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上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)


2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边 形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 2.已知正整数 a1

, a2 ,L , a10 满足: .

3 > ,1 ≤ i < j ≤ 10 ,则 a10 的最小可能值是 . ai 2 17 4 3.若 tan α + tan β + tan γ = , cot α + cot β + cot γ = ? , cot α cot β + cot β cot γ + cot γ cot α 6 5 17 . = ? ,则 tan (α + β + γ ) = 5 4.已知关于 x 的方程 lg ( kx ) = 2 lg ( x + 1) 仅有一个实数解,则实数 k 的取值
. 范围是 5.如图, ΔAEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形,已知 ∠AEF = 90° , AE = a, EF = b, a > b ,则 x = . 6.方程 2 ? 3 ? 3
m n n +1

aj

+ 2m = 13 的非负整数解 ( m, n ) =



7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸 出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 . (用数字作答) 8.数列 {an } 定义如下: a1 = 1, a2 = 2, an + 2 =

2 ( n + 1) 2011 n an +1 ? an , n = 1, 2,L .若 am > 2 + ,则正 2012 n+2 n+2
D C

. 整数 m 的最小值为 二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB = x , BC = 1 , 对角线 AC 与 BD 的夹角 ∠BOC = 45° ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a > 1 ,求函数 f ( x) =

(a + sin x)(4 + sin x) 的最小值. 1 + sin x

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz + xy + yz + zx = 4 ; 求证: (1) xy + yz + zx ≥

4 ; (2) x + y + z ≥ 2 . 3

12. (本题满分 16 分)给定整数 n(≥ 3) ,记 f (n) 为集合 1, 2,L , 2 ? 1 的满足如下两个条件的子集 A 的
n

{

}

元素个数的最小值:① 1 ∈ A, 2 ? 1 ∈ A ;②A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素 的和. (1)求 f (3) 的值;
n

(2)求证: f (100) ≤ 108 .
1

2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)参考答案
1、 5、

9 3 4

2、92

3、11

4、 ( ?∞, 0 ) U {4} 7、

a2 a 2 + ( a ? b) 2

6、 ( 3, 0 ) ,

( 2, 2 )

2 5

8、4025

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

1 1 OB 2 + OC 2 = ( AB 2 + BC 2 ) = ( x 2 + 1) . ① …………………(2 分) 2 2 2 2 2 在△OBC 中,由余弦定理 BC = OB + OC ? 2OB ? OC cos ∠BOC , 所以 OB 2 + OC 2 ? 2OB ? OC = 1 , ② 2 x ?1 OB ? OC = 由①,②得 . ③ …………………(5 分) 2 2 1 x2 ?1 所以: S ABCD = 4 S ΔOBC = 4 ? OB ? OC sin ∠BOC = 2OB ? OC = , 2 2 x2 ?1 x2 ?1 , 所以 : h( x) = . …………………(10 分) 故 : AB ? h( x ) = 2x 2 2 由③可得, x ? 1 > 0 ,故 x > 1 . x2 ?1 1 2 2 2 因为 OB + OC ≥ 2OB ? OC ,结合②,③可得: ( x + 1) ≥ 2 ? , 2 2 2 1 < x ≤ 2 +1 . 解得(结合 x > 1 ) 2 x ?1 综上所述, h( x) = , 1 < x ≤ 2 +1 . …………………(14 分) 2x (a + sin x)(4 + sin x) 3(a ? 1) = 1 + sin x + +a+2. 10.解 f ( x) = 1 + sin x 1 + sin x 7 3(a ? 1) 当 1 < a ≤ 时, 0 < 3( a ? 1) ≤ 2 ,此时: f ( x) = 1 + sin x + + a + 2 ≥ 2 3(a ? 1) + a + 2 , 3 1 + sin x 且当 sin x = 3( a ? 1) ? 1 (∈ ( ?1,1]) 时不等式等号成立,故 f min ( x) = 2 3( a ? 1) + a + 2 . ………(6 分)
当a >

7 3(a ? 1) 时, 3( a ? 1) > 2 ,此时“耐克”函数 y = t + 在 0, 3(a ? 1) ? 内是递减, ? 3 t 3(a ? 1) 5(a + 1) 故此时 f min ( x) = f (1) = 2 + . +a+2= 2 2

(

7 ? ?2 3(a ? 1) + a + 2, 1 < a ≤ 3 ; 综上所述, f min ( x) = ? ? 7 ? 5(a + 1) , a> . ? 2 3 ?
11.证 (1)记 t =

…………………(14 分)

xy + yz + zx ,由平均不等式: xyz = 3
3 2

(

3

( xy )( yz )( zx)

)

3 2

? xy + yz + zx ? 2 ≤? ? . 3 ? ?

3

…………………(4 分) 于是 所以
2

4 = 9 xyz + xy + yz + zx ≤ 9t + 3t ,

( 3t ? 2 ) ( 3t 2 + 3t + 2 ) ≥ 0 ,

而 3t + 3t + 2 > 0 ,所以 3t ? 2 ≥ 0 ,即 t ≥

2 4 ,从而 xy + yz + zx ≥ . 3 3
2

…………………(10 分)

(2)又因为: ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ,
2

所以 故

12. (1) 解 设集合 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 , A 满足 且 (a) b) 则 1 ∈ A, 7 ∈ A . , . ( 由于 {1, m, 7} ( m = 2,3,L , 6 )
3

{

( x + y + z )2 ≥ 4 , x+ y+ z ≥ 2.

}

…………………(16 分)

不满足(b) ,故 A > 3 .

{1, 2,3, 7} , {1, 2, 4, 7} , {1, 2,5, 7} , {1, 2, 6, 7} , {1,3, 4, 7} , {1,3,5, 7} , {1,3, 6, 7} , ,故 {1, 4,5, 7} , {1, 4, 6, 7} , {1,5, 6, 7} 都不满足 (b) A > 4 . , ,所以 f (3) = 5 . …………………(6 分) 而集合 {1, 2, 4, 6, 7} 满足(a)(b)
又 (2)首先证明: f (n + 1) ≤ f (n) + 2, n = 3, 4,L . 令 B = AU 2 又2
n +1



事实上,若 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) .
n

? 2 = 2(2n ? 1), 2n +1 ? 1 = 1 + (2n +1 ? 2) ,所以,集合 B ? {1, 2,L , 2n +1 ? 1} ,且 B 满足(a) ,
…………………(10 分) ②

{

{

n +1

? 2, 2n +1 ? 1} ,由于 2n +1 ? 2 > 2n ? 1 ,故 B = f (n) + 2 .

}

(b) .从而: f ( n + 1) ≤ B = f ( n) + 2 .

其次证明: f (2n) ≤ f (n) + n + 1, n = 3, 4,L . 令 B = A U 2(2 ? 1), 2 (2 ? 1),L , 2 (2 ? 1), 2
n
2

事实上,设 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) .
n

{

{

}

n

n

n

2n

? 1} ,

由于
k +1

所以 B ? 1, 2,L , 2 而2

{

2(2n ? 1) < 22 (2n ? 1) <L < 2n (2n ? 1) < 22 n ? 1 ,
2n

? 1} ,且 B = f (n) + n + 1 .

(2n ? 1) = 2k (2n ? 1) + 2k (2n ? 1), k = 0,1,L , n ? 1 , 22 n ? 1 = 2n (2n ? 1) + (2n ? 1) , 从而 B 满足(a)(b) , ,于是: f (2n) ≤ B = f ( n) + n + 1 . …………………(14 分) 由①,②得 f (2n + 1) ≤ f (n) + n + 3 . ③ 反复利用②,③可得 f (100) ≤ f (50) + 50 + 1 ≤ f (25) + 25 + 1 + 51 ≤ f (12) + 12 + 3 + 77 ≤ f (6) + 6 + 1 + 92 ≤ f (3) + 3 + 1 + 99 = 108 . …………………(16 分)

3

2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题
2011 年 3 月 27 日 上午 8:30——10:30 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)

? y x + 7 x +12 = 1 ? 1.方程组 ? 的解集为 ? x + y =1 ?
2

.

