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数学3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)


§3.3.1 函数的单调性与导数
【高效预习】 (核心栏目)
“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶 【精读·细化】 1.用 10 分钟的时间阅读教材 89~91 页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样 关系?某个区间内函数的平均变化率的 几何意义与导数之间的联系呢?如果在 某个区间恒有 f ?( x) =0, 那么函数有什么 特征? 细

节提示:把握住单调性定义中 y 的变化 量与 x 的变化量的比值与导数的定义之 间的关系。 【提升·解决】 1.在某个开区间内,导数值大于零, 则函数在这个区间内单调递增, 导数 值小于零, 则函数在这个区间内单调 递减; 若函数在某个区间内恒有导数 值等于零,则函数为常数函数.

【关注·思考】 2.阅读课本 92~93 页,理解函数变化的 快慢程度与函数导数值的绝对值的大小 之间的关系. 细节提示:函数图象,不仅体现函数的增 减,还可以体现函数值变化的快慢.

【提炼·发现】 2.函数导数的绝对值较大, 则函数在 这个范围内变化得快, 函数的图象就 比较“陡峭”,反之就“平缓”一些.

【学习细节】 (核心栏目)

A.基础知识
导数的应用 知识点 1 函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的 增与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这 些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函 数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那 么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗? 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,图(2)表示
2

高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数

v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.运动员从起跳到最高点,

以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】 随着时间的变 化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相 应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相 应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的 切线的斜率, 函数图象上每个点处的切线的斜 率都是变化的, 那么函数的单调性与导数有什 么关系呢? 【引导】 可先分析函数的单调性与导数的符号 之间的关系. 【探究】函数的单调性可简单的认为是: 若

f ( x 2) ? f ( x1)

x ?x
2 2

>0 则函数 f(x)为增函数.

1

可把

f ( x 2) ? f ( x1)

x ?x

看作

1

?y f ( x 2) ? f ( x1) = .说明函数的变化率可 ?x x 2 ? x1
以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的 单调性有着密切的联系. 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. (1)函数 y ? x 的定义域为 R ,并且在定义域上是增函数,其导数 y? ? 1 ? 0 ; (2)函数 y ? x 的定义域为 R ,在 (??,0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增;
2

而 y? ? ( x )? ? 2 x ,当 x ? 0 时, y? ? 0 ;当 x ? 0 时, y? ? 0 ;当 x ? 0 时, y? ? 0 。
2

(3)函数 y ? x 的定义域为 R ,在定义域上为增函数;
3 3 2 而 y? ? ( x )? ? 3x ,若 x ? 0 ,则 y? ? 0 ,当 x ? 0 时, y? ? 0 ;

(4)函数 y ? 递减;

1 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??) ,在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调 x

而 y? ? ( )? ? ?

1 x

1 ,因为 x ? 0 ,显然 y? ? 0 . x2

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 (a , b ) 内,如果函数

y ? f ( x) 在这个区间内单调递增,那么 f ' ( x) ? 0 ;如果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调
递减,那么 f ( x) ? 0 .
'

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?
' 【探究】如图,导数 f ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.

在 x ? x0 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,
'

函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增; 在 x ? x1 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,
'

函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜

? ,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾 2 ? 斜角大于 、小于 ? ,函数曲线呈向下减小状态. 2
角小于 知识归纳 函数的单调性与导数的关系: 在 某 个 区 间 ( a , b) 内 , 如 果 f ( x ) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f ( x ) 在 这 个 区 间 内 单 调 递 增 ; 如 果
'

f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
说明:特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.
'

注意: 1.若在某区间上有有限个点使 f ( x) ? 0 , 在其余的点恒有 f ( x) ? 0 , f ( x) 仍 则
' '

为增函数, (减函数的情形完全类似) .即是说在区间内 f ( x) ? 0 是 f ( x) 在此区间上为增函
'

数的充分条件,而不是必要条件. 2. f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定.如函数 f ( x) ? x3 在 (?∞, ∞) 上单调 ? 递增,但 f ?( x) ≥ 0 .所以 f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分条件,但不是必要条件. 3. f ( x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ≥ 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ≥ 0 ,即为

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 ,当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不具有单

调性.所以 f ?( x) ≥ 0 是 f ( x) 为增函数的必要条件,但不是充分条件. 4. f ( x) 为增函数的充要条件是对任意的 x ? (a,b) 都有 f ?( x ) ≥ 0 且在 (a,b) 内的任一 非空子区间上 f ?( x) ? 0 .

