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天津市耀华中学2013届高三第三次月考数学理试题 Word版含答案2013高考)


天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 复数

1 i ? ? 1? i 1? i

A. ? i B.

C. 1 ? i

D. 1 ? i

2. 条件甲: ?

?2 ? x ? y ? 4 ?0 ? x ? 1 ;条件乙: ? ,则甲是乙的 ?0 ? xy ? 3 ?2 ? y ? 3
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充要条件 C. 必要而不充分条件

?2 x ? y ? 4 ? 3. 设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
A. 有最小值 2,最大值 3 C. 有最大值 3,无最小值 B. 有最小值 2,无最大值 D. 既无最小值,也无最大值

4. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

5. 已知等比数列{an}的首项为 1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则数列 ? 为 A.

?1? ? 的前 5 项和 ? an ?

31 16

B. 2

C.

6. 将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 坐标缩短到原来的 A.

?
8

1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为 2 4 3? 3? ? B. C. D. 8 4 2
2

? ?

??

33 16

D.

16 33

? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横 4?

7. 设 F 是抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线与双曲线 C 2 : 点

(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为
A. 2 B.

x2 y2 =1 ? a2 b2

3

C.

8. 若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、 Q 关于原点对称, 则称点对[P,Q]是函数 y ? f (x) 的一对 “友好点对” (注: 点对[P,Q]与[Q,P] 看作同一对“友好点对”)。已知函数 f ( x) ? ? 有 A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对

5 2

D.

5

?log 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工 人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年 职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为_______; 10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________;

11. 若⊙ O1 : x 2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R ) 相交于 A、B 两点,且两 圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是____________________; 12. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间[ ? 1,2 ]上是减函数,那么 b+c 的最大值为
3 2

________________; 13. 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中,AP ? BD , 垂足为 P, AP ? 3 , AP ? AC = 且 则 _______;

14. 设{an}是等比数列, 公比 q ?

S 记 2 , n 为{an}的前 n 项和。 Tn ?

17 S n ? S 2 n , ? N*, n a n ?1

设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=__________; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ? 列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值。 16. (本小题满分 13 分)甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场。 每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 胜丙的概率为

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R) 1 ,b,a,c 成等差数 2

2 ,甲 3

1 1 ,乙胜丙的概率为 。 4 5

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。 17. (本小题满分 13 分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB//CD,

∠ABC = 90? ,AB=PB=PC=BC=2CD,平面 PBC⊥平面 ABCD。
(1)求证:AB⊥平面 PBC; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小; (3) 在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM//平面 PAD?若存在, 求 请说明理由。

PM 的值; 若不存在, PB

18. (本小题满分 13 分)如图 F1、F2 为椭圆 C : 圆的两个顶点,椭圆的离心率 e ? 则点 N (

3 , S ?DEF2 2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,D、E 是椭 a2 b2 3 。若点 M ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上, ? 1? 2

x0 y 0 , ) 称为点 M 的一个“椭点”,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭 a b

点”分别为 P、Q。

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1 的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在, 求出该直线的方程;若不存在,请说明理由。 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? px ? 其中无理数 e=2.71828…。 (1)若 p=0,求证: f ( x) ? 1 ? x ; (2)若 f (x) 在其定义域内是单调函数,求 p 的取值范围; (3)对于在区间(1,2)中的任意常数 p,是否存在 x 0 ? 0 使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立? 若存在,求出符合条件的一个 x0;若不存在,请说明理由。 20. (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2(n ? N * ) ,数 列{bn}满足 bn ? 2 n a n 。 (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

p e 2 ? 2e p ), ? ln x ,g ( x) ? ln x ? (1 ? x x p2

1 2

5n ?n ?1 ? ; a n ? 的前 n 项和为 Tn,证明: n ? N * 且 n ? 3 时, Tn ? 2n ? 1 ? n ? (3)设数列{cn}满足 a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n ( ? 为非零常数, n ? N * ),问是否存
(2)设数列 ? 在整数 ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 c n ?1 ? c n 。 数学发展性试题(理科):(15 分) 1. 若 a, b, c ? 0 且 a (a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为( A. ) C. 2 3 ? 2 D. 2 3 ? 2 3 ?1 2. 对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) (n 是不小于 3 的正整数),若对任意的 p, q ? {1,2,3, ?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? i q ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序”。一个数 B. 组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2。若数 组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) 的逆序数为 n,则数组 (in , in ?1 , ?, i1 ) 的逆序数为_________; 3. 定义在 (?1,1) 上 的函数 f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? 1 ? xy ? ,当 x ? (?1,0) 时 f ( x) ? 0 。 若 ? ? ?

3 ?1

? x? y ?

?1? P ? f? ?? ?5?

?1? f ? ?, Q ? ? 11 ?

?1? f ? ?, R ? f (0) ,则 P,Q,R 的大小关系为_____________。 ?2?

【试题答案】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 18 10. 80 11. 4 12. ?

15 2

13. 18

14. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15. 解:(1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

6 1 ? 1 (2)由 f ( A) ? ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2


f (x) 的单调递增区间为 [k? ?

?

2

(k ? Z )
, k? ?

?

3

](k ? Z )

?

6

? 2A ?

?

6

? 2? ?

?

6

,∴ 2 A ?

?

6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2 16. 解:(1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为

2 1 1 ? ? 3 4 6

1 4 ? , 5 5 1 4 2 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 ? ? 6 5 15 (2) ? 可能取的值为 0,3,6. 2 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 4 4 2 1 1 2 7 P(? ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 2 1 1 P(? ? 6) ? ? ? 3 4 6 所以 ? 的分布列为 ? 0 3 1 7 P 4 12
丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?

6

1 6

1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? 4 12 6 4 17. 解:(1)证明:因为 ?ABC ? 90 o ,所以 AB⊥BC
E? = 0 ? 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB ? 平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 PBC。 (2)

如图,取 BC 的中点 O,连接 PO,因为 PB=PC,所以 PO⊥BC。因为 PB=PC,所以 PO⊥BC,因为平面 PBC⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD。以 O 为原点,OB 所在的 直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系 O-xyz。 不妨设 BC=2。由 AB=PB=PC=BC=2CD 得,

P(0,0, 3 ), D(?1,1,0), A(1,2,0) 。
所以 DP ? (1,?1, 3 ), DA ? (2,1,0) , 设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) . 因为 ?

?m ? DP ? 0 ? ?m ? DA ? 0 ?

,所以 ?

? x ? y ? 3z ? 0 ?2 x ? y ? 0
3 。所以 m ? (?1,2, 3 ) 。

令 x ? ?1 ,则 y ? 2, z ?

取平面 BCP 的一个法向量 n ? (0,1,0) , 所以 cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

2 2

所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 (3)

?
4

在棱 PB 上存在点 M 使得 CM//平面 PAD, 此时 CN,MN,则 MN//PA,AN=

PM 1 取 连接 CM, ? 。 AB 的中点 N, PB 2

1 AB。因为 AB=2CD,所以 AN=CD,因为 AB//CD,所以四 2

边形 ANCD 是平行四边形,所以 CN//AD。 因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A,所以平面 MNC//平面 PAD。 因为 CM ? 平面 MNC,所以 CM//平面 PAD。 18. 解:(1)由题意得 e ?

c 3 3 1 ,故 c ? ? a, b ? a , a 2 2 2 1 1 3 a 1 3 2 3 , S ?DEF2 ? ? (a ? c) ? b ? (a ? a ) ? ? ? (1 ? )a ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2 x2 2 故 a ? 4 ,即 a=2,所以 b=1,c= 3 ,故椭圆 C 的标准方程为 ? y2 ? 1。 4 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 3

?x ? ? 3 ?x ? ? 3 ?x ? ? 3 1 1 ? 2 ? ? 联立 ? x 解得 ? 1 或? 1 ,不妨令 A(? 3 , ), B(? 3 ,? ) , 2 2 2 ? ? y ?1 ?y ? ?y ? ? 2 2 ? ? ?4
所以对应的“椭点”坐标 P (?

3 1 3 1 1 , ), Q(? ,? ) 。而 OP ? OQ ? ? 0 . 2 2 2 2 2

所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点。 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 )

? y ? k ( x ? 3) ? 联立 ? x 2 ,消去 y 得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 x x 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P ( 1 , y1 ), Q ( 2 , y 2 ) ,由根 2 2 2 2 12k ? 4 ? 8 3k 与系数的关系可得: x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 2 4k 2 ? 1 4k ? 1
若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 OP⊥OQ,

x1 x , y1 ), OQ ? ( 2 , y 2 ) ,因此 OP ? OQ ? 0 , 2 2 x x xx 2k 2 ? 1 2 即 1 ? 2 ? y1 y 2 ? 1 2 ? y1 y 2 ? 0 即 =0,解得 k ? ? 2 2 2 4 2 4k ? 1 2 6 2 6 所以直线方程为 y ? 或y?? x? x? 2 2 2 2 19. 解:(1)证明:当 p=0 时, f ( x) ? ? ln x 。 1 1? x 令 m( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,则 m ?( x) ? ? 1 ? x x 若 0 ? x ? 1 ,则 m ?( x) ? 0 , m(x) 在区间 (0,1) 上单调递增; 若 x ? 1 ,则 m ?( x) ? 0 , m(x) 在区间 (1,??) 上单调递减。 易知,当 x=1 时, m(x) 取得极大值,也是最大值。 于是 m( x) ? m(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,即 ? ln x ? 1 ? x 故若 p=0,有 f ( x) ? 1 ? x
而 OP ? (

p 1 px 2 ? x ? p 2 ,令 h( x) ? px ? x ? p ( x ? 0) ? ? 2 2 x x x 1 ①当 p=0, f ?( x) ? ? ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上单调递减,故当 p=0 时符合题意; x 1 2 1 1 2 ②若 p>0, h( x) ? px ? x ? p ? p ( x ? ) ? p? ? p? 2p 4p 4p 1 1 1 则当 p ? ? 0 ,即 p ? 时, f ?( x) ? 0 在 x>0 上恒成立,故当 p ? 时, f (x) 在 2 2 4p 上单调递增; (0,??) 1 2 1 1 2 ③若p<0, ( x) ? px ? x ? p ? p ( x ? 的图像的对称轴为 x ? h ) ? p? ? 0, 2p 4p 2p h(0) ? p ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 在 x>0 上恒成立,故当 p<0 时, f (x) 在 (0,??) 上单调递减。 1 综上所述, p ? (??,0] U [ ,??) 2 e 2 ? 2e (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ? 2 ln x ? ,则原问题等价于是否存在 x0>0 px 使得 F ( x 0 ) ? 0 成立,故只需满足 [ F ( x)] min ? 0 即可。
(2) f ?( x) ? p ?

2 e 2 ? 2e ( px ? e)( px ? 2 ? e) p e 2?e ? ? ? 2 ( x ? )( x ? ) 2 2 x p p px px x e 2?e 而 x ? 0,1 ? p ? 2 ,故 ? 0, ? 0, p p e e e 故当0 ? x ? 时,F ?( x) ? 0 , F (x) 在 (0, ) 上单调递减; x ? 时,F ?( x) ? 0 , 则 当 p p p e 则 F (x) 在 ( ,??) 上单调递增。 p e 易 知 F ( x) min ? F ( ) ? e ? 2 ? 2 ln p ? e ? 2 ? 2e ? 2 ln p ? 4 ? 0 与 上 述 要 求 的 p [ F ( x)]min ? 0 相矛盾,故不存在 x0 ? 0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立。
因为 F ?( x) ? p ?

20. 解: (1) S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2 中, n=1, 在 令 可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 , a1 ? 即 当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ,∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 n ∵ bn ? 2 a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 .
∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 . 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (2)由(1)得 c n ?

n ?1 1 a n ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ① 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? (n ? 1)( ) n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ∴ Tn ? 3 ? n 2 5n n?3 5n (n ? 3)(2 n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2 n (2n ? 1) 5n n 于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 2 与 2n+1 的大小 2n ? 1 2 3 4 5 由 2 ? 2 ? 1 ? 1;2 ? 2 ? 2 ? 1;2 ? 2 ? 3 ? 1;2 ? 2 ? 4 ? 1;2 ? 2 ? 5;?
可猜想当 n ? 3 时, 2 n ? 2n ? 1 .证明如下: 证法 1:①当 n=3 时,由上验算显示成立。 ②假设 n=k+1 时

n . 2n

2 k ?1 ? 2 g 2 k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 1
所以当 n=k+1 时猜想也成立 综合①②可知,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 n ? 2n ? 1 . 证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n ?1 ? C n ? C n ? C n ? C n ?1 ? C n ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 5n 5n 综上所述,当 n=1,2 时 Tn ? ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 (?1) ? ? n n n 3 ? (?1) n ?1 ? ? 2 n (3)∵ c n ? 3 ? an

∴ c n ?1 ? c n ? [3 n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3 n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ]

? 2 ? 3 n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0

∴ (?1) n ?1 ? ? ? ? ?

?3? ?2?

n ?1


2k ?2

?3? ?2? 依题意,②式对 k=1,2,3??都成立,∴ ? ? 1
当 n=2k-1,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ? ?



?3? 当 n=2k,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ?? ? ?2?
依题意,③式对 k=1,2,3??都成立, ∴? ? ?

2 k ?1



3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 2 ∴存在整数 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N * 有 cn ?1 ? cn .
∴? 数学发展性试题 1. D 2.

3 2

n ? 3n 2
2

3. P ? R ? Q


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