2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P 、 Q 的坐标分别 为 ( 0,1) 、 (1, 2 ) ,则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 .

3.已知 M 是椭圆

x2 y2 + = 1 在第一象限弧上的一点,MN ⊥ y 轴, 垂足为 N , ΔOMN 的面积最大时, 当 16 9

它的内切圆的半径 r = 4.已知 ΔABC 外接圆半径为 1,角 A 、 B 、 C 的平分线分别交 ΔABC 外接圆于 A1 、 B1 、 C1 ,则

AA1 cos

A B C + BB1 cos + CC1 cos 2 2 2 的值为 sin A + sin B + sin C

.

5.设 f ( x ) = a sin ?( x + 1) π ? + b 3 x ? 1 + 2 ,其中 a 、 b 为实常数,若 f ( lg 5 ) = 5 ,则 f ( lg 20 ) 的值 ? ? 为 .
0

6.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A ( 3, a ) , B ( 3, b ) 使 ∠AOB = 45 ,其中 a 、 b 均为整数,且

a > b ,则满足条件的数对 ( a, b ) 共有
2 2

组.

7.已知圆 C 的方程为 x + y ? 4 x ? 2 y + 1 = 0(圆心为 C ) 直线 y = tan10 ,

(

0

)x+

2 与圆 C 交于 A 、B

. 两点,则直线 AC , BC 倾斜角之和为 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜.若甲、 乙两人每局取胜的概率都为 二、解答题: 9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a 、 b , min {a, b} 表示 a 、 b 中较小的数,求所有非零实数 x ,使

1 ,则甲最后获胜的概率是 2

.

4 ? ? ? 1? min ? x + , 4 ? ≥ 8 ? min ? x, ? . x ? ? ? x?

1

10. (本题满分为 14 分) 如图, ΔABC 中, 为 BC 中点, M ,N 分别在边 AB ,AC 上, AM = 6 , 在 O 点 且

MB = 4 , AN = 4 , NC = 3 , ∠MON = 900 .求 ∠A 的大小.

11. (本题满分为 16 分)对整数 k ,定义集合 S k = n 50k ≤ n ≤ 50 ( k + 1) , n ∈ Z ,问 S0 , S1 , S 2 ,…,

{

}

S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 ,…, xn ,都有不等式

( x1 + x2 + ??? + xn )

2

≥ n ( x1 x2 + x2 x3 + ??? + xn x1 ) .

2

2011 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见 一. 填空题 (7 '× 4 + 8 '× 4 = 60 ') 1. (0,1), (2, ?1), (?3, 4), (?4,5)} ; 5.-1; 二.解答题 9.解:当 x > 0 时, x + 6. 6; 7. 200o ; 8.

{

2.

y(x-2)=-2;

3.

2 ; 2

4. 2;

11 . 16

4 4 4 ≥ 2 x ? = 4, 当 x < 0 时, x + ≤ ?4 < 4, 故 x x x x > 0; ? 4, 4 ? min { x + , 4} = ? 4 x ? x + x , x < 0. ? ?1 ? 1 ? ? , ?1 < x < 0或x > 1; (4’) 又 min ? x, ? = ? x ? x ? ? x, x ≤ ?1或0<x ≤ 1. ?

所以有以下四种情形:

8 , x ≥ 2 .此时, x ∈ [ 2, +∞ ) . x 1 1 (2) 当 0 < x ≤ 1 时,原不等式为 4 ≥ 8 x, x ≤ .此时, x ∈ (0, ] . (9’) 2 2 4 8 (3) 当 ?1 < x < 0 时,原不等式为 x + ≥ ? x 2 ≤ 4. 此时, x ∈ ( ?1, 0) . x x 4 4 (4) 当 x ≤ ?1 时, 原不等式为 x + ≥ 8 x ? x 2 ≥ .此时, x ∈ ( ?∞, ?1] . 7 x
(1) 当 x > 1 时,原不等式为 4 ≥ 综上所述,满足题意的 x 的取值范围为

1 (?∞, 0) ∪ (0, ] ∪ [2, +∞). 2

(14’)

10.解:延长 NO 至 P,使 OP=ON,又 BO=OC,可知 BPCN 为平行四边形, (3’) ∴ BP // AC ,BP=CN=3. 连接 MP, Q M 在 NP 的垂直平分线上, ∴ MP = MN (6’) 令 MN=a,则在 V AMN 和 VMBP 中,由余弦定理得 6 M (10’) 4 B P O

A 4 N 3 C

a = MN = 6 + 4 ? 2 ? 6 ? 4 cos A = 52 ? 48cos A,
2 2 2 2

a 2 = MP 2 = 32 + 42 + 2 ? 3 ? 4 cos A = 25 + 24 cos A.
消去 a 2 ,得 27 ? 72cos A = 0 , 于是 cos A =

3 3 , ∠A = arccos . (14’) 8 8
2 2

11.解: Q ( x + 1) ? x = 2 x + 1, 2 x + 1 ≤ 50( x ∈ N ) ? x ≤ 24( x ∈ N ) .

(24 + 1) 2 = 625 ∈ S12 ,
3

∴ S0 , S1 ,L , S12 中含有的平方数都不超过 252 ,且每个集合都是由连续 50 个非负整数所组成的,故每个
集合至少含有 1 个平方数. (6’)

S13 , S14 ,L , S599 中,若含有平方数,都不小于 26 2 .而当 x ≥ 26 时,2x+1 ≥ 53,从而 S13 , S14 , L , S599 中,每
个集合至多含有 1 个平方数. 另一方面, S599 中最大数是 600 ? 50 ? 1 = 29999 ,

1732 < 29999 < 1742 ,∴ S13 , S14 , L , S599 中含有平方数.
则不超过 1732 . (12’)

∴ S13 , S14 , L , S599 中有且仅有 173-25=148 个集合含有平方数.
综上所述, S0 , S1 , L , S599 中, 有 600-13-148=439 个集合不含有平方数. 12.解:当 n=2 时,不等式为 ( x1 + x2 ) 2 ≥ 2( x1 x2 + x2 x1 ), 即 (16’)

( x1 ? x2 ) 2 ≥ 0, 故 n=2 满足题意.
当 n=3 时,不等式 ( x1 + x2 + x3 ) 2 ≥ 3( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ), 等价于 ( x1 ? x2 ) 2 + ( x2 ? x3 ) 2 + ( x3 ? x1 ) 2 ≥ 0, 故 n=3 满足题意. 当 n=4 时,不等式为

(2’)

(5’)

( x1 + x2 + x3 + x4 ) 2 ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 ) ? (x1 ? x2 + x3 ? x4 ) 2 ≥ 0 .故 n=4 满足题意.
下证当 n>4 时,不等式不可能对任意正实数 x1 , x2 , L , xn 都成立. 取 x1 = x2 = 1, x3 = x4 = L = xn = (8’)

1 , 5(n ? 2)

则原不等式为 [1 + 1 + ( n ? 2) ?

1 2 n?3 ]2 ≥ n(1 + + 5(n ? 2) 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2

?

121 2n n(n ? 3) ≥ n+ + , 25 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2
121 < 5 ≤ n 矛盾. 25
(16’)

这与

所以满足题意的正整数 n 为 2,3,4.