【例题 1】已知导函数 f ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ;
'

'

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 【解析】 利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性,然后画 出简图. 【答案】 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调
'

递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称
'

为“临界点” . 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图所示. 知识点 2 用函数的导数研究函数的单调性

求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

思维技巧 对于可导函数 f ( x) 来说, f ( x) ? 0 是函数 f ( x) 在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,
'

f ' ( x) ? 0 是函数 f ( x) 在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数 f ( x) ? x3 在 R 上为增函数,
但 f ?(0) ? 0 ,所以在 x ? 0 处不满足 f ( x) ? 0 .
'

【例题 2】判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ;
2

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 .
3 2

【解析】先求出导数,然后求解不等式进行判断、求解,使 f ?( x) ? 0 的区间为增区间,使

f ?( x) ? 0 的区间为减区间。
【答案】 (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,
3

所以, f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0
' 2 2

因此, f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增,如图所示.
3



2







f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 所 以 ,
f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 ? x ? 1?
当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函
'

数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增;
2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像如图所示.
2

(3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) , 所以, f ( x) ? cos x ? 1 ? 0
'

因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图所示. ( 4 ) 因 为

f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1 , 所 以

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 24 ? 6( x 2 ? x ? 4) .

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? (?? ,
' 2

?2 ? 17 ?2 ? 17 ) 或 x?( ? ?) 4 4

时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增; 当 f ( x) ? 0 , 即 x ? (
'

?2 ? 1 7? ?2 , 4 4

17 )时 , 函 数

f ( x)? 2x ? 2 x? 单调递减; 3
函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图所示.
3 2

思维技巧 利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题: (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义 域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还有注意在定义域内不连续点和 不可导点. (3)注意在某一区间内 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 )是函数 f ( x) 在该区间上为增(减)函数的充分条 件,如 f ( x) ? x 是 R 上的可导函数,也是 R 上的单调增函数,但当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .
3

(4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“ ? ”连接,而 只能用“逗号”或“和”字隔开.

知识点 3

函数的导数与函数的增减速度

函数的导数对函数的单调性有影响的同时, 还对函数增减的速度有影响。 递增函数就 是函数值随自变量的增大而增大, 一个函数的增长速度快, 就是说, 在自变量的变化相同时, 函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;递减函数就是函数值随自变量的增大而减 小,一个函数减小的快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小大,即平均变化率大, 导数的绝对值也就大,从而导数的绝对值越大,函数增减的速度就越快. 一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化 得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就较“平缓”. 【例题 3】如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的 容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

【解析】以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度 增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知 其它三种容器的情况. 【答案】 ?1? ? ? B ? , ? 2 ? ? ? A ? , ? 3? ? ? D ? , ? 4 ? ? ? C ?

B.综合拓展
例 1 求函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的单调增区间.
4 2

解析: 先求 f ?( x) ,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 单调递增. 答案: ∵ f ?( x) ? 4 x ? 4 x
3

令 f ?( x) ? 0 ,即 4 x ? 4 x ? 0
3

解得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ∴ f ( x) 的单调地增区间为 (?1,0) , (1, ??) . 总结:求函数单调区间的步骤和方法: (1)确定函数 f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x) ,令 f ?( x) ? 0 ,解此方程,求出它的定义域内的一切实数根; (3)把函数 f ( x) 的间断点(即包括 f ( x) 的无定义点)的横坐标和上面的各实根按从小到 大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f ( x) 的定义域分成若干个小区间; (4)确定 f ?( x) 在各个小区间内的符号,根据 f ?( x) 的符号判断函数 f ( x) 在每个相应小区 间内的增减性. 易错点:单调区间只能用和、或连接,不能使用并集符号. 例 2 求证:函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2

解析 先求出函数的导数,然后判断导数在此区间上的符号即可. 答案:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
' 2 2

?

?

当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y ? 0 ,
'

所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2

例 3 证明 f ( x) ?

1 在 (0, ??) 上是减函数. x

解析: 可采用定义和求导法两种方法来解题, 体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性. 答案:方法一 任取两个数 x1 , x2 ? (0, ??) ,设 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x1 x2

∵ x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,

1 在 (0, ??) 上是减函数. x 1 方法二:∵ f ?( x) ? ? 2 ,且 x ? 0 x
∴ f ( x) ? ∴ f ?( x) ? 0 ∴ f ( x) ?

1 在 (0, ??) 上是减函数. x

解题规律:比较一下两种方法,用求导法证明更简便一些.如果是更为复杂的一些函数,用 导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性. 例 4 已知函数 y ? x ?

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

解析:先求出函数的导数,然后利用导数不等式求解单调区间. 答案 y? ? ( x ? )?

1 x

=1-1·x 2=



x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x2 x2



( x ? 1)( x ? 1) >0. x2

解得 x>1 或 x<-1. ∴y=x+

1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
新疆

∴y=x+

王新敞
奎屯

例 5 已知函数 f ( x) ? 2ax ?

1 , x ? (0,1] . x2

若 f ( x) 在 x ? (0,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解析 答案: 由已知得 f ?( x) ? 2a ? ∵ f ( x) 在 (0,1] 上单调递增, ∴ f ?( x) ? 2a ? 而 g ( x) ? ?

