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河北省衡水中学2017届高三摸底联考理科数学试卷(含解析)


绝密★启用前【考试时间:2016 年 9 月 7 日 7:50~9:50】

河北衡水中学 2017 届高三摸底联考(全国卷)
理数试题
命题人:褚艳春、姜宗帅、赵鸿伟 注意事项:
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出 答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他 答案标号。所有试题都要答在答题卡上。

第 l 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.若集合 B ? x x ? 0 ,且 A ? B ? A ,则集合 A 可能是

?

?

1,2? A. ?
2.复数 z ?

B. x x ? 1

?

?

C. ?? 1,0,1?

D. R

i 的共轭复数在复平面上对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.已知平面向量 a、b 满足 a ? ? a ? b ? ? 5 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的余弦值为

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

4.执行如图所示的程序框图,如输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) , S n 为其前 n 项和,则 S n 的值为 A.57 B.61 C.62 D.63 6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为

2? 3 2? C. 9
A.

3 16? D. 9

B.

?

·1·

7.为了得到 y ? cos 2 x ,只需要将 y ? sin( 2 x ? A.向右平移 C.向左平移

?
3

) 作如下变换
B.向右平移

?

?

3

个单位 个单位

?
6

个单位 个单位

12

D.向右平移

?

12

?x ? 0 ? 8.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,东直线 x ? y ? a 扫过 ?y ? x ? 2 ?
A 中的那部分区域的面积为 A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75

x2 y2 9.焦点在 x 轴上的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角 a b
形,该三角形内切圆的半径为 A.

1 4

B.

1 3

b ,则椭圆的离心率为 3 1 2 C. D. 2 3

10.在四面体 S-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= 2 ,SA=SC=2,二面角 S-AC-B 的余弦值是 ? 该四面体外接球的表面积是 A. 8 6? B. 6? C. 24? D. 6?

3 ,则 3

?log 5 ?1 ? x ?, ( x<1) f ( x) ? ? f ( x ) ? a, ?a ? R ? 2 11.已知函数 实根个数不可能为 ?? ( x ? 2) ? 2, ( x ? 1) ,则关于 x 的方程
A.2 B.3 12.函数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? )( ? ?

?
2

C.4

D.5

, A>0) 部分图像如图所示,且 f (a ) ? f (b) ? 0 ,对不同的

x1 , x2 ? ?a, b? ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,有 f ( x1 ? x2 ) ? 3 ,则
5? ? , ) 上是减函数 12 12 5? ? B. f ( x) 在 ( ? , ) 上是增函数 12 12 ? 5? C. f ( x) 在 ( , ) 上是减函数 3 6
A. f ( x) 在 ( ?
·2·

D. f ( x) 在 (

? 5?
3 , 6

) 上是增函数

第 II 卷(非选择题
13. (1 ? )(1 ? x) 4 的展开式中 x 2 项的系数为_______.

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)

1 x

y2 14.已知抛物线 y ? 2 px( p>0) 上一点 M (1, m) 到其焦点的距离为 5, 双曲线 x ? ? 1 的左顶点为 a
2
2

A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a=_______. 15.如图,为测量出山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点 测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN=_______m. 16.设 函 数 f ( x) ?

x2 ?1 x , g ( x) ? x , 对 任 意 x1 , x2 ? (0,??) , 不 等 式 x e

g ( x1 ) f ( x2 ) 恒成立,则正数 k 的取值范围是________. ? k k ?1
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分) 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快 的国家之一,再不实施“放开二胎”新政策,整个社会将会出现一系列的问题.若某地区 2015 年人 口总数为 45 万,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5 万人,从 20216 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 99%. (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注:2016 年为第一年) ; (2) 若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万, 则需调整政策, 否则继续实施. 问 10 10 到 2035 年后是否需要调整政策?(说明:0.99 =(1-0.01) ≈0.9) 18.(本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB,平面 ABCD∩平面 ABPE=AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且 AE∥BP. (1)设点 M 为棱 PD 中点,在面 ABCD 内是否存在点 N,使得 MN⊥平面 ABCD?若存在, 请证明;若不存在,请说明理由; (2)求二面角 D-PE-A 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标准 A,X ≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该 产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: X1 5 6
·3·

7

8

P

0.4

a

b

0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成 一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1) 、 (2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说 明理由. 注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价; ②“性价比”大的产品更具可购买性. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等 a2 b2
2 2 2

边三角形,直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 x ? ( y ? b) ? a 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1,l2 分别交椭圆 C 于 M,N 两点,且 l1⊥l2,求证: 直线 MN 过定点,并求出定点坐标; (3)在(2)的条件下求△ AMN 面积的最大值. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ? x ? 1? ? ? e x ? a ? (常数 a ? R 且 a ? 0 ). (1)证明:当 a>0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点;

4 4 且 0<f ( x2 )< 2 . 2 e e 请考生在第 22、23、24 题中任意选一题作答。如果多做,则按所做第一题记分。
(2)若函数 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,证明: 0<f ( x1 )< 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 A、B、C、D 四点在同一个圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
2

(Ⅱ)若 EF ? FA ? FB ,证明:EF∥CD. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l

·4·

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 的参数方程为: ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ. ?y ? 1 t ? 2 ?
(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值. 24.(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ( x) ? x ? 1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式 g ( x) <5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

河北衡水中学 2017 届高三摸底联考(全国卷) 数学学科(理科) 评分细则、切题方案 第一部分:评分细则.
一、 选择题:每小题 5 分,共 60 分,每小题所给选项只有一项符合题意. ADCBADCDCB DB 二、 13. 2 填空题:每题 5 分,共 20 分. 14.
1 4

15.

