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2.3 变量间的相关关系课件(人教A版必修3)


? §2.3 变量间的相关关系

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法

的定义.
2.会作散点图,并能利用散点图和定义判断两个变 量之间是否具有相关关系. 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程解决有 关问题.

新知世界

/>1.在平面直角坐标系中,将两个变量的关系用点 的形式描述出来叫做 散点图. 2.在散点图中,点的分布从左下角到右上角,则 两个变量之间为 正相关 关系. 3.在散点图中,点的分布从左上角到右下角,则 两个变量之间为 负相关 关系.

4.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条

直线附近 , 我们称这两个变量之间具有 线性相关关系 ,
这条直线叫做 回归直线. 5.通过求 Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+ (yn-bxn-a)2 的 最小值 而得到回归直线的方法,即求

回归直线 ,使得 样本数据的点到它的距离的平方和最小
的方法叫做 最小二乘法.

6.回归方程 y^=bx+a 中,

其中 b 是回归方程的 斜率 ,a 是 截距.

自我检测
1.下列有关线性回归的说法,不正确的是( A.相关关系的两个变量不一定是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间 的关系 D.任一组数据都有回归直线方程 )

? 解析:根据两个变量相关关系的概念,可 知A正确;散点图能直观地描述呈相关关系 的两个变量的离散程度,且回归直线最能 代表它们之间的相关关系,所以B、C正确; 只有线性相关的数据才有回归直线,所以D 不正确.故选D. ? 答案:D

2.试从四个图中点在散点图上的分布状态,直观 上初步判断两个量之间有线性相关关系的是( )

? 解析:C中两个变量之间的关系可以近似地 表示成线性关系.故选C. ? 答案:C

3.(2010· 湖南高考)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( A.y=-10x+200 C.y=-10x-200
^ ^ ^

)

B.y=10x+200 D.y=10x-200
^

? 解析:∵销售量y(件)与销售价格x(元/件)负 相关. ? ∴x的系数为负. ? 又∵y不能为负值, ? ∴常数项必须是正值.故选A. ? 答案:A

4.已知回归直线方程为y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为________.

^

解析:利用回归方程进行预测,其本质就是由关 系式代入求值.y 的估计值为y =0.50×25-0.81= 11.69.
^

答案:11.69

5.5 个学生的数学和物理成绩如下表:

A 数学 物理 80 70

B 75 66

C 70 68

D 65 64

E 60 62

图1 画出散点图,并判断它们是否有相关关系.

解:以数学成绩表示横轴,物理成绩表示纵轴,可 得相应的散点图,如图 2 所示:

图2 由散点图可见,两者之间具有相关关系.

典例导悟
类型一 相关关系与函数关系的区别与联系

[例 1] 下列两个变量之间的关系,哪个不是函 数关系( )

A.角度和它的余弦值 B.正方形的边长和面积 C.正 n 边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高

? [解] 函数关系就是一种变量之间有确定性 的关系,选项A、B、C都是函数关系,对 于年龄确定的人群,仍可以有不同身高的 人,选项D符合题意. ? [答案] D ? [点评] 本题主要考查函数关系与相关关系 的区别和联系.

? 迁移变式1 下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是( ) ? A.圆的周长与半径 ? B.人的年龄与体重 ? C.一个数与它的三次幂 ? D.三角形其中一角与这个角的外角

? 解析:∵A、C、D都有一个确定的关系是 函数关系,人的年龄和体重之间有关系, 但关系不确切,是相关关系. ? 答案:B

? 类型二 相关关系的判断 ? [例2] 以下是在某地搜集到的不同楼盘新 房屋的销售价格y(单位:万元)和房屋面积 x(单位:m2)的数据: 房屋面积 115 110 80 135 105 2) x(m 24. 21. 19. 29. 销售价格 22 8 6 4 2 y(万元)

? (1)画出数据对应的散点图; ? (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间 是否具有相关关系?如果有相关关系,是 正相关还是负相关?

[解]

(1)数据对应的散点图如图 3 所示:

图3 (2)通过以上数据对应的散点图可以判断,新房屋 的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系, 且是正相 关.