4

2009 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 (2009 年 3 月 22 日 星期日 上午 8:30~10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) log 2009 + log 2009 + L + log 2009 a1 a2 a10 1. 设 a1 , a2 ,L , a10 ∈ (1, +∞) ,则 的最小值是 。 2009 log a1a2 La10 2. 已知 x, y ∈ N * ,且 1 + 2 + L + y = 1 + 9 + 92 + L + 9 ,则将 y 表示成 x 的函数, 其解析式是 y = 。 3. 已知函数 f ( x) =| x 2 ? 2 | ,若 f (a) = f (b) ,且 0 < a < b ,则 ab 的取值范围 是 。 1 3 ] = ? y2 + y + 4. 满 足 方 程 log 2 [2 cos 2 ( xy ) + 的 所 有 实 数 对 2 2 cos ( xy ) 4 ( x, y ) = 。 5. 若 [a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x] = 2sin 2 x 的解 是 。 6. 不等式 22 x ≤ 3 ? 2 x +
x
x ?1

+ 4 ? 22 x 的解集是



7. 设 A 是由不超过 2009 的所有正整数构成的集合,即 A = {1, 2,L , 2009} ,集合 L ? A ,且 L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可 能值是 。 8. 给出一个凸 10 边形及其所有对角线, 在以该凸 10 边形的顶点及所有对角线的 交 点 为 顶 点 的 三 角 形 中 , 至 少 有 两 个 顶 点 是 该 凸 10 边 形 顶 点 的 三 角 形 有 个。 二、解答题 9.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) 定义于闭区间 [0,1] ,满足 f (0) = 0, f (1) = 1 ,且 x+ y 对任意 x, y ∈ [0,1], x ≤ y ,都有 f ( ) = (1 ? a 2 ) f ( x) + a 2 f ( y ) ,其中常数 a 满足 2 0 < a < 1 ,求 a 的值。 x2 10. (本题满分 14 分)如图, A 是双曲线 ? y 2 = 1 的右顶点,过点 A 的两条互 4 相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点 M , N ,问直线 MN 是否一定过 x 轴上 一定点?如果不存在这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点 P 试求出这 个定点 P 的坐标。
y

M O A N

x

1

11. (本题满分 16 分) A, B 是集合 {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } 的两个不同子集, 设 使得 A 不 是 B 的子集, B 也不是 A 的子集,求不同的有序集合对 ( A, B) 的组数。 12. (本题满分 16 分)设正整数构成的数列 {an } 使得 a10 k ?9 + a10 k ?8 + L + a10 k ≤ 19 对一切 k ∈ N * 恒成立。 记该数列若干连续项的和
p = i +1

∑a

j

p

为 S (i, j ) , 其中 i, j ∈ N * ,

且 i < j 。求证:所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。

答案:一、 1、 100 ; 2、

3x ? 1 π 1 ; 3、 (0, 2) ; 4、 π + , )(k ∈ Z ) (k 2 2 2

5、 x = kπ 或 x = lπ +

π

4

(k , l ∈ Z ) ; 6、 [0, 4] ; 7、 1005 ; 8、 960 。

1 0+ 1 1 0 +1 2 ) = a2 f ( 1 ) = a2 二、9、解:因为 f ( ) = f ( ) = a2 , f ( ) = f ( 4 2 2 2 2 1 +1 3 2 ) = (1 ? a 2 ) f ( 1 ) + a 2 f (1) = 2a 2 ? a 4 f( )= f( 4 2 2 1 3 + 1 4 4 ) = (1 ? a 2 ) f ( 1 ) + a 2 f ( 3 ) = ?2a 6 + 3a 4 8分 所以 f ( ) = f ( 2 2 4 4 2 由此得 a 2 = ?2a 6 + 3a 4 ,而 0 < a < 1 ,所以 a = 14 分 2 10、解法一: A(2, 0) ,将 y 轴向右平移 2 个单位,使点 A 成为新直角坐标系
的原点,在新坐标系下,双曲线的方程为 (*)
4 4 若 MN ⊥ x 轴,则 k AM = 1 ,即 l AM : y = x ' ,代入(*)式可得 M ( , ) ,进而 3 3 4 4 4 10 所以 P( , 0) , 则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 5 N( ,? ) 。 3 3 3 3 分 y ? kx ' =1, 若 MN 不垂直 x 轴,设 lMN : y = kx '+ t (t ≠ 0) ,则 t y y y ? kx ' 于是(*)可以改写成 4 y 2 ? x '2 ? 4 x '? = 0 ,即 4t ( ) 2 ? 4( ) + 4k ? t = 0 x' x' t 该方程的两个根 k1 , k2 既是 AM , AN 的斜率。
2

( x '+ 2) 2 ? y 2 = 1 ,即 4 y 2 ? x '2 ? 4 x ' = 0 4

因为 AM ⊥ AN ,所以 k1k2 =

4 所以 t = ? k ,故 lMN 3 4 10 所以过定点 P( , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 3 3 10 综上所述,直线 MN 过 x 轴上的定点 P ( , 0) 14 分 3 1 解法二:设直线 AM 的斜率为 k (k > 0, k ≠ ± , k ≠ ±2) 2 2 2 2 ?x ? 4 y = 4 2k 2 + 8 ?4k 8k + 2 4 k 由? , ) ) ,同理得 N ( ? M( 2 , 4 ? k2 4 ? k2 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? y = k ( x ? 2)

4k ? t = ?1 , 4t 4 4 : y = kx '? k = k ( x '? ) 3 3

10 分

当 k = ±1 时, xM = xN =

10 10 ,所以过 ( , 0) 3 3

8分

1 10 当 k ≠ ±1, k ≠ 2, k ≠ ± 时,由直线 MN 的方程得, y = k '( x ? ) 10 分 2 3 10 所以,直线 MN 过 x 轴上的定点 P ( , 0) 14 分 3 11 、 解 : 集 合 {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } 有 25 个 子 集 , 不 同 的 有 序 集 合 对 ( A, B) 有 25 (25 ? 1) 组。

2分 若 A ? B ,并设 B 中含有 k (1 ≤ k ≤ 5) 个元素,则满足 A ? B 的有序集合对 ( A, B) 有

∑C
k =1

5

k 5

(2k ? 1) = ∑ C5k 2k ? ∑ C5k = 35 ? 25 组
k =0 k =0

5

5

8分

同理,满足 B ? A 的有序集合对 ( A, B) 也有 35 ? 25 组。 10 分 所以,满足条件的有序集合对 ( A, B) 的组数为 25 (25 ? 1) ? 2(35 ? 25 ) = 570 组。 16 分 12、证明:显然 S (i, j ) ∈ N * 2分 下证对任意 n0 ∈ N * ,存在 S (i, j ) = n0 用 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,考虑 10n0 + 10 个前 n 项和:
S1 < S 2 < L < S10 n0 +10

(1) 6分

由题设 S10 n0 +10 = (a1 + a2 + L + a10 ) + (a11 + L + a20 ) + L + (a10 n0 +1 + L + a10 n0 +10 ) 另外,再考虑如下 10n0 + 10 个正整数:

S1 + n0 < S2 + n0 < L < S10 n0 +10 + n0
显然

(2) 10 分

S10 n0 +10 + n0 ≤ 20n0 + 19

这样(1),(2)中出现 20n0 + 20 个正整数,都不超过 20n0 + 19 , 由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等,(2)式中各数也 两两不等,故存在 i, j ∈ N * ,使得 S j = Si + n0 ,即 j > i ,且 n0 = S j ? Si = S (i, j ) 所以,所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。 16 分

3

20 第 6 09年 期 


3  5

一 赘上窗  兄j    竞赛/ 图 - _

20 年新 知杯上海 市高 中数学竞赛  08
说 明 : 答本 试卷 不 得使用 汁算 器 . 解  


离 的平方 和 为 . 当  变 化时 , s的最 小 值 为 
8 正整 数 r使得 集 合 { , , , 0 } . t 12 … 20 8 的 



填 空题 ( 1 第 ~4小题 每 小 题 7分 , 第 

5~8 题 , 小 每小 题 8分 , 6 分 ) 共 0   1 已知 恒 等式  .
4+ a
1  


每一个 n 元 子 集 中都 有 2个 元 素 ( 以 相  可
3   + a4  

3+ a
2  

2+ a

同 )它们 的 和是 2的正 整 数 幂 . , 则  的 最小 
值 是  .  

