当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2013高中数学奥数培训资料之数列

2013高中数学奥数培训资料之数列


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
§11 数列
一、数列的基础知识 1.数列{an}的通项 an 与前 n 项的和 Sn 的关系 它包括两个方面的问题:一是已知 Sn 求 an,二是已知 an 求 Sn; 2.递推数列,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列 与等比数列的有关问题,然后解决。 常见类型: 类型Ⅰ: ?

/>? a n ?1 ? p ( n ) a n ? q ( n ) ?a1 ? a ( a 为常数)
( p ? 0) ( p ? 0)

( p (n) ? 0)

(一阶递归) (2) a n ? 1
? pa
n

其特例为:(1) a n ? 1 ? pa n ? q (3) a n ? 1 ? p ( n ) a n ? q
? a n ? 2 ? pa
n ?1

? q (n)

( p ? 0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ: ?
? qa
n

( p ? 0 , q ? 0)

? a 1 ? a , a 2 ? b ( a , b 为常数)

(二阶递归)

解题方法:利用特征方程 x2=px+q,求其根 α、β,构造 an=Aαn+Bβn,代入初始值求得 A , B 。 类型Ⅲ:an+1=f(an)其中函数 f(x)为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。 二、等差数列与等比数列 1.定义: 2.通项公式与前 n 项和公式: 函数的思想: 等差数列可以看作是一个一次函数型的函数; 等比数列可以看作是一个指 数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。 三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现? 数列问题的综合性主要表现在 1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽. 2.同一问题中出现有若干个相关数列,既有等差或等比数列,也有非等差,非等比的 数列,需相互联系,相互转换. 数列问题的灵活性表现在: 1.需灵活应用递推公式,通项公式,求和公式,寻求已知与所求的关系,减少中间量 计算. 2.需灵活选用辅助数列,处理相关数列的关系.

例题讲解
1.已知(b-c)logm x+(c-a)logm y+(a-b)logm z=0 ① (1) 若 a、b、c 依次成等差数列,且公差不为 0,求证 x、y、z 成等比数列; (2) 若 x、y、z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证 a、b、c 成等差数列.

2. 数列{an}的 前 n 项 和 Sn=a ·2n + b(n?N),则{an}为等比数列的充要条件是

________.

3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S7=56,Sn=420,an-3=34,则 n=________.

4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13

5. 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn,若 S10=10,S30=70,求 S40。

6. 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,(n=1,2,3,…),则它的通项公式 是 an= .

7.已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ,且 a1,a2,a3,…,an 组成等差数列(n 为正偶数),又 f(1)=n2,f(-1)=n; (1)求数列{an}的通项 an; (2)试比较 f(0.5)与 3 的大小,并说明理由。

8.在 1 与 2 之间插入个正数 a1,a2,a3,…,an,使这 n+2 个正数成等比数列;又在 1 与 2 之间插 入个正数 b1,b2,b3,…,bn,使这 n+2 个正数成等差数列。记 An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn. (1)求数列{An}和{Bn}的通项; (2)当 n≥7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论。

9. 设任意实数 x,y 满足|x|<1,|y|<1,求证: 试题)

(第 19 届莫斯科数学竞赛

10. 从 n 个数 1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数, 然后将剩下的数任意分成两个部分, 证明: 这两部分之和不可能相等

11.已知 a1= 2 ,an= 2 ? 2a

n ?1

,求数列{an}的通项公式。

12.正整数 k,g(k)表示 k 的最大奇因子(例如 g(3)=3,g(20)=5),求 g(1)+ g(2) n + g(3)+……..+ g(2 )(其中 n∈N*)

13.将数字 1,2,3,……..,n 填入标号为 1,2,3,……,n 的 n 个方格内,每格一个数 字,则标号与数字均不相同的填法有多少种?

14.用 1,2,3 三个数字写 n 位数,要求数中不出现紧挨着的两个 1,问能构成多少个 n 位 数?

15.设数列{an}和{bn}满足 a0=1, 0=0, ? b 且

? an

?1

? 7a

n n -1

? 6b ? 7b

n n

-3 -4

? b n ? 1 ? 8a

(n=0, 2, 1, ……….)

证明:an(n=0,1,2,…..)是完全平方数

16.已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ =
a

2ab
2

? b

2

(其中 0< ? ?

?
2

),An=(a +b ) sinnθ

2

2 n

求证: 对一切正整数 n,

An 2ab

均为整数

17.(1)证明: 3 ?

2 ( n ? 1)!

?

2 2!

?

7 3!

? .......... . ?

n

2

?2 n!

? 3 ;

(2) 求正整数 a, b,c,使得对任意 n ? N * (n>2),有
b? c ( n ? 2 )! ? 2 ?a
3

?

3 ?a
3

? ...... ?

n ?a
3

? b

2!

3!

n!

18. 设 A,E 为正八边形的相对顶点,顶点 A 处有一只青蛙,除顶点 E 外青蛙可以从八边形 的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个,落到顶点 E 时青蛙就停止跳动,设青蛙从顶点 A 恰 好跳 n 次后到 E 的方法数为 an,求 an

2 ..... 19. a 1 , a 2 ,....... a n 表示整数 1,, , n 的任意一排列,设

f ( n )为这些排列的数目,

使得:(1)a1=1(2)|ai-ai+1|≤2(i=1,2,……,n-1).确定 f (1996)是否能被 3 整除

课后练习
1 设数列 a1,a2,….,an,….满足 a1 ? a2 ? 1,a3 ? 2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3 ? an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+….+a100 的值是____ 2 设正数列 a0,a1,a2,?,an,?满足 项公式.
anan? 2 ? a n ?1a n ? 2 ? 2 a n ?1

(n≥2)且 a0=a1=1.求{an}的通

3 已知数列 { a n } 满足 3 a n ?1 ? a n ? 4 ( n ? 1) ,且 a 1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不等式
Sn ? n ? 6 ? 1 125

的最小整数 n 是( (C)7

) (D)8

(A)5

(B)6

4 设等差数列 {a n } 满足 3 a 8 ? 5 a 13 且 a 1 ? 0 ,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A) S 1 0 (B) S 1 1 (C) S 20 (D) S 2 1

)

5 等比数列 { a n ] 的首项 a 1 ? 1536 ,公比 q ? ? 最大的是( (A) ? 9 ) (B) ? 11 (C) ? 12

1 2

,用 ? n 表示它的前 n 项之积。则 ? n ? n ? N ?

