 z ? az ? b ? 3 ? 3i
2

?a ? b ? 3 ? (1 ? i)2 ? a(1 ? i) ? b ? 3 ? 3i 即 (a ? b) ? (a ? 2)i ? 3 ? 3i ? ? ?a ? 2 ? ?3
因此 a ? ?1, b ? 4 ????????????6 分 (2)当 x ? ?

1 时,原不等式等价于 ?(2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 2 解得 x ? ?7 , 2

所以此时的解集为 (??, ? 7) ; 当?

1 5 ? x ? 4 时,原不等式等价于 (2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 2 解得 x ? , 2 3 5 所以此时的解集为 ( , 4] ; 3

当 x ? 4 时,原不等式等价于 (2 x ? 1) ? ( x ? 4) ? 2 解得 x ? ?3 , 所以此时的解集为 (4, ? ?) ; 综上所述,原不等式的解集为 (??, ? 7) ? ( , 4] ? (4, ? ?) ? (??, ? 7) ? ( , ? ?) . ????????????12 分 20. 证明(1) :?

5 3

5 3

6 ? 5 和 7 ? 2 都是正数,所以要证 6 ? 5 ? 7 ? 2 ,

只需证 ( 6 ? 5)2 ? ( 7 ? 2)2 . 展开得 11 ? 2 30 ? 11 ? 4 7 . 只需证 30 ? 2 7 , 只需证 30 ? 28 . 而 30 ? 28 显然成立,所以 6 ? 5 ? 7 ? 2 成立.????????6 分 (2)∵a+b+c=1,∴a +b +c +2ab+2bc+2ca=1 2 2 2 2 2 2 又∵a +b =2ab,b +c =2bc,c +a ≥2ca. 2 2 2 ∴将以上三个不等式相加,得 2(a +b +c )≥2(ab+bc+ca) , 2 2 2 ∴a +b +c ≥ab+bc+ca.
2 2 2

7

∴1=a +b +c +2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+ 2ca=3(ab+bc+ca). ∴ab+bc+ca ≤ 1 . 3 ????????????12 分

2

2

2

21.解:函数的定义域为 (0,??) , f ( x) ?
'

x2 ?1 x

( x ? 0) .

(1)由 f ' ( x) ? 0 得, x ? 1 ,即 f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数. 由 f ' ( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 . ? f ( x) 在 (0,1) 上是减函数. 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) ,单调递增区间是 (1, ??) .??????6 分 (2)令 g ( x ) ?

2 3 1 2 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) x ? x ? ln x , g ' ( x) ? 3 2 x

当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (1,??) 上是增函数, 故 g ( x) ? g (1) ,即

2 3 1 2 1 x ? x ? ln x ? ? 0 , 3 2 6
????????????13 分

1 2 ? x 2 ? ln x ? x 3 . 2 3

22.解:(1)设 P( x, y ) ,由 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) 得

uuu r uuu r PF1 ? (? 3 ? x, ? y) , PF2 ? ( 3 ? x, ? y) .
∴ PF1 ? PF2 ? ?( 3 ? x)( 3 ? x) ? y 2 ? x ? y ? 3 , ---------------------2 分
2 2

uuu r uuu r



x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1 y ? b (1 ? ) 得 a 2 b2 a2

uuu r uuu r 3 2 x2 2 2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x ? b (1 ? 2 ) ? 3 ? 2 x ? b ? 3 , ------------------------3 a a
分 ∵ 0 ? x ? a ,∴当 x ? a ,即 x ? ? a 时, PF1 ? PF2 有最大值,
2 2 2 2

uuu r uuu r

即 ( PF1 ? PF2 )max ? 3 ? b2 ? 3 ? 1, ---------------------------------------4 分

uuu r uuu r

8

∴ b ? 1, a ? c ? b ? 4 ,
2 2 2 2

∴所求双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.--------------------------------6 分 4

(2)假设存在直线 l 满足题设,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,----------------------------------------7 分
由 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? ?16(m2 ? 4k 2 ?1) ? 0 ,得 4k ? 1 ? m -----①
2 2

又 x1 ? x2 ? ?

8km --------------------9 分 1 ? 4k 2

由 | AD |?| AE | 可得
2 ( x1 ?1)2 ? y12 ? ( x2 ?1)2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? x1 ? x2 ? 2 ?
? ?(1 ? k 2 )

y1 ? y2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2km ? 2 ? 0 x1 ? x2

8km ? 2km ? 2 ? 0 1 ? 4k 2

化简得 m ? ? 分

1 ? 4k 2 ------------② 3k

--------------------------------11

1 ? 4k 2 2 ) 将②代入①得 4k ? 1 ? ( 3k
2

化简得 20k ? k ?1 ? 0 ? (4k ? 1)(5k ?1) ? 0 ,
4 2 2 2

解得 k ?

5 5 或k ? ? 5 5

9

所以存在直线 l ,使得 | AD |?| AE | ,此时 k 的取值范围 (??, ?

5 5 ) ? ( , ??) . 5 5

-------------------------------------13 分

10


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