( +1 +b ( +1 +b ( +1 +   ) l  ) 2  )  
6 ( +1 +b .    ) 4  

二 、 答题 ( 6 ) 解 共 0分   9 (4 ) .1 分 已知数列 {  的通 项 为  a}
a  =1 +2+… +n( - )  EN+ ,  

用 a 、 2 a 、 4表 示 b , 么 , 3= l a、 3 a 3那 b  
● 
  . ........... . ..  一

2 有 一个 1   . 9X1 9的正 方 形 棋 盘 , 中任  从

把 此 数列 中所 有 3的倍 数 依 次 取 出 , 成 一  构

取 两条水 平 线 , 两条 垂直 线 . 围成 的图形 恰好 
是 正方形 的概率 是  3 一 条长 为 4的 线 段 A 在  轴 正 半轴  . B

个 新 的数列 b,  … ,  … . 数列 { } .b , b , 求 b 的 
前 2 项 的和 S . m    1 . 1 ) △ A C 中 , C=a, A: 0 ( 4分 在 B B C   b 以边 A , B为一 边 长 向外作 正 方 形 A E  0 B k,  
为 正方形 A E 的 中心 , 、 分 别 为边 B   BF     C、

上 移动 , 另一 条 长为 2的线 段 c D在 Y轴 正 
半轴 上移 动 . 果这 两 条线段 的 4个 端点 A、 如   B、 D 四 点 共 圆 , 这 个 圆 的 圆 心 轨 迹 是  C、 则 4 已知 a、 正实 数 , EN . 函数  . b是 n- 则
=  

的 中点 . 当  B A 变 化 时 , O + O   C 求 M N
的最大 值 .  

1 . 1 ) A( , ) 示 集 合 { , , 1 (6分 用 n k表 1 2 


;  
.  



n} 不 含 连 续 整 数 的 k元 子 集 的 个 数 . 的   1 .1 ) 2 (6分 在直 角坐 标 平 面上 , 横 、 称 纵 

求 A /k. ( ,) 2   坐标都 是 有 理数 的点 为 有理 点 . 满 足 如 下  求

的最 大值 是 

5 如 图 l 正 方  . ,

形 A C 所 在平 面 与  BD
正方 形 A E 所在 平  BF 面构 成 4 。 5的二 面 角 .   则 异 面 直 线 A 与  C B F所成 角 的大小 为一   6 数 列 {  定 义如 下 : . a}  
aI 1, 2: 3, = n   .  
阁 1  

条件 的最 小 正 整 数 k 每 一 个 圆 周 上 含 有 k :  
个 有理 点 的 圆 , 的 圆 周 上一 定含 有 无穷 多  它
个 有理 点 .  

参 考 答 案 
— —

一  



1.一4 + 3aj一 2a2+ a   3.

在 已知恒 等式 中令  = 一1 得 
b 4= 1一 al+ a2一 n3+ n   4.

a + =2   l  +2(   2 a + —a n=12 … )  ,, .

则它 的前 n项 和 为

.  
一 — —

移 项 整理得 
(4 1 +a(。 ) 2 一1 +a(   — ) I +1+a (     ) 3  +1 )  


7 直 角 坐 标 平 面 上 的 4个 点 /( , )  . 4 12 、 B 3 1 、 ( ,) D( ,) ( ,) C 23 、 40 到直 线 Y: 的距   

( 1 + l 1 +6( +I + 3  + ) b( ) 2    + 。   ) 6( )    +1  ,

中 等 数 学 

I ( +1 [ 一1 (   )   _   ! l J )( ) X +1 + 0 ( 一 +1 +n ( f     ) : 一1 +n ] ) 3 


( +1[ +1   )(   )  +b( l  +1    )+
b ( +1 +b ] ,   )  .  
一 +  

故 (— ) ! 1 n( 一 1+ 2_ I+ 3   1  + ) l  + ) n( ) n ( +   卜  


(f  ̄ (+  nJ / \ 、  ++    , )   √  nb /
2   a = b

(  +1  1 ) +b(  +1 +b ( +1 +b . )   2   ) 3  

当 H仅 当 t   =

时, 七式 等 号成 立 .  

再令  = 一1 得 
b 1= 一4+3Ⅱ1—2n 2+ n3  .
1  3 ‘’ 9   1 0‘
一  '

的大为 ) 最值(    
一  

5?W C  —    ̄C O ■一‘  

2一/  、 2

边长 为 1 l 方 形 有 1。个 , 长 为 2 的I J ! 9 边   的正 方形 有 l  , …边 长 为 l 正方 形  8个 … 9的
有 1 .  个 故正方 形共 有 
,j

不 妨设正方 形 的边 长为 1则  .

cs , )  o  碲 = (
( )  个 .

二 、 l +2,  . 9 :     z . +1    
 

( + )( + )     .葡    
— — — — —   — 一 一  

=  

寸   的概  ¨   ● n O  H > 一   率为    所求 一(  
P=—  2   3 1 x 0x 9 9 旦 ÷  = 一   6 丑u 一 10.     9 ‘   _  _ 2一 十  
,  




A .A+ D-F+ C 菌 +D   F D  +A . +D .A+ C    ? 初     ?   . 一 B 一 A B 一 。 一 A
— — — — —   一 — — …  



0+cs 5 +( )   o  。 一1 +0 4

一  2

3  一 =3  >2 )>1 . .   ( , )  
  女 图+ 一 设 I 口 2 +  心 ,


一  



——  ~

一  丁

‘  

D 一  

£ 

M( Y ( > ,  , )   2 Y>1 . 0 )贝 

因此 , C与 B A F所 成 角的大小 为 
2一  
arcc0  一—  一 ?  

A( 一2, 、   0) 

一 + 

『  ( +2 0 、   ,) 
C( Y一 1 、 0, ) 

6  z n +2 .l, 2 ) (
. 

o( , o v+1 . )   【l   {  l       j MA =l l   MC ,

由题设得 0 + —0 + =(   l   +2    2 ,I 0 + 一口 ) .  
图2  

得 2 +Y = +1. 2      

则数列 {  一n } o   是公 差 为 2的等 差 数 列 ,   首项 为 0 —0 =2 故 0+ 一。 2 . 2 l .   l  = n 于是 ,  
n  =(     1 +… +( 2 I +0 口 一n 一 ) n 一口 ) I  
=2 n一1 +… +2+1 ( ( ) =n n一1 +1  ) ,

故 所求 的轨 迹是一 段 双曲线 , 其方 程 为 



Y =3(    >2 Y>1 . , )  

4.

(  
t  +( n+b t b ) —a  

令 t   “ 则 t 0 且  = . > , 1

S ∑ [(一) 1= ( 一 +)      1+1 ∑ k k 1    
=l   =I  
: 

。  
1  
:  

±  

6  

翌   一 !  2   ±    ± +
2   ’  



n n +2 . (2 )  
.  

一 _   _  
l+  
= 一

『 _  
2 0+b)  ( f
7. 2一 2  

t  +( n+b t+a   ) b

设点 A、 C、 到 直线  —Y=0的距  B、 D
离分 别 为 d 、 , d 、   则  。d 、 d .

t 0时 , = f:一1  ;

20 第 6期  09年
3 一l    
=  
’ 

3  7

上 面每 一 个集 合 都 有 2个 元 素 ( 以相  可
同 )它 们 的和是 2的幂 . { , . , 0   , 故 12 … 20 8 的  每 个 10 3元 子 集 , 含 有 { ,6 3 ,  2 {  0 或 4 1 ,2 l0 4 

d  

:  

l  l 4  

 ̄ +1 /    
( 2  (k )+( 3 + 4 )  一 ) + 3 一1   2  一 ) (k    故 S  =
— — 一 一   一 ~  

中的一个元 素 , 含有前 1 0 个集 I 的某  或   2 0 { 1


个 . 而 , 2个 元 素 ( 以相 同 )它 们 的  从 有 可 ,
综 上所述 , n的最 小 值为 1 0 .   3  0
二 、. 9 显然 ,     n: .  