(D) ? 13

6 设数列{an}的前项和 Sn=2an ?1(n=1,2,3,….),数列{bn}满足 b1=3, bk+1 ? ak+bk (k=1,2,3….).求 数列{bn}的前 n 项和 T n .

7 已知数列{ 正确的是(

xn

}满足 )

x n ? 1 ? x n ? x n ?1

(n≥2),x1 ? a, x2 ? b, 记 Sn ? x1+x2+…+xn,则下列结论

(A)x100??a,S100=2b?a (C)x100??b,S100=b?a

(B)x100??b,S100?2b?a (D)x100??a,S100?b?a

8 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的数 列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 9 各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( (A) 150 (B) ?200 (C) 150 或?200 (D)400 或?50 10 等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________.
Sn

)

11 设 Sn=1+2+3+…+n,n?N,求 f(n)= ( n ? 32 ) S n ? 1 的最大值.

12 设 { a n } 为 等 差 数 列 , 为 { b n } 等 比 数 列 , 且 b1 ? a 1 , b 2 ? a 2 , b 3 ? a 3 ? a 1 ? a 2 ? , 又
2 2 2

lim ?b
n? ?

1

? b 2 ? ... ? b n ? ?

2 ? 1 ,试求 { a n } 的首项和公差。

13 如图,有一列曲线
Pk ? 1是 对 Pk

P0 , P1 , P2 , ? ? Pk

已知

P0

所围成的图形是面积为 1 的等边三角形,

进行如下操作得到:将

的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外
( k ? 0,1, 2, … ) 记 S n 为 曲 线 Pn

作等边三角形,再将中间部分的线段去掉 积. ①求数列

所围成图形的面

? S n ? 的通项公式;②求 lim S n . x? ?

P0

P1

P2

14 删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数, 得到一个新数列. 这个新数列的第 2003 项是( )(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

15 已知数列 是______。

a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n ...,

满足关系式

( 3 ? a n ? 1 )( 6 ? a n ) ? 18



a0 ? 3

, i?0 则

?

n

1 ai

的值

16 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ? A n ? 与曲线 y ?

2 x ( x ≥0)上

的点列 ?B n ? 满足 OA n ? OB n ?
bn , n ? N 。
?

1 n

,直线 A n B n 在 X 轴上的截距为 a n ,点 B n 的横坐标为

(Ⅰ)证明 a n > a n ? 1 >4, n ? N 。 (Ⅱ)证明有 n 0 ? N ,使得对 ? n ? n 0 都有
?

?

b2 b1

?

b3 b2

? ... ?

bn b n ?1

?

b n ?1 bn

< n ? 2004 。

课后练习答案
1.200, 2. a n ? ?2 ? 1 ? ?2 ? 1 ? ... ?2 ? 1 ?
1 2 2 2 n 2

, 3.C , 4.C , 5.C

6. T n ? 2 n ? 2 ? 1 , 7.A, 8.C, 9.A, 10.
n

1 3

11.当 n=8 时,f(n)取得最大值,为

1 50

,

12. a 1 ? ? 2 , d ? 2 2 ? 2 13.略 14.C
n?2

15.

2

?n?3 3

16.略


更多相关文档:

2013高中数学奥数培训资料之数列

2013高中数学奥数培训资料之数列_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,报送大学不再是幻想 ...

2013高中数学奥数培训资料之递推数列

宜丰中学高中奥数辅导资料(递推数列) 1、 概念: 递归式: ①、 一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n?1 , n?2 , a n?k( k ...

2013高中数学奥数培训资料之组合数学选讲

2013高中数学奥数培训资料之组合数学选讲_数学_高中教育_教育专区。2013年最新高中...? ,2 为公比的等比数列, 2 ? 它与集合 M 的交的元素个数为|A2i+1|+m...

2013高中数学奥数培训资料之平面几何名定理

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §21 平面几何名定理四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有...

2013高中数学奥数培训资料之集 合

2013高中数学奥数培训资料之集 合_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,保送大学不再是幻想兰州...

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(1)

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(1)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,保送大学不再是幻想兰州...

2013高中数学奥数培训资料之向量与向量方法

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)§10 向量与向量方法(一) 1.2004...a n ? 1 ≤M 的所有等差数列 a 1 , a 2 , a 3 , ? ,试 求 S ...

2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理

2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年最新高中奥数培训教材兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)平面几何的几个重要定理-...

2013高中数学奥数培训资料之容斥原理

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §24 容斥原理相对补集:称属于 A 而不属于 B 的全体元素,组成的集合为 B 对 A 的相对补集或差集,记作 A-B...

2013高中数学奥数培训资料之奇数偶数

2013高中数学奥数培训资料之奇数偶数_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,报送大学不再是幻想兰州...
更多相关标签:
高中家长学校培训资料 | 小学奥数等差数列 | 四年级奥数等差数列 | 五年级奥数等差数列 | 小学奥数等差数列教案 | 奥数等差数列 | 小学奥数等差数列求和 | 三年级奥数等差数列 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com