150

16. k ?

1 2e ? 1

三、解答题 17.本题满分 12 分 解: (1)当 n ? 10 时,数列 ?an ?是首项为 45.5 ,公差为 0.5 的等差数列,

? an ? 45.5 ? 0.5 ? (n ? 1) ? 45 ? 0.5n
当 n ? 11 时,数列 ?an ?是以公比为 0.99 的等比数列,又 a10 ? 50

3分

? an ? 50 ? 0.99 n ?10

6分

·5·

因此,新政策实施后第 n 年的人口总数 an (单位:万)的表达式为

? 45 ? 0.5n,1 ? n ? 10 an ? ? n ?10 ,11 ? n ? 20 ?50 ? 0.99

7分

(2)设 S n 为数列 ?an ?的前 n 项和,则从 2016 年到 2035 年共 20 年,由等差数列及等比数列的求和 公式得:

S 20 ? S10 ? (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? 477.5 ? 4950 ? (1 ? 0.9910 ) ? 972.5 万
(说明: 0.9910 ? (1 ? 0.01)10 ? 0.9 )

10 分

? 新政策实施到 2035 年年人口均值为


S 20 48.63 万 ? 48.62 20
12 分

S 20 ? 49 ,故到 2035 年不需要调整政策. 20

18.本题满分 12 分 解: (1)连接 AC , BD 交于点 N ,连接 MN ,则 MN ? 平面 ABCD 证明:? M 为 PD 中点, N 为 BD 中点 1分

? MN 为 ?PDB 的中位线,? MN // PB
又平面 ABCD ? 平面 ABPE 平面 ABCD ? 平面 ABPE = AB , BC ? 平面 ABCD , BC ? AB

2分

? BC ? 平面 ABPE ? BC ? PB ,
又 PB ? AB , AB ? BC ? B 4分

? PB ? 平面 ABCD
所以 MN ? 平面 ABCD 6分

(2)以 A 为原点,AE,AB,AD 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立坐标系,

? AD ? 平面 PEA
? 平面 PEA 的法向量 n1 ? AD ? (0,0,1)
另外 D (0,0,1) , E (1,0,0) , P (2,2,0)
·6·

8分

? DE ? (1,0,?1) , DP ? (2,2,?1) ,设平面 DPE 的法向量 n2 ? ( x, y, z ) ,则
?x ? z ? 0 1 ,令 x ? 1 ,得 n 2 ? (1,? ,1) ? 2 ?2 x ? 2 y ? z ? 0
? cos ? n1 , n2 ?? 2 3 2 12 分 3
10 分

又 D ? PE ? A 为锐二面角,所以二面角 D ? PE ? A 的余弦值为 注意:其它答案可参考给分 19.本题满分 12 分

解: (I)因为 EX 1 ? 6, 所以5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6, 即6a ? 7b ? 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1, 即a ? b ? 0.5. 由?

?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ?a ? b ? 0.5. ?b ? 0.2.

4分

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下:

X2
P 所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4 P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6 P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8 P( X 2 ? 8)

? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为
·7·

8分

6 ? 1. 6

因为乙厂产品的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。 20.本题满分 12 分

4.8 ? 1.2. 4
12 分

?a ? 2b ?a ? 2 ? 解: (1)由题意 ? 4b ? 6 ?? ? a ?b ? 1 ? ? 5

即C :

x2 ? y 2 ? 1 ?????? 4

4分

(2) ? A(?2, 0) 设 l1 : x ? my ? 2 , l2 : x ? ? 由?

1 y?2 m

? x ? my ? 2
2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

得 (m ? 4) y ? 4my ? 0 ? M (
2 2

2m 2 ? 8 4m , ) m2 ? 4 m2 ? 4
6分

同理? N (

2 ? 8m 2 4m ,? 2 ) 2 4m ? 1 4m ? 1 5m 5m 6 6 lMN : y ? ( x ? ) 过定点 (? , 0) 2 2 5 4(m ? 1) 4(m ? 1) 5
6 6 6 过点 (? , 0) ? lMN 过定点 (? , 0) 5 5 5

i) m ? ?1 时, k MN ?

ii) m ? ?1 时 lMN : x ? ? (3)由(2)知 S ?AMN

2 4m 4m m3 ? m ? ? ?8 5 m 2 ? 4 4m 2 ? 1 4m 4 ? 17 m 2 ? 4

8 m? ?

1 m

1 4(m ? ) 2 ? 9 m

?