和是 2的 幂 .  
3   一2   + 1  0 2 4
一  

| +l l }    

‘  

于是 ,3 (0一S   一2 k+(4一S = . ) 2 1 ) 0 

当 : 时 =吾 s3 , 一 . 0   
当 S≠3 0时 ,  
△=2  (O—S (4一S t0  2 一4 3 )1 ) . >

若 “  =3 ( ∈Z , 由 n、 +l 质 , £ t +)则 , 2 互   n 与几+1 中必有 一 个足 3的倍数 .  

当 门 3( =    ∈z ) + 时 
,  

1; )  

解得 2 2一 ̄_ ≤S≤2 +、  /l   2 / /

当 n+1 k H n=3 一1 ∈Z+ 时 , :3 , I 】 k ( )  
3 ( k一 1  k3 )
“3 k


I S=2 1 _ I   2一v / 时. =      

l  



一   —



?  

8+ ̄ 8  /1 5

为2 2一 ̄ 15<3 , 以 , 的最 小 值  /8 0所 S 为2   2一 亏  .

则数 列 { }   中的 连 续 j 项 n : n  ,   、, 、   r z  中有连续 两项 n 。a k 3的倍 数 .   、 3是  
炙, =r , 2 z, =n , 4 6  J 上 6 =(  3 5 6 =0 , I 2 3

8.  03. 1o  

前 先 , n=1 0 , 若   2 取  0
A={ , , : B= 7 1 , ,4 , 5 6 7 ,  1 。8 … 2 }  

6  

l= n   I 6  = n3 . 3 ,2   

C={3 3 , ,9 , 3 ,4 … 3 }  
D = { 0 5 l 2 , , 0 } 1 2 , 0 6 … 20 8 .      



∑ ( . )    + :  
m( m+1 ( m+1 . )2 )  

3  


则 S=AU           BU CU D.
故 l :3+8   SI +7+ 8 9 4=1 0 .   2  0

1 . 图 3 在  O如 ,

容 易验 证 5中 任 意 两 个 ( 以相 同 ) 可 元  素的 和都 不是 2的幂 .   其次 , 明 : 证 集合 { , , , 0 } 每 个  12 … 20 8 的 10   3元子 集 中都 有 2个元 素 ( 以相 同 ) 它  0 可 ,
们 的和 足 2的幂 .  

△ O M 中 , 余  B 由 弦 定 理 得 ( A  记 B
=c  A C=p   , B )
OM  

(  

B3 C      图  M



事实 上 , 集 合 { , , ,  0 } 成 如  把 1 2 … 20 8 分 下 l0   3个 两两不 相 交 的子集 的 并 : 0   { , } { , } { , } { ,4 ,9 2 } 17 ,2 6 ,3 5 ,8 2 } { ,3 ,  
{0 2 } … , 1 ,7 ,2 ,9 , , 1 ,2 , {5 1  {5 3 }…   { l3  { 20 8 ,4 , 0 } 3 ,3 ,4  0 } {1207 , 0,  
:  

() 2   ( ) 号 _  ? 卢    .    - g
2 2



+ 



 

( 一       i)

{2 206 , ,20 3 1 2 } 4 , O } … { 0 , 0 5 ,    
{ ,6 3 . 0 4 . 4 l ,2 1 2 :    

= 

+ 一 op  s .     。 + ip 警c    s “ n   ?
+  一

在△ A C中, B 由余 弦定 理 及正 弦  理得 

3  8

中 等 数 学 

。   —   。 卢:— —
敞 O M 
:  

, 。 朋    :b i c.   “ ,‘ L? s    n

点 P( ,  ( =12 3 , 。 ,) i ,,) 圆心 C ( Y )   。   。.   由于 线段 P。  P P P 、    的垂 直 平 分 线 过 

一 +   一 1 Ⅱ +C 一b )   i     +一   (    2  2 + (z 。+ )  C “  
一   一





圆心 C  则 

b 2
:  



+_ + 4 _  
+  +  

m   jC    
_

f-(半 )"  - ) (YY +-(半 - ylo (XX 0 z - 1I0 '   2   【-(  )3 一 ) (Y) +- 半 一 Ylo (; 3 - XI   [   o   .
由于  、 (   i=1 2 3 都 是 有 理 数 , ,,) 因  此 ,一 关 于 ‰ 、。的二 元 一 次方 程 组 的 解  一述 I Y

= 

1 。 +b (2 2

2 o c + s   以cs )   i c   n

=一    。    n 一c   ) : 2 +   + (i c—csc)  一+一 s  ‘ o 。  
:  + 72 1 ,

( ,, 都是有 理数 , C 是有 理点 .  。))   即 。  
设 有理 点  ( … 的坐标 为    Y)
f,  0   3  ( 一, ( 3 I ,    = +Ⅱ ( 一 ) J Y 一Y ) )   】 
【, (   3  { +n ( 3 I , y =Y +b ( 一 )   ) )   Y 一y ) J 

+ + a s (  4  .     b i c- 5 ) n ‘一4 o ’    

同理 , N :( O 2  2 / + +    
所以,   C=15时 , 3。  

s ( 4o. i c一 5) n  

其 = = (4 . 中 客    n —. =5 ) .  
则1 C l      


c 、 ++n(+6    = 等 6 号 )   = 。 ,
( x  o +  

[  3  o 一6( 3 o]   0( 一 )   y 一Y) +
[  3  0 +口 ( 3   ] 6 ( 一 )   Y 一) )  0

故 ( M +O …  O N)
=  +   +  



( j I [ 一 ) +(3 。 ] n +c )(  ,       Y 一Y )    
( 一 J  3  【 +( 3  o =l 3 o   ) Y一 )     PCl  .



故 点 J ( =4 5 … ) 在 o  的 圆 周  P  ,   ,, 都 C, 即④ C  的圆周上 有无 穷 多个 有理点 .   其次 , 构造 一 个 圆 周 上 只 禽 有两 个 有理  点 的实例 .  
G: 一 ) +(   ) (     Y一  :6    .

1 . 然 , ( 1 =n  1   1 , n,) .
∈Z+ 七 , . <2 , ≥2 H   k一1 0    ‘ H,
/(l =0  i ,’  ) .

E Z+, ≥ 2 且 凡≥2     , k一1时 , 设  }  n , ,  是 { , , , 中不 含连 续 整  n , ! … n } 12 … 凡}

容 易验证 , ( , ) P ( , ) 在  P。 一1 1 、   1 一1 都 圆周 C上 . 圆周 C 还 有不 同于 P.P 的  若   、  有理 点 P ( , )则  ,  , ,  ,
( 一 )  ,    +( ,   ) =6  y一 。 ,

数 的  元子 集 , “ <Ⅱ <… <( . 且 l 2 z   
贝 { l n —1 n —2 … ,  一( 一1 } 0Ⅱ,2 , 3 , Ⅱ   )   是 {,, , l2 … 凡一( 一1 }   ) 的  元 子集 .  

I n , 2 … ,   与 { I —1 —2    ln , n } f , z  2 ,  3 ,


即 ; ; 2 2 (, , .   +Y 一 =     +))   
因为左 端 为有理数 , 2 √ 为无 理 数 , 以 , 所  
3 3=0 进 而  = 1 故  3: ±1 Y   +Y . . , 3=



0 一( 一1 }     )一

对应 , 以 , 所  

A n )   一 川 . ( , = (    

1. 2 首先 证 } : 一个 圆 的 圆周 含有 3 J I若 j 个  有理 点 , 该圆 周上 一 定 含有 无 穷 多 个有理  则 点.   设平 面 E④ C  的 圆 周 E含 有 3个 有理 

T 1这 与 P 不 同于 P,P -. , 、  的假 定矛 盾 .  