2 , x3

2 1 ? 0 ,即 a ? ? 3 在 x ? (0,1] 上恒成立. 3 x x

1 在 (0,1] 上是单调递增, x3

∴ g ( x)max ? g (1) ? ?1 ∴ a ? ?1 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ?2 ?

2 对 x ? (0,1) 也有 f ?( x) ? 0 . x3

∴ a ? ?1 时, f ( x) 在 (0,1) 上是增函数 综合上述, f ( x) 在 x ? (0,1] 上是增函数, a 的取值范围为 [?1, ??) . 解题技巧 (1)本题知道了函数的单调性,而去求参数的范围,这是一种非常重要的题型. 在某个区间上, f ?( x) ? 0(或 f ?( x) ? 0 ) f ( x) 在这个区间上单调递增 , (递减) 但由 f ( x) ; 在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 )是不够的,即还有可 能 f ?( x) ? 0 也能使得 f ( x) 在这个区间上单调,因而对于能否取到等号的问题需要单独验 证. (2)本题用到一个非常重要的转化,即

m ? f ( x) 恒成立 ? m ? f ( x)max ; m ? f ( x) 恒成立 ? m ? f ( x)min .
例 6 设 f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 在 区 间 (??,0) 上 f ?( x) ? 0 且 有

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (?3a 2 ? 2a ? 1) ,求实数 a 的取值范围.

解析:偶函数在对称区间上有相反的单调性,奇函数有相同的单调性,我们可利用单调性转 化需考虑范围问题. 答案 ∵在 (??,0) 上 f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在 (??,0) 上为增函数, 又∵ f ( x) 是偶函数 ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数,且 f (?3a ? 2a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1)
2 2

∴原不等式可化为 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1)
2 2

而 2a ? a ? 1 ? 2(a ? ) ?
2 2

1 4

7 1 2 ? 0 , 3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? )2 ? ? 0 恒成立, 8 3 3

∴ 2a ? a ? 1 ? 3a ? 2a ? 1
2 2

解得 0 ? a ? 3 .

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 上为减函数,在区间 (6, ??) 上 3 2 为减函数,试求实数 a 的取值范围.
例7 若函数 f ( x) ? 答案 函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? x ? ax ? a ? 1 .
2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? a ? 1 当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,不合题意; 当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 (??,1) 上为增函数,在 (1, a ? 1) 上为减函数,在

(a ?1, ??) 上为增函数,
依题意,应有 x ? (1, 4) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (6, ??) 时, f ?( x) ? 0 . ∴ 4 ? a ?1 ? 6 解得 5 ? a ? 7 所以 a 的取值范围是 [5, 7] . 特别提示: 本题的关键之处在于一定要就小的值进行分类讨论, 本题只要考查导数的概念和计 算、应用导数研究函数单调性的基本方法,考查了综合应用所学知识解决问题的能力; 例8 当 x∈(0,

? )时,证明 tanx>x. ?

分析:首先构造函数 f(x)=tanx-x,然后判断 f(x)在(0, 证明:设 f(x)=tanx-x,x∈(0,

? ). ?

? )上的单调性. ?

∴f′(0)=(

cos2 x ? sin x 1? cos2 x sin x 1 2 )′-1= -1= -1= =tan x>0. cos2 x cos2 x cos x cos2 x

∴f(x)在(0,

? )上为增函数. ?

又∵f(x)=tanx-x 在 x=0 处可导且 f(0)=0, ∴当 x∈(0,

? )时,f(x)>f(0)恒成立,即 tanx-x>0. ?

∴tanx>x. 深化升华:对于 tanx 的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后 根据运算法则求导.

【作业】
□ 课堂作业
1. (知识点 2)设 f ( x) 在 (a, b) 内可导,则 f ?( x) ? 0 是 f ( x) 在 (a, b) 内内单调递减的 ( ). A.充分不必要条件 C.充要条件 2. (知识点 2)函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)
4 2 3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要 ) D. (1,??) ) D . (??, ?1) 和

C. (??,??)

3. (知识点 2)函数 y ? x ? 2 x ? 5 的单调减区间为 ( A. (??, ?1]) 和 [0,1] B. [?1, 0] 和 [1, ??)

C . [?1,1]

[1, ??)
4. (知识点 2)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取
3 2

值范围是(



( A. ??,? 3 ] ? [ 3,??)

[? B. 3, 3 ]

( C. ??,? 3 ) ? ( 3 ,??)