8 1 4 m? ? m 9 m? 1 m

8分

令t ? m ?

16 16 1 ? 2且m ? ?1 时取等号? S ? ? 且m ? ?1 时去等号,? S ? max ? 25 25 m

12 分

21.本题满分 12 分
x x x 解:依题意, f ?( x) ? a[( x ? 1)?(e ? a ) ? ( x ? 1)(e ? a )?] ? a ( x ? e ? a ),

令 h( x) ? a ( x ? e ? a ) ,则 h?( x) ? a ( x ? 1) ? e .
x x

1分

(1)①当 x ? 0 时, x ? e ? 0 , a ? 0 ,故 h( x) ? f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x) 在 (??, 0)上 不存在零点,
x

·8·

则函数 f ( x) 在 (??, 0)上 不存在极值点;
x

2分
2

②当 x ? 0 时,由 h?( x) ? a ( x ? 1) ? e ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??)上 单调递增. 又 h(0) ? ? a ? 0 ,

h(a) ? a(a ? e a ? a ) ? a 2 (e a ? 1) ? 0 ,
所以 h( x) ? f ?( x) 在 [0, ??)上 有且只有一个零点. 3分

又注意到在 f ?( x) 的零点左侧, f ?( x) ? 0 ,在 f ?( x) 的零点右侧, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 [0, ??) 有且只有一个极值点. 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (??, ??) 内有且只有一个极值点. (2)因为函数 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x 2 (不妨设 x1 ? x2 ) , 所以 x1 , x 2 是 h( x) ? f ?( x) 的两个零点,且由(1)知,必有 a ? 0 . 令 h?( x) ? a ( x ? 1) ? e ? 0 得 x ? ?1 ;
x

4分

令 h?( x) ? a ( x ? 1) ? e ? 0 得 x ? ?1 ;
x

令 h?( x) ? a ( x ? 1) ? e ? 0 得 x ? ?1 .
x

所以 h( x) ? f ?( x) 在 (??, ?1] 单调递增,在 [?1, ??) 单调递减, 又因为 h(0) ? f ?(0) ? ? a ? 0 ,
2

6分

所以必有 x1 ? ?1 ? x2 ? 0 . 令 f ?(t ) ? a (t ? e ? a ) ? 0 ,解得 a ? t ? e ,
t

t

8分
t 2t 2 2t 3 2

此时 f (t ) ? a (t ? 1)(e ? a ) ? te (t ? 1)(e ? te ) ? ?e t (t ? 1) ? ?e (t ? 2t ? t ) .
t t t

因为 x1 , x2 是 h( x) ? f ?( x) 的两个零点, 所以 f ( x1 ) ? ?e
2t

2 x1

( x13 ? 2 x12 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ?e 2 x2 ( x23 ? 2 x2 2 ? x2 ) .
2 2t 3 2

将代数式 ?e (t ? 2t ? t ) 视为以 t 为自变量的函数 g (t ) ? ?e (t ? 2t ? t ) ,
3

则 g ?(t ) ? ?e (t ? 1)(2t ? 1) .
2t 2

·9·

当 t ? ?1 时,因为 t ? 1 ? 0, 2t ? 1 ? 0, e ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 ,
2 2t

则 g (t ) 在 (??, ?1) 单调递增. 因为 x1 ? ?1 ,所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( ?1) ? 又因为 f ( x1 ) ? ?e
2 x1

4 , e2 4 . e2

x1 ( x1 ? 1) 2 ? 0 ,所以 0 ? f ( x1 ) ?
2 2t

当 ?1 ? t ? 0 时,因为 t ? 1 ? 0, 2t ? 1 ? 0, e ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (?1, 0) 单调递减, 因为 ?1 ? x2 ? 0 ,所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? g ( ?1) ? 综上知, 0 ? f ( x1 ) ? 22.本题满分 10 分 (1)解:因为 A、B、C、D 四点共圆;

4 . e2
12 分

4 4 且 0 ? f ( x2 ) ? 2 . 2 e e

23.本题满分 10 分 解:(1)∵ρ=4cosθ. ∴ρ2=4ρcosθ, 由 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,得 x2+y2=4x, 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x-2) +y =4,
2 2

3分

?x=-1+ 23t ? 1 ?y=2t
消去 t 解得: x- 3 y +1 ? 0 .所以直线 l 的普通方程为 x- 3 y +1 ? 0 . 5 分
·10·

?x=-1+ 23t (2)把? 1 ?y=2t

代入 x2+y2=4x.

整理得 t2-3 3t+5=0. 设其两根分别为 t1,t2,则 t1+t2=3 3,t1t2=5. 所以|PQ|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 7. 24、本题满分 10 分 解析: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ,? x ? 1 ? 3 ,解得 ?2 ? x ? 4 . 所以原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 4 (2)因为对任意 所以 ,都有 10 分

?

?
,使得 =

5分 成立



有 f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 ? a ? 3 , 所以 a ? 3 ? 2 从而 a ? ?1 或 a ? ?5 10 分

切题方案:填空题和 解答题,每道题切一块.
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·11·


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