综 上 所述 , 的最小 值为 3    . ( 熊 斌 顾 鸿 达  刘鸿 坤  李 大 元 

叶 声扬

命题)  

2008 年第 6 期

37

竞赛之窗

2007 年新知杯上海市高中数学竞赛
   说明 : 解答本试卷不得使用计算器 . 一、 填空题 ( 第 1~4 小题 ,每题 7 分 ,第 5 ~8 小题 ,每题 8 分 ,共 60 分) 1. 方程
x1 - 1 + 2 x2 - 4 + 3 x3 - 9

( 法则 f : P ( m , n) →P′ m , n ) ( m ≥ , n ≥ 0 ) . 若一段曲线在对应法则 f 下对应椭圆的 0

一段弧

x y ≥ , y ≥ ) ,则这段曲线 0 0 2 + 2 = 1( x a b

2

2

的方程是

.

1 ( x + x2 + x 3 ) 2 1 的实数解 ( x1 , x2 , x3 ) = = 2. 如 图 1 , 有 一 条 长度为 1 的线段 EF ,其 端点 E 、 在边长为 3 F

6. 已知 f ( n ) = cos .

. 计算 : 4 f ( 1) f ( 3) …f ( 2 n - 1) = .
xn - 1 + xn - 2

π n

7. 已知数列{ x n } 满足
x1 = 0 , x 2 = 1 , x n =

2
2

(n≥). 3 .
2

的正方形 ABCD 的四边 上滑动 . 当 EF 绕 着 正 方形 的 四 边 滑 动 一 周 时 , EF 的中点 M 所形 成的轨迹的长是 . 3. 复数数列{ an }满足

则数列{ x n }的通项公式 x n =
图1

8. 已知 ⊙M : ( x - 1 ) + ( y - 3 ) = 4 , 过 x 轴上的点 P ( a ,0) 存在 ⊙M 的割线 PBA ,使

a1 = 0 , a n = a n - 1 + i ( n ≥ ) . 2
2

则它的前 2 007 项的和为 . 4. 已知 α - l - β 是大小为 45° 的二面 β 角 , C 为二面角内一定点 , 且到半平面 α、 β 的距离分别为 2 、 , A 、 分别是半平面α、 6 B 内 的 动 点 . 则 △ABC 周 长 的 最 小 值 为 . 5. 已知平面直角坐标系中点与点的对应    正项 ( ai i ) 共有 110 + 28 × = 166 个 , 而 2 负项 ( - b ) 共有 110 个 , a1 , a2 , …, am , b1 , b2 , …, bn 均为两两不等的小于 6 的正有理
y i i x

得 PB = PA . 则点 P 的横坐标 a 的取值范围 是 . 二、 解答题 ( 共 60 分) 9. (14 分) 对任意正整数 n ,用 S ( n ) 表示 1 1 1 满足不定方程 + = 的正整数对 ( x , y )
x y n

1 的正整数对有 2 (6 ,3) , ( 4 ,4) , ( 3 ,6) 三个 , 则 S ( 2 ) = 3 ) . 求出 使得 S ( n) = 2 007 的所有正整数 n . 10. ( 14 分) 已知关于 x 的方程 3 2 x sin θ- ( sin θ+ 2) x + 6 x - 4 = 0

的个数 ( 例如 ,满足

1

x

+

1

y

=

数 ( 注意到
2

2 i ≠i - 1 , 因为 i 为偶数 ; 又 2 i +1 i +1
2 2 2

2

2 i 与 i + 1 互质 , i - 1 与 i + 1 互质 , 也是
2 因为 i 为偶数 ; 另外 , i + 1 > 100 , 因为 i ≥ x x x y y y 10) ,从而 , a11 , a22 , …, amm , b11 , b22 , …, bnn 两

两不相等 . 显然 m = 166 , n = 110 满足 “大于 100 且小于 170 , m - n ≥ ”另外 , 也容易验 50 . 2 2 2 证 :以上的表示方式都满足 a i + 1 - b1 , a i + 2 “ 2 2 2 b2 , …, a i + n - b n ( i = 0 ,1 , …, m - n ) 也 两 两 不相等” . 综上所述 , 以上所构造的 2 008 的表示 式完全符合题目要求 ,且表示式有无限多个 . ( 吴伟朝   广州大学数学与信息科学学 院 ,510006)
http://www.cnki.net

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38

中 等 数 学

有 3 个正实根 . 求
9sin θ- 4sin θ+ 3 (1 + cos θ (2cos θ- 6sin θ- 3sin 2 + 2) ) θ 的最小值 . 11. (16 分) 如图 2 , 2 已知 抛 物 线 y = 2 px ( p > 0) , AB 是 过 焦 点 F 的 弦 . 如 果 AB 与 x 轴所成的角为θ( 0 < θ
2

a4 = - i , a5 = - 1 + i , a6 = - i , ……

u=

可见 ,当 n ≥ 时 , 3 - 1 + i , n 为奇数 ; an = - i, n 为偶数 . 故 S 2 007 = 0 + i + ( - 1 + i) + 1 002[ ( - i) + ( - 1 + i) ] = - 1 003 + 2 i .
4. 10 2. 如图 4 , 分别作 β 点 C 关于平面α、 的对 称 点 P 、 . 易 Q 证当 A 、 分别取直 B β 线 PQ 与 平 面 α、 的 交 点 时 , △ABC 周长最短 ,且这个周 长最小值为 | PQ| = = 10 2.
2 5. y = b 1 -

π ≤ ) ,求 ∠AOB . 2 12. ( 16 分 ) 求满足 图2 如下条件的最小正整 数 n : 在 ⊙O 的圆周上任取 n 个点 A 1 , A 2 ,
2 …, A n ,则在 C n 个 ∠A i OA j ( 1 ≤i < j ≤n ) 中 ,

至少有 2 007 个不超过 120° .

图4

参考答案
一 、 ( 2 ,8 ,18) . 1. 方程两边乘以 2 并整理得
x 1 + x2 + x 3 - 2 x1 - 1 - 4 x2 - 4 -

(2 2) 2 + 122 - 2 × 2 × (180° 45° 2 12cos - )
x 2 a

( 0 ≤x ≤a2 ) .

6 (

x3 - 9 = 0. x 1 - 1 - 1) + (
2 2

设曲线方程为 y = f ( x ) ( s ≤x ≤t ) ,则曲
( 线上点 P ( x , f ( x ) ) 对应的点 P′ x ,
2 2

配方得
x 2 - 4 - 2) +
2

f ( x) )

在椭圆的 一 段 弧 上. 故

x y ≥0 , y ≥ ) 0 2 + 2 = 1 ( x a b

  ( ]

x 3 - 9 - 3) = 0 x2 - 4 - 2 = 0 ,

x1 - 1 - 1 = 0 ,

  x3 - 9 - 3 = 0. 解得 x1 = 2 , x2 = 8 , x3 = 18. 2. 8 +π. 如图 3 , 当 E 、 在正 F 方形顶点的两旁时 , 点 M 的轨迹是以该顶点为圆 1 1 心 、 为半径的 圆弧 . 其 2 4 他情况是在正方形边上的 一线段 ,长度为 2.

x f ( x) = 1 ( x ≥ , f ( x) ≥ ) , 0 0 2 + 2 a b
2 即  f ( x ) = b 1 -

x 2 a

( 0 ≤x ≤a2 ) .
n 为偶数 ;

n

6.

