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向量讲义


平面向量与空间向量 考点一: 向量及与向量相关的基本概念 题型 1. 概念判析 例 1、判断下列各命题是否正确 (1)零 向 量 没 有 方 向 (4) 向量就是有向线段 (2) 若 a ? b , 则a ? b (3) 单 位 向 量 都 相 等

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(6)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ;(7)若 a // b , b // c ,则 a // c
(8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB ? CD, BC ? DA (9) a ? b 考点二: 向量的加、减法 题型 1: 考查加法、减法运算及相关运算律 例 2、化简 ( AB ? CD) ? ( AC ? BD)

?

?
的充要条件是

? ? ? ? | a |?| b | 且 a // b ;

题型 2: 结合图型考查向量加、减法 例 3 、 在 ?ABC 所 在 的 平 面 上 有 一 点 P , 满 足

A D E B C

P A? P B ? PC ?
( ) A.

A B ?PBC 与 ?ABC 的面积之比是 , 则
B.

1 3

1 2

C.

2 3

D.

3 4

例 4、如图,在 ΔABC 中,D、E 为边 AB 的两个三等分 → → → → 点,CA =3a,CB =2b,求CD ,CE . 考点三: 向量数乘运算及其几何意义 题型 1: 三点共线问题

例 5、设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三点共线,求 k 的值。 例 6、已知 A、B、C、P 为平面内四点,求证:A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存 → → → 在一对实数 m、n,使PC =mPA +nPB ,且 m+n=1。 二、平面向量的基本定理与坐标表示 考点一: 平面向量基本定理 题型 1. 利用一组基底表示平面内的任一向量 例 7、在△OAB 中, OC ? 用 a , b 表示 OM 。 例 8、若已知 e1 、e2 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( A. e1 与— e2 B.3 e1 与 2 e2 C. e1 + e2 与 e1 — e2 D. e1 与 2 e1 )

1 1 OA, OD ? OB ,AD 与 BC 交于点 M,设 OA = a , OB = b , 4 2

例 9、在△ABC 中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4,BN 与 CM 交于点 P,且

AB ? a, AC ? b ,试 用 a, b 表示 AP
考点二: 平面向量的坐标表示与运算 题型 1: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 10、已知 A(—2,4) 、B(3,—1) 、C(—3,—4)且 CM ? 3CA , CN ? 2CB ,求点 M、N 的坐标及向量 MN 的坐标. 考点三: 向量平行的充要条件 题型 1: 平行、共线问题 例 11、已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1) , b ? ( ,1 ? sin ? ) ,若 a ∥ b ,则锐角 ? 等于( ) A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 75 ?

1 2

例 12、若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 三、平面向量的数量积 考点一:平面向量数量积的运算 题型 1. 求数量积、求模、求夹角

?

?

b ? 3, a与b的夹角为120 ,求 例 13、 已知 a ? 2,
o

(4) a?b ; () 1 a ? b;(2) a ? b ;( 3)(2a ? b ) ( ? a ? 3b )

2

2

, b? 例 14、已知 a ? 1

2,且a ? b与a垂直,求a与b的夹角。

题型 2. 利用数量积解决垂直问题 例 15、已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 | a ? b |? a ? b ,则 n ? ( ) A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3 例 16、知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B
的大小分别为(
π A. π , 6 3


π B. 2 π , 3 6 π C. π , 3 6 π D. π , 3 3

考点 2 利用数量积处理夹角的范围 题型 1:求夹角范围 例 17、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取 值范围是 ( ) A.[0,

? ] 6

B. [

?
3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

四.空间向量 题型 1:空间向量的概念及性质 例 1. 有以下命题: ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b

的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那 么点 O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c ,也 是空间的一个基底。其中正确的命题是( )

( A) ①②

( B ) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

解析:对于①“如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关 系一定共线” ;所以①错误。②③正确。 点评: 该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件, 为此我们要掌握 好空间不共面与不共线的区别与联系 例 2.下列命题正确的是( )

( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面; (C ) 零向量没有确定的方向;
题型 2:空间向量的基本运算 例 3.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
D1 A1 M B1 C1

( D) 若 a // b ,则存在唯一的实数 ? 使得 a ? ? b ;

M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b ,

D

C B

AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是(
( A) ?



A

1 1 1 1 1 1 a ? b ? c ( B ) a ? b ? c (C ) ? a ? b ? c 2 2 2 2 2 2

( D)

1 1 a? b?c 2 2

解析:显然 BM ? BB1 ? B1 M ?

1 1 1 ( AD ? AB ) ? AA1 ? ? a ? b ? c ;答案为 A。 2 2 2
? ? ? ?
? ? ?
?

例 4. 已知:a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥ b ,求 x , y 的值. 解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n , p 不共面,?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3:空间向量的坐标 例 6. 已知空间三点 A (-2, 0, 2) , B (-1, 1, 2) , C (-3, 0, 4) 。 设 a = AB ,b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.

思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要 求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =

a ?b | a ||b |

?1 ? 0 ? 0

=

2? 5

10 10 10 10 ,∴ a 和 b 的夹角为- 。 ?-

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) ,
5 ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=2k +k-10=0。则 k=- 2 或 k=2。
2 2

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 ( a + b )(k a -2 b )=k2 a 2-k a · b - 5 2 b 2=2k2+k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。 题型 4:数量积 例 23、设非零向量 a = ?x, 2 x ? , b = ?? 3x, 2? ,且 a , b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围。 题型 5:空间向量的应用 例 9. (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上, 使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 13a ? 1 , 13b ? 1 , 13c ? 1 ), n =(1,1,1),则| m |=4,| n |= 3 . ∵ m · n ≤| m |· | n |,∴ m · n = 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤| m |· | n |=4 3 .
1 13 a ? 1 13 b ? 1 13 c ? 1 当 = = 时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。
1 1 1

(2)解:W=F· s=(F1+F2+F3)·M 1 M 2 =14。


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