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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第73讲 极坐标系及简单的极坐标方程 Word版含解析


第十四单元 坐标系与参数方程 第73讲 极坐标系及简单的极坐标方程

1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( C ) π 4π A.(1,- ) B.(2, ) 3 3 π 4π C.(2,- ) D.(2,- ) 3 3 2.(2013· 丰台二模)在极坐标系中,圆 ρ=2sin θ 的圆心的极坐标是( A ) π π A.(1, ) B.(2, ) 2 2 C.(1,0) D.(1,π) 解析:由 ρ=2sin θ,得 ρ2=2ρsin θ, 所以 x2+y2-2y=0,其圆心坐标为(0,1), π 其极坐标为(1, ). 2 π 3.经过点 P(2, ),且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( B ) 4 A.ρsin θ= 2 B.ρcos θ= 2 C.ρtan θ= 2 D.ρcos θ=2 4.(2012· 北京市西城区 1 月期末考试)已知圆的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, 在以原 点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为( B ) A.ρ=2cos θ B.ρ=2sin θ C.ρ=-2cos θ D.ρ=-2sin θ

解析:x2+y2-2y=0?x2+(y-1)2=1,该方程表示圆心为(0,1),半径为 1 的圆,如图, 在圆上任取一点 M(ρ,θ),则|OM|=2sin θ,所以 ρ=2sin θ,故选 B. 1 2 5.(2012· 皖南八校第二次联考)极点到直线 2ρ= (ρ∈R)的距离为 . π 2 sin?θ+ ? 4 1 解析:由 2ρ= ?ρsin θ+ρcos θ=1?x+y=1, π sin?θ+ ? 4 |0+0-1| 2 故 d= 2 2= 2 . 1 +1 1 π 6.(2013· 广东省模拟)在极坐标系中, 曲线 ρcos2θ=2sin θ 的焦点的极坐标为 ( , ) . 2 2 1 2 2 2 解析:ρcos θ=2sin θ?(ρcos θ) =2ρsin θ?x =2y,其焦点的直角坐标为(0, ),对应 2 1 π 的极坐标为( , ). 2 2 7.(2013· 广东省高三模拟)设过原点 O 的直线与圆 C:(x-1)2+y2=1 的一个交点为 P, 点 M 为线段 OP 的中点,则点 M 轨迹的极坐标方程是 ρ=cos θ . 解析:圆(x-1)2+y2=1 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,设点 P 的极坐标为(ρ1,θ1),点 M 的极坐标为(ρ,θ),因为点 M 为线段 OP 的中点,所以 ρ1=2ρ,θ1=θ,将 ρ1=2ρ,θ1=θ 代 入圆的极坐标方程,得 ρ=cos θ,所以点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ=cos θ. 8.极坐标系中, A 为曲线 ρ2+2ρcos θ-3=0 上的动点, B 为直线 ρcos θ+ρsin θ-7=0

上的动点,求|AB|的最小值. 解析:圆方程为(x+1)2+y2=4,圆心(-1,0), 直线方程为 x+y-7=0, |-1-7| 圆心到直线的距离 d= =4 2, 2 所以|AB|min=4 2-2. 9.(2012· 东北四校第一次模拟)在极坐标系中,曲线 L:ρsin2θ=2cos θ,过点 A(5,α)(α 3 π 为锐角且 tan α= )作平行于 θ= (ρ∈R)的直线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点. 4 4 (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐 标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (2)求|BC|的长. 解析:(1)由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3), 曲线 L 的普通方程为 y2=2x, 直线 l 的普通方程为 y=x-1. (2)设 B(x1,y1),C(x2,y2), 2 ? ?y =2x ? 由 联立得 x2-4x+1=0, ? ?y=x-1 由韦达定理得 x1+x2=4,x1x2=1, 由弦长公式得|BC|= 1+k2|x1-x2|=2 6.


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