1 2
n

2

,

图3

1 故轨迹的长为 2 × + 2 × = 8 +π. 4 π 2 3. - 1 003 + 2 i.

由题设可得 a1 = 0 , a2 = i , a3 = - 1 + i ,

1 2 , n 为奇数 . 2 当 k ∈Z + 时 , f ( 2 k - 1) f ( 2 k + 1) (2 k - 1)π ( 2 k + 1)π = cos ? cos 4 4 π ( - 1) k 1 π = cos k + cos = . 2 2 2 特别地 ,有 f ( 1) f ( 3) = f ( 5) f ( 7) = …
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2008 年第 6 期

39

= f ( 4 k + 1) f ( 4 k + 3) = -

1 . 2
n

= PB ? . PA 故 PB = BA
2

故当 n 为偶数时 ,
f (1) f ( 3) …f ( 2 n - 1) =

n- 1

1 2

;

当 n 为奇数时 ,
f (1) f (3) …f (2 n - 1) = n- 1

1 2 2
n- 1

2

cos

(2 n - 1)π 4

二、 由 9.

=

-

1 2

2

cos
n- 1

n- 1

π+

π 4
n

x > n , y > n.

1 . 2 xn - 1 + xn - 2 由 xn = 得 2 1 1 xn + x = xn - 1 + xn - 2 . 2 n- 1 2 1 又 x2 + x = 1 , 故数列 x n 2 1 为常数列 ,每项均为 1 ,即 1 xn + x =1 , 2 n- 1 2 1 2 xn = xn - 1 . 3 2 3 2 2 因 为 x1 = ,所 3 3 2 2 xn 是首项为 、 公比为 3 3 数列 . n- 1 2 2 1 故 xn = . 3 3 2 n- 1 2 2 1 因此 , x n = . 3 3 2 8. 1 - 3 3 ≤a ≤ + 3 3 . 1 圆心 M ( 1 ,3) ,直径 d = 4. 如图 5 , 过点 P 、 M 作割线 . 由割线定

1 = 2 2 2 7. 3 3

2

( - 1)

2

2 × = 2

1 2

2

.

n- 1

+

1 x 2 n- 1

以, 数 列
1 的等比 2

理得
PM + d

2

?
d

  PM -

2

图 5   

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令 x = n + a , y = n + b ( a 、 ∈Z + ) . 则 b 1 1 1 Ζ 2 + = n = ab . n+ a n+ b n 因此 , S ( n ) 等于正整数对 ( a , b ) 的个 2 数 . 从而 , S ( n) 等于 n 的正约数的个数 . α α α 设 n = p11 p22 …pkk , 其中 , p1 , p2 , …, pk 为不同的质数 ,且 α ∈Z + ( 1 ≤i ≤k ) . 则 i …pk k . 2 n 的正约数个数为 (2α + 1) …(2α + 1) . 1 k (2α + 1) …(2α + 1) = 2 007 = 32 × 令 1 223. k k =2 , k =1 , 则   α =1 , 或 1 α = 1 003 1 α = 334 2
n = p1
1

k =2 , k =3 , α = 4 ,   α =α = 1 , 2 或 1 或 1 α = 111 α = 111. 2 3 1 003 334 故满足条件的 n = p1 或 n = p1 p2 或 4 111 111 n = p1 p2 或 n = p1 p2 p3 . 2 10. 原方程为 ( x - 1) ( x sin θ- 2 x + 4) = 0. 因为原方程有 3 个正实根 ,所以 ,关于 x 2 的二次方程 x sin θ - 2 x + 4 = 0 有 2 个正实 根 ,即 Δ = 4 - 16sin θ≥ , 0 Ζ 1 0 < sin θ≤ . 4 sin θ> 0 2 又 9sin θ- 4sin θ+ 3 2 2 23 ≥ 23 = 9 sin θ+ , 9 9 9 ) θ 0 < (1 - cos θ (2cos θ- 6sin θ- 3sin 2 +2) ) ) ) = 2 ( 1 - cos θ ( 1 + cos θ ( 1 - 3sin θ 2 ) = 2sin θ(1 - 3sin θ 8 3 3 ) = × sin θ× sin θ( 1 - 3sin θ 9 2 2

Ζ PM2 - d = 2 AB 2 ≤ d2 2 4 Ζ | PM | ≤3 d Ζ ( a - 1) 2 + 32 ≤ 2 6 2 Ζ 1 - 3 3 ≤a ≤ + 3 3. 1
1
x

2

+

1

y

=

1

n

( x 、 、 ∈Z + ) 知 y n

2



p2



2



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40

中 等 数 学

≤8 9

1 3

3

=

8 . 9× 27

23 9 621 则 u≥ = . 8 8 9× 27 2 当 sin θ= 时 ,上式等号成立 . 9 621 故 umin = . 8

不超过 120°所以 , n = 90 . 不满足题意 . 其次 , 当 n = 91 时 , 接下 来 证 明: 至 少 有 2 007 个角不超过 120° . 图7 对圆周上的 91 个点 A 1 , A 2 , …, A 91 , 若 ∠A i OA j > 120° 则 联 结 ,
A i A j ,这样就得到一个图 G. 设图 G 中有 e 条

π 11. 当 0 < θ < 时 , AB 的方程可写成 2
y = tan θ x p

边. 当 ∠A i OA j > 120° ∠A j OA k > 120° , , 时 ∠A i OA k < 120°故图 G 中没有三角形 . , 若 e = 0 ,则有 C91 = 4 095 > 2 007 个角不
2

2

,即
p

x = cot θ y + ?

2

.



π 也成立 . 2 将式 ① 代入抛物线方程得 2 2 y - 2 pcot θ y - p = 0. ? p ( cos θ+ 1) p ( cos θ- 1) 则 yA = , yB = . sin θ sin θ 2 ) p (cos θ+ 1) p p (1 + cos θ 故 xA = cot θ ? + = , 2 sin θ 2 2sin θ 2 p ( cos θ- 1) xB = . 2 2sin θ 如图 6 , 过点 A 、 B 分别作 y 轴的垂线 A P 、 BQ . 则 | A P| tan ∠AOP = | OP| xA 1 + cos θ = = , yA 2sin θ 这个结果对 θ=
xB tan ∠BOQ = - yB
图6

超过 120°命题得证 . , ≥ , 不妨设 A 1 、 2 之间有边相连 , 若e 1 A 因为图中没有三角形 ,所以 ,对于点 A i ( 3 ≤i ≤ ) ,它至多与 A 1 、 2 中的一个有边相连 . 91 A 从而 ,
d ( A 1 ) + d ( A 2 ) ≤ + 2 = 91 , 89

其中 , d ( A ) 表示从 A 处引出的边数 . 又 d ( A 1 ) + d ( A 2 ) + … + d ( A 91 ) = 2 e , 而对图 G 中每一条边的两个顶点 A i 、 j , 都 A 有 d ( Ai ) + d ( Aj ) ≤ 91. 于是 ,上式对每一条边求和可得 ( d ( A 1 ) ) 2 + ( d ( A 2 ) ) 2 + …+ ( d ( A 91 ) ) 2 ≤ e. 91 由柯西不等式得 2 2 2 91[ ( d ( A1 ) ) + ( d ( A2 ) ) + …+ ( d ( A91 ) ) ]
2 2   ≥[ d ( A 1 ) + d ( A 2 ) …+ d ( A 91 ) ] = 4 e .