(? D. 3, 3 )

5. (知识点 2,3)已知函数 f ( x) 、 g ( x) 均为 (a , b ) 上的可导函数,在 [a, b] 上连续且

f ?( x) ? g ?( x) , f (a) ? g (a) ,则当 x ? (a, b) 时有(



A. f ( x) ? g ( x) 确定

B. f ( x) ? g ( x)

C. f ( x) ? g ( x)

D.大小关系不能

6. (知识点 2)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调减函数,则实数 a 的
3 2

取值范围是(



A. ??,? 3 ] ? [ 3,??) (
3

[? B. 3, 3 ]
2

( C. ??,? 3 ) ? ( 3 ,??)


D. 3, 3 ) (?

7. (知识点 2)已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? a(a ? 0) 为增函数,则( A. b ? 3ac ? 0
2

B. b ? 0, c ? 0 D. b ? 3ac ? 0
2

C. b ? 0, c ? 0
3 2

8. (知识点 2) 函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________。

□ 课后作业
9. (知识点 2)函数 y ? 4 x ?
2

1 单调递增区间是( x
C. ( ,?? )

) D. (1,??)

A. (0,??)

B. (??,1)

1 2

10. (知识点 2) y ? x ln x 在(0,5)上是 A.单调增函数 B.单调减函数

1 1 )上单调递减,在( ,5)上是递增函数 e e 1 1 D.在(0, )上是递增函数,在( ,5)上是递减函数 e e
C.在(0, 11. (知识点 2)若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是
3 2

__________. 12. (知识点 2)已知 x ? 1 ,求证: x ? ln(1 ? x) . 13. (知识点 2)已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线
4 2

方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

14. (知识点 2) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程
4 2

是 y ? x?2 (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

□ 家庭作业
15.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ? 取值范围.

2 3 x ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 a 的 3

【作业参考答案】
课堂作业答案: 1.A 分析:由 f ?( x) ? 0 能够推出 f ( x) 在 (a, b) 内单调递减,但由 f ( x) 在 (a, b) 内单调 递减不能推 出 f ?( x) ? 0 ,如 f ( x) ? ? x 在 R 内为减函数,而 f ?( x) ? ?3x ? 0 。故为充分不必要
3 2

条件。 2.C

y ' = 3x 2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立.
3 2

3. A 分析 由 y? ? 4 x ? 4 x ? 0 ,得 x( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 . 4.B

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 (??,??) 恒成立,? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3

5.A 分析 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,∴ F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? 0 ∴ F ( x) 在 (a, b) 上为增函数, 又 F (a) ? f (a) ? g (a) ? 0 ∴在 x ? (a, b) 时, F ( x) ? F (a) , ∴ f ( x) ? g ( x) . 6 . B 分 析

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 (??,??) 恒 成 立 ,

? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
7. D 分析
2 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立, ? c ? 因为 a ? 0 , ?? 4b? 4 3 a 0 , 则

即 b ? 3ac ? 0 .
2

8. (? ,1)

5 3

分析 由 y ? 3x ? 2 x ? 5 ? (3x ? 5)( x ? 1) ? 0 ,解得 ?
' 2

9. x ? ? , 或x ? 1

5 3

5 ? x ? 1. 3 5 5 (? ?, ? ) , ( 1? ? 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 , ) 3 3

□ 课后作业
1 y? ? l n x ? x ? ?l n x ?, 1 x 1 令 y? ? 0 ,解得 x ? , e 1 1 ∴ y ? x ln x 在( ,5)上为增函数,同理可求在(0, )上为减函数. e e 1 2 3 2 11. m ? 分析 f ?( x)? 3x ? 2 x? m ,由题意可知 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 f(x)在 R 上 3 1 只能递增,所以 f ?( x) ? 0 恒成立,即 ? ? 4 ?12m ? 0 ,解得 m ? . 3
10.C 分析 12.分析 构造函数 F ( x) ? x ? ln( x ? 1) 。 证明:设 F ( x) ? x ? ln( x ? 1) , x ? 1 ∵ F ?( x) ? [ x ? ln( x ? 1)]? ? 1 ? 又 x ? 1, ∴ F ?( x) ? 0 ∴ F ( x) 在 (1, ??) 上为增函数 又 F (1) ? 1 ? ln 2 ? 1 ? ln e ? 0 , ∴当 x ? 1 时, F ( x) ? 0 ,即 x ? ln(1 ? x) . 13.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

1 x ? x ?1 x ?1

∵ f ( x) ? 4ax ? 2bx, k ? f (1) ? 4a ? 2b ? 1,
' 3 '

∴切点为 (1, ?1) , 则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1) ,
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

∴ f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?
'

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

∴单调递增区间为 (?
4

3 10 3 10 , 0), ( , ??) . 10 10
2

14.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

□ 家庭作业
' 2 ' 15.解: f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ( x) ? 0 对

x ? ? ?1,1? 恒成立,即 x 2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型, 常利用导数与函数单调性关 系:即“若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此
' '

时公式中的等号不能省略,否则漏解.

【教材习题参考答案】


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