? [点评] 在解答本题过程中,易出现如下错 误:虽然五点中有四点大致分布在一条直 线附近,但第二个点离这条直线太远,所 以两个变量不相关,导致错误的原因是没 有看主流点,而过分关注了不影响大局的 个别点.

迁移变式 2 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i= 1,2,…,10),得散点图如图 4.由这个散点图可以判 断( )

图4

? ? ? ? ?

A.变量x与y正相关 B.变量x与y不相关 C.变量x与y负相关 D.变量x与y是函数关系 解析:由这个散点图可以判断,变量x与y 负相关,故选C. ? 答案:C

? 类型三 求回归直线方程 ? [例3] 随着我国经济的快速发展,城乡居 民的生活水平不断提高,为研究某市家庭 平均收入与月平均生活支出的关系,该市 统计部门随机调查10个家庭,得数据如表:

家庭编号 i xi(收入) /千元 yi(支出) /千元

1 0. 8 0. 7

2 1. 1 1. 0

3 1. 3 1. 2

4 1. 5 1. 0

5 1. 5 1. 3

6 1. 8 1. 5

7 2. 0 1. 3

8 2. 2 1. 7

9 10 2. 4 2. 0 2. 8 2. 5

? (1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是 否相关; ? (2)若二者线性相关,求回归直线方程. ? [分析] 利用散点图观察平均收入x和月平 均生活支出y是否线性相关,若呈线性相关 关系,可利用公式来求回归系数,然后获 得回归直线方程.

[解]

(1)作出散点图 5:

图5 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近, 所 以二者有线性相关关系.

1 (2) x = (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+ 10 2.2+2.4+2.8)=1.74, 1 y = (0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+ 10 2.0+2.5)=1.42,

?xiyi-n x
b =
^ i= 1

n

y ≈0.8136,

?x2-n x 2 i
i= 1

n

a =1.42-1.74×0.8136≈0.0043, 所以回归方程为y =0.8136x+0.0043.
^

^

? [点评] (1)掌握用公式法求线性回归 方程的一般步骤.(2)根据给定条件、 套用公式时要细心,计算要准确.

迁移变式 3

为了了解全球金融危机对市民生活

的影响, 对某地的某社区的 10 户家庭进行调查, 10 这 户家庭的年收入和年饮食支出统计资料如表:
年收入 x(万元) 年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10

? (1)作出散点图; ? (2)根据数据,家庭年收入与年饮食支出之 间是否具有线性相关关系?若是求出两个 变量的回归方程.

解:(1)散点图如图 6:

图6

(2)由散点图可知,年收入越高,年饮食支出越 高, 图中点的趋势表明两个变量间也确实存在着线性 相关关系. 依题意可计算得: x =6, y =1.83, x 2=36, x y =10.98,

?xiyi=117.7,
i= 1

10

?x2=406, i
i= 1

10

?xiyi-10 x
b =
^ i= 1

10

y ≈0.17,

?x2-10 x 2 i
i= 1

10

a = y -b x =0.81, ∴y =0.17x+0.81. ∴所求的回归方程为y =0.17x+0.81.
^ ^

^

^

类型四

利用回归直线方程进行估计

[例 4] 某校高三(2)班的学生每周用于学习数学的 时间 x(单位:h)与数学成绩 y(单位:分)之间有如表数 据: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59

? 若根据资料判断两个变量y与x具有线性相 关关系, ? (1)求y关于x的回归方程; ? (2)求x关于y的回归方程; ? (3)预测当x=18时,其数学成绩是多少?

? [分析] 两个变量y与x具有线性相关关系① 求变量y关于x的回归方程;②求变量x关于 y的回归方程;③根据求回归方程的步骤求 参数;④用于数学学习的时间x=18时对其 数学成绩进行预测.

[解]

(1)设 y 关于 x 的回归方程是y =b x+a .
^ ^ ^

^

^

^

x 关于 y 的回归方程是x =d y+c . 列表计算:

i xi yi xiyi

1 24 92

2 15 79

3 23 97

4 19 89

5 16 64

6 11 47

7 20 83

8 16 68

9 17 71

10 13 59 767

2208 1185 2231 1691 1024 517 1660 1088 1207 x =17.4, y =74.9,
10 10 2 2 x i =3182, yi =58375, xiyi=13578 i= 1 i= 1 i= 1

?