4e ≤ ( d ( A1 ) ) 2 + ( d ( A2 ) ) 2 + …+ ( d ( A91 ) ) 2 91

2

=

1 - cos θ . 2sin θ

4 . 3sin θ 故 ∠AOB =π - ( ∠AOP + ∠BOQ ) 4 =π - arctan . 3sin θ 12. 首先 , 当 n = 90 时 , 如图 7 , 设 AB 是 ⊙O 的直径 , 在点 A 和 B 的附近分别取 45 2 个点 ,此时 , 只有 2C45 = 45 ×44 = 1 980 个角

所以 ,tan ( ∠AOP + ∠BOQ ) =

≤ e, 91 2 91 e≤ < 2 071. 4 因此 ,91 个顶点中 ,至少有 2 C91 - 2 071 = 2 024 > 2 007 个点对 ,它们之间没有边相连 . 从而 , 对应的 顶点所对应的角不超过 120° . 综上所述 , n 的最小值为 91. (熊   、 斌 顾鸿达 、 李大元 、 刘鸿坤 、 叶声 扬  命题)
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2006 年上海市高中数学竞赛试卷
题 号 (2006 年 3 月 26 日 一 1~8 得 分 评 卷 复 核 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.设 x,y,z 是正实数,满足 xy + z = ( x + z )( y + z ) ,则 xyz 的最大值 是 . 9 星期日 上午 8:30~10:30) 二 10 11 12 总分

2.设从正整数 k 开始的 201 个连续正整数中,前 101 个正整数的平方和等
于后 100 个正整数的平方和,则 k 的值为 .

3. n (n ≥ 2) 是给定的整数, 1 , x2 ,L , xn 是实数, sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + 设 x 则
L + sin xn cos x1 的最大值是 .

4.在△ABC 中,已知 ∠A = 30°, ∠B = 105° ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,
与边 AB 或者 BC 相交于点 E, 使得 ∠CDE = 60° , DE 将△ABC 的面积两等分, 且

? CD ? 则? ? = ? AC ?

2



5.对于任意实数 a,b,不等式 max { a + b , a ? b , 2006 ? b } ≥ C 恒成立,则
常数 C 的最大值是 . (注:max { x, y, z } 表示 x, , 中的最大者. y z )

设 6. f ( x) = x 2 + ax + b cos x , x f ( x) = 0, x ∈ R} = { x f ( f ( x)) = 0, x ∈ R} ≠ ? , { 则满足条件的所有实数 a,b 的值分别为 .

7.在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米, n 平方米,p 平方米,则它的体积为 8.已知函数 f : R + →R 满足:对任意 x, y ∈ R + ,都有
?1 1 ? f ( x) f ( y ) = f ( xy ) + 2006 ? + + 2005 ? , ?x y ?
立方米.

则所有满足条件的函数 f 为 二、解答题
y



9.(本题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,其焦点为 F,一条过焦
点 F,倾斜角为 θ ( 0 < θ < π ) 的直线交抛 物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原 点),交准线于点 B′ ,连接 BO,交准线 于点 A′ ,求四边形 ABB′A′ 的面积.
O F x

10.(本题满分 14 分) 数列 {an } 定义如下: a1 = 1 ,且当 n ≥ 2 时,

? a n + 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? an = ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an =

30 ,求正整数 n. 19

11.(本题满分 16 分) 对一个边长互不相等的凸 n (n ≥ 3) 边形的边染色,每条
边可以染红、 黄、 蓝三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边有相同的颜色. 问: 共有多少种不同的染色方法?

… … … … …

密 封 线 … … … … …

12.(本题满分 16 分) 设 a, b ∈ [0, 1] ,求 S=
的最大值和最小值.

a b + + (1 ? a )(1 ? b) 1+ b 1+ a

2006 年上海市高中数学竞赛答案
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分)

1、 3、

1 27 n 2

2、20100 4、
3 6

5、1003 7、 s 2
4

6、 0 ≤ a < 4 ,b=0 (m + n + p)(m + n ? p)( p + m ? n)(n + p ? m) 8、 f ( x) = 1 + 2006 x

二、解答题

9.(本题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,其焦点为 F,一条过
焦点 F,倾斜角为 θ ( 0 < θ < π ) 的直线交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐 标原点),交准线于点 B′ ,连接 BO,交准线于点 A′ ,求四边形 ABB′A′ 的面积. 解 当θ =

π
2

时, S ABB′A′ = 2 p 2 .

…………………(4 分)

当 θ≠

π
2

时 , 令 k = tan θ . 设
y A/ A

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 p y = k(x ? ) , 2 y 2 = 2 px ,
① ②
O F B x B/

2p 消去 x 得, y 2 ? y ? p 2 = 0 ,所以 k 2p , y1 y2 = ? p 2 . ③ y1 + y2 = k
又直线 AO 的方程为: y =

y1 2p x ,即为 y = x ,所以,AO 与准线的交点的 x1 y1

坐标为 B′(?

p p2 p2 , ? ) ,而由③知, y2 = ? ,所以 B 和 B′ 的纵坐标相等,从而 y1 y1 2

BB′ x 轴.同理 AA′ x 轴,故四边形 ABB′A′ 是直角梯形.………………(9 分)
所以,它的面积为

1 1 S ABB′A′ = ( AA′ + BB′ ) ? A′B′ = AB ? A′B′ 2 2 1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 = 2
= 1 1 1 1 ( y2 ? y1 ) 2 1 + 2 = 1 + 2 ?( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? ? 2 k 2 k ?
3 2

3 1 ?2 ? = 2 p ? 1 + 2 ? = 2 p 2 (1 + cot 2 θ ) 2 . ……………… 14 分) ( ? k ?

10.(本题满分 14 分) 数列 {an } 定义如下: a1 = 1 ,且当 n ≥ 2 时,

? a n + 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? an = ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an = 解

30 ,求正整数 n. 19

由题设易知, n > 0, n =1, 2, L . a 又由 a1 = 1 , 可得, n 为偶数时, n > 1 ; 当 a

当 n (> 1) 是奇数时, an =

1 <1. an ?1

………………(4 分)

由 an =

30 30 11 n > 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n = ? 1 = < 1 ,所以, 是奇数. 19 19 19 2 2

于是依次可得:

an =
2

?1

19 n > 1 , ? 1 是偶数, 11 2

a n?2 =
4

19 8 n?2 ?1 = < 1 , 是奇数, 11 11 4 11 n?6 >1, 是偶数, 8 4

a n?2 =
4

?1

a n ?6 =
8

11 3 n?6 ?1 = < 1, 是奇数, 8 8 8 8 n ? 14 > 1, 是偶数, 3 8

a n ?6 =
8

?1

8 5 n ? 14 a n ?14 = ? 1 = > 1 , 是偶数, 3 3 16 16 5 2 n ? 14 a n ?14 = ? 1 = < 1 , 是奇数, ……………(9 分) 3 3 32 32 a n ?14 =
32

?1

3 n ? 46 >1, 是偶数, 2 32

a n ? 46 =
64

3 1 n ? 46 ?1 = < 1 , 是奇数, 2 2 64 n ? 110 是偶数, 64

a n ? 46 = 2 > 1 ,
64

?1

a n ?110 = 2 ? 1 = 1 ,
128

所以,

n ? 110 = 1 ,解得,n=238. 128

……………… (14 分)

11.(本题满分 16 分) 对一个边长互不相等的凸 n (n ≥ 3) 边形的边染色,
每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜 色.问:共有多少种不同的染色方法? 解 设不同的染色法有 pn 种.易知 p3 = 6 . ………………(4 分)

当 n ≥ 4 时,首先,对于边 a1 ,有 3 种不同的染法, 由于边 a2 的颜色与边 a1 的颜色不同,所以,对边 a2 有 2 种不同的染法,类似地,对边 a3 ,…,边 an ?1 均有 2 种 染法.对于边 an ,用与边 an ?1 不同的 2 种颜色染色,但

an a1

an-1

a2 a3

是,这样也包括了它与边 a1 颜色相同的情况,而边 a1 与边 an 颜色相同的不同染 色方法数就是凸 n-1 边形的不同染色方法数的种数 pn ?1 ,于是可得

pn = 3 × 2n ?1 ? pn ?1 , pn ? 2n = ? ( pn ