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甘肃省天水市一中2015届高三数学上学期第一轮复习基础知识检测(期末)考试试题 文


天水一中 2015 届高考第一轮复习基础知识检测 数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分)
2 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ? N = (

?

?



A. ?0? 2

.已知 ? ? ? ?, A.

B. x x ? 0

?

?

C. x ? ? x ? 3

?

?

D. ?1, 2?

? ?

3? ? 5 cos? ? ? , tan 2? ? ( ?, 2 ? 5
B. ?



4 3

4 3

C. ? 2

D.2

3.若双曲线

的离心率为 2,则其渐近线的斜率为(



A.

B.

C.

D. )

4.已知 i 是虚数单位,若复数 ?1 ? ai ?? 2 ? i ? 是纯虚数,则实数 a 等于( A.2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

?x ? y ? 0 ? 5.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?y ? 3 ?
A. 1 B.



3 2

C.

2


D.

5 2

6.程序框图如下图所示,则输出

的值为(

-1-

开始

n ? 1, S ? 0

n ? 6?




S ? S ?n

输出 S

结束

n ? n ?1

A.15

B.21

C.22

D.28 ) D. c ? b ? a ,若 ,则角 等于

7. a ? log0.7 0.8, b ? log1.1 0.9, c ? 1.10.9 的大小关系是 ( A. c ? a ? b 8.在锐角△ ABC 中,角 ( ) A. B. C. D. B. a ? b ? c C. b ? c ? a

所对应的边分别为

2 9.过抛物线 y ? 8x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 =6 ,

那么 AB = (



A. 6

B. 8

C. 9

D. 10 )

10.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( A .2
n ?1

B.

1 2
n ?1

n ?1 C. ( )

2 3

n ?1 D. ( )

3 2

11.函数

的图像大致是(



12.不等式

对任意

恒成立,则实数 的取值范围是( )
-2-

P

A.

B.

C.

D.
E A

F

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.已知 , ,若 ,则 .

O C

B

14.设 M (?5, 0) , N (5, 0) ,△ MNP 的周长是 36 ,则 ?MNP 的顶点 P 的轨迹方程为___ 15.函数 部分图像如图所示,则 16.已知 , . , , 在 R 上的

ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且

BC=1,AC=3,三棱锥 O-ABC 的体积为

,则球 O 的表面积为



三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 70 分) (注意:请考生在第 22—24 三题中任选一 题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,并在答题卡上写明所选题号。如果多做,则按 所做的第一个题目计分。其他各题为必做题。 ) 17. (本小题满分 10 分) 从某校高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高.据测量,被抽取的学生的身高全部介 于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如下:
错误!未找到引用源。
0.06 误!未找到引用源。 0.04

!未找到引用源。 未找到引用源。 找到引用源。

0.016 到引用源。 0.008 引用源。

用源。 155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高(cm) 源。

(1)试估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为多少; 。 (2)在样本中,若学校决定身高在 185cm 以上的学生中随机抽取 2 名学生接受某军校考官进 行 面试,求:身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率. 18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心在直线 y=2x 上,且与直线 l:x+y+1=0 相切于点 P(-1,0). (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若 A(1,0) ,点 B 是圆 C 上的动点,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明表示什么曲 线. 19. (本小题满分 12 分)如图,已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一点,且 AC=BC=PA,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点. (1)求证:EF//平面 ABC; (2)求证:EF⊥平面 PAC;

-3-

(3)求三棱锥 B—PAC 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ (1)求数列{ (2)设 = }的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3=9,a1,a3,a7 成等比数列. }的通项公式; ,求数列{ }的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的极值;

(3)对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 的取值范围. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是弦, ∠BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于 D ,DE ? AC 交 AC 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (1)求证: DE 是⊙ O 的切线; (2)若
AF AC 3 的值. ? ,求 DF AB 5
C D F A o B E

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ?

? 1 ? t cos? ( t 为参数) , C2 : ? ? 1 . ? y ? t sin?

(1)当 ? ?

?
3

时,求 C 1 与 C 2 的交点坐标;

(2)以坐标原点 O 为圆心的圆与 C 1 相切,切点为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求

P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ?| x ? 1 | ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 时,解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R, f ( x ) ? 2, ,求 a 的取 值范围 天水一中 2015 届高考第一轮复习基础知识检测 数学(文科) 参考答案 1.D. 2.B 【解析】

-4-

5 2 5 ? 3? ? 解:? ? ? ? , ? ,cos ? ? ? , ? sin a ? 1 ? cos 2 a ? ? ? tan a ? 2 5 5 ? 2 ? 2 tan a 4 ? tan 2a ? ?? . 2 1 ? tan a 3
3.B 4.A. 5.B

1 1 x ? z ,当 z 取到最小值时,直线的纵截距 2 2 1 1 3 最小,所以 B ( , ) 是最优解,代入目标函数得 zmin ? . 2 2 2
【解析】画出可行域,将目标函数变形为 y ? ?