10

?

?

?xiyi-10 x
于是可得b =
^ i= 1

10

y 545.4 = ≈3.53, 154.4

?x2-10 x 2 i
i= 1 ^ ^

10

a = y -b x =74.9-3.53×17.4≈13.5, 因此可求得 y 关于 x 的回归方程为 y =3.53x+13.5.
^

?xiyi-10 x
(2)同理求得d =
^ i= 1

10

y 545.4 = ≈0.24, 2274.9

?y2-10 y 2 i
i= 1 ^ ^

10

c = x -d y =17.4-0.24×74.9=-0.576. ∴x 关于 y 的回归方程为x =0.24y-0.576.
^

(3)当 x=18 时代入得y =3.53×18+13.5≈77, 故预计该同学可得 77 分左右.

^

? [点评] 知道x与y有线性相关关系,无需进 行相关性检验(课本对此不作要求).只有两 个变量之间存在线性相关关系,才能求其 线性回归方程,才能用其估计和预测.否 则即使求出其线性回归方程,也是毫无意 义的,而且用其估计和预测的量也是不可 信的.

迁移变式 4 假设关于某设备的使用年限 x 和所 支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 3 4 5 6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

? 若由资料知y对x呈线性相关关系.试 求: ? (1)线性回归方程 =a+bx的回归系数 a,b; ? (2)估计使用年限为10年时,维修费用 是多少?

解:(1)制表如下:
i xi yi xiyi x2 i 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 合计 20 25 112.3 90

x =4, y =5,

?x =90, ?xiyi=112.3
2 i i= 1 i= 1

5

5

112.3-5×4×5 12.3 于是有 b= = =1.23, 2 10 90-5×4 a= y -b x =5-1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为y =1.23x+0.08. (2)当 x=10 时,y=12.38(万元),即估计使用 10 年时,维修费用是 12.38(万元).
^

反思总结

1.相关关系与函数关系的区别与联系 (1)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系, 相关关系是一种非确定性的关系.线性相关关系是相 关关系的一种特殊情况,它也是一种不确定的关系.

? (2)函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关系,也可能是伴随关系. ? (3)函数关系与相关关系之间有着密切联系, 在一定条件下可以相互转化.而对于具有 线性相关关系的两个变量来说,当求得其 回归直线方程后,又可以用一种确定性的 关系对这两个变量间的取值进行估计.

? (4)相关关系在现实生活中大量存在,从某 种意义上讲,函数关系是一种理想的关系 模型,而相关关系是一种更为一般的情 况.因此研究相关关系,不仅可以用来处 理更为广泛的数学应用问题,还可以将对 函数关系的认识上升到一个新的高度.

? 2.两个变量的线性相关 ? (1)散点图 ? ①散点图的特点形象地体现了各对数据的 密切程度,因此可以根据散点图来判断两 个变量有没有线性关系. ? ②从散点图上可以看出,如果变量之间存 在着某种关系,这些点会有一个集中的大 致趋势.

? (2)回归直线 ? ①回归直线的特征:像平均数可以作为一 个变量的数据的代表一样,回归直线也可 以作为两个变量之间具有相关关系的代 表.回归直线是样本数据点最大程度的吻 合,即散点回归.

? ②线性回归思想:把相关关系(不确定性关 系)转化为函数关系(确定性关系).当两个 具有相关关系的变量近似满足一次函数关 系时,所进行的回归分析叫线性回归分 析. ? ③求回归直线方程的步骤:

④利用回归直线方程对总体进行估计:利用回归 直线方程,可以进行预测,并对总体进行估计. 若回归直线方程为y=a+bx, x=x0 处的估计值 则 为y=a+bx0,这个值只是估计值,不是精确值.尽管 利用回归直线方程所得到的值仅是一个估计值,具有 随机性,但它是根据统计规律得到的,因而所得结论 正确的概率是最大的,故可以放心大胆的利用回归直 线方程进行预测.
^ ^


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