6.B.考点:循环结构. 7.A 【解析】 试题分析:

log0.7 1 ? log0.7 0.8 ? log0.7 0.7 ? 1

, 而o lg 10 9 . o lg 1 ? 10 . 1 . 1

0.9 0 对于 1.1 ? 1.1 ? 1 ? ,

所以 c ? a ? b ,故选 A 8.A【解析】 试题分析:因为在锐角△ ABC 中,b ? 2a sin B ,由正弦定理得, ,所以

, 9.D

,所以答案为 A.

【解析】 2 p ? 8, p ? 4; 根据抛物线定义得:

| AB |?| AF | ? | BF |? x1 ?

p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 4 ? 10. 故选 D 2 2

10 . D 【解析】因为 Sn ? 2an?1 ? 2(Sn?1 ? Sn ) ,所以

S n ?1 3 ? ,则数列 {Sn } 是等比数列, Sn 2

3 S n ? ( ) n ?1 。故选 D。 2
-5-

11.C【解析】 试题分析:[法一]首先看到四个答案支中, 因此先判断函数的奇偶性,因为 ;又 时, ,选择 是明显的. 是偶函数的图象, ,所以函数 是奇函数的图象, 是奇函数,排除

[法二]化为分段函数 12.C 【解析】 试题分析:因为 a, b ? (0, ??) ,所以 立)

,画出图象,选

a 16b a 16b (当且仅当 a ? 4b 时等号成 ? ?2 ? ? 8, b a b a

所以由题意得 x 2 ? 2 x ? 8 ,解得: ?4 ? x ? 2 ,故选 C. 13.

14.

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 【解析】由椭圆的定义,知, ?MNP 的顶点 P 的轨迹是椭圆,且 169 144 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 。 169 144

2a=26,2c=10,所以 b=12,故 ?MNP 的顶点 P 的轨迹方程为

15 . ?

2? 5 T ? 【 解 析 】 由 已 知 得 ? 6 , 所 以 T ? 12 ? , ?= ,且 A ? 5 , 所以 2 . 2 6 ?

? ? f ( x) ? 5sin(? x ? ? ) ,又函数图像过 ,有 sin( ? ? ) ? 1 ,且 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ? , (2,5) 6 6 3 2015? ? ? 则 f (2014) = 5sin( ? 2014 ? ) ? 5sin 6 6 6 5 ?? . 2
16.12π 【解析】 由题可知, ? ABC 是直角三角形,并且三个点均在圆周上,所以取斜边中点 AC 的

中点 E,连接 OE,OE 即为此棱锥的高,由棱锥的体积公式知,

,得



,连接 BE,

为直角三角形,OB 就是圆的半径,由勾股定理知, 。

,则

球的表面积公式

-6-

17. (1)144 (2)错误!未找到引用源。P=0.7 (1)由频率分布直方图可知,样本中身高介于 185cm~190cm 的频率为:

∴800 名学生中身高在 180cm 以上的人数为:错误!未找到引用源。人. ( 2 )样本中,身高介于 185cm~190cm 的学生人数为错误!未找到引用源。人,身高介于 190cm~195cm 的学生人数为错误!未找到引用源。人. ∴“身高在 185cm 以上的学生 5 人中随机抽取 2 名学生”的基本事件数共 10 种, 其中抽取的 2 名学生中 “身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生” 的基本事件数有 7 种. ∴ 所求事件的概率为 P=0.7 错误!未找到引用源。 18. (Ⅰ)圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ;
2 2 (Ⅱ) ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,表示以(1,1)为圆心, 2 为半径的圆.

解析: (Ⅰ)设圆心 C(a,b)半径为 r,则有 b=2a, 又 C 落在过 P 且垂直于 l 的直线 y=x+1 上,故有 b=a+1,解得 a=1,b=2,从而 r= 2 2 ∴圆 C: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 8 (Ⅱ)设 M(x,y) ,B(x0,y0) ,则有
2 2

1 ? x0 y ? x, 0 ? y ,解 2 2

得 x0 ? 2 x ?1, y0 ? 2 y ,代入圆 C 方程得 (2 x ? 2) ? (2 y ? 2) ? 8 ,
2 2

化简得 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

表示以(1,1)为圆心, 2 为半径的圆.

19. (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 解析:证明: (1)在△PBC 中,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,所以 EF//BC. 又 BC 在平面 ABC 内,EF 在平面 ABC 外,所以 EF//平面 ABC. (2)因为 PA⊥平面 ABC,BC 在平面 ABC 内,所以 PA⊥BC. 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BC⊥ AC. 又 PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC. 由(1)知 EF//BC,所以 EF 平面 PAC. (3)解:在 中,AB=2,AC=BC,所以 AC ? BC ?

2 . 所以

.

因为 PA ⊥平面 ABC , AC 在平面 ABC 内,所以 PA ⊥ AC.

所以

.

由(2)知 BC 平面 PAC,所以

.

-7-

P F E A O C B

20. (1)an=n+1; (2) Tn ? 2n?2 ? 4 .
2 试题解析:(1) a3 ? a1a7 ,即(a1+2d) =a1(a1+6d),化简得 d ?
2

1 a1 ,d=0(舍去). 2

∴ S3 ? 3a1 ?

2?3 1 9 ? a1 ? a1 ? 9 ,得 a1=2,d=1. 2 2 2

∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1,即 an=n+1. (2)∵ = =2
n+1

,∴b1=4,

bn ?1 ? 2. bn

∴{bn}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ Tn ?

b1 (1 ? q n ) 4(1 ? 2n ) ? ? 2n ? 2 ? 4 . 1? q 1? 2

21 . ( 1 ) x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; ( 2 )函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 , 无极大值; (3)

b ? 1?

1 . e2

1 1 , f ' ( 2) ? , f (2) ? 1 ? ln 2 , x 2 1 ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ? ( x ? 2) , 2
试题解析: (1)函数的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? 1 ? 即 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 , (2)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 列表:

x
f ' ( x)

(0,1)


1
0

(1,??)
+ ↗

f ( x)

0

? 函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 , 无极大值。
(3)依题意对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立
-8-

等价于 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立

1 ln x ? 在 (0, ??) 上恒成立, x x 1 ln x ln x ? 2 令 g ( x) ? 1 ? x ? x , g ' ( x ) ? x 2
可得 b ? 1 ? 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? e 2 列表:

x
g ' ( x)

(0, e 2 )


e2
0

(e 2 ,??)
+

g ( x)

1?

1 e2



? 函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (e 2 ) ? 1 ?
根据题意, b ? 1 ?

1 , e2

1 . e2

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 [答案] 证明: (Ⅰ)连接 OD,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC

OD∥AE---------------3 分
又 AE ? DE ?

OD ? DE

? DE 是⊙ O 的切线.------- --5 分 (Ⅱ)过 D 作 DH ? AB 于 H,则有 ? DOH ? ? CAB AC 3 ?cos ?DOH ? cos ?CAB ? ? .------------------6 分 AB 5
设 OD ? 5 x ,则 AB ? 10x, OH ? 3 x, OD ? 5 x

? AH ? 8 x, AD2 ? 80 x 2 --------------------------8 分
由 ? ADE ? ?ADH 可得 AH ? AE ? 8 x

? AE ? 8 x
又 ?AEF ∽ ?ODF ,

AF AE 8 ? ? --------------10 分 DF DO 5

[由 ?ADE ∽ ?ADB 可得 AD 2 ? AE ? AB ? AE ? 10 x

? AE ? 8 x
-9-

又 ?AEF ∽ ?ODF ,

AF AE 8 ? ? --------------10 分] DF DO 5

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 [答案] 解: (1)当 ? ? 联立方程组 ?

π 时, C 1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 3

? ? y ? 3( x ? 1)
2 2 ? ?x ? y ? 1

解得 C 1 与 C 2 的交点为 (1, 0) , ( , ?

1 2

3 ) ????????????????5 分 2

(2) C 1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 A 点坐标为 (sin
2

? , ? cos ? sin ? ) .∴当 ? 变化时, P 点轨迹的参数方程为

1 ? x ? sin 2 ? ? 1 2 1 ? 2 2 ( ? 为参数) P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ? ? 4 16 ? y ? 1 sin ? cos ? ? ? 2
故 P 点轨迹是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 4

1 的圆. ????????????10 分 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 [答案] .解: (Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳.由 f(x)≥3 得︱x-1︳+︱x+1|≥3 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 知 不 等 式 的 解 集 为

3 3 ( ? ?,? ] ? [ ,? ?) 2 2

??5 分

(Ⅱ)若 a ? 1, f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件

?? 2 x ? a ? 1, x ? a ? 若 a ? 1, f ( x ) ? ? 1 ? a, a ? x ? 1 , f ( x ) 的最小值为 1 ? a ? 2 x ? (a ? 1), x ? 1 ? ? ? 2 x ? a ? 1, x ? 1 ? 若 a ? 1, f ( x ) ? ? a ? 1,1 ? x ? a , f ( x ) 的最小值为 a ? 1 ?2 x ? (a ? 1), x ? a ?
所 以 ?x ? R, f ( x ) ? 2, 的 充 要 条 件 是 | a ? 1 |? 2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为

( ??,?1] ? [3,??) .
解析二:

- 10 -

(Ⅰ)同上 (Ⅱ)利用不等式的几何性质, 所以 ?x ? R, f ( x ) ? 2, 的充要条件是 | a ? 1 |? 2 , 从而 a 的取值范围为 ( ??,?1] ? [3,??) .

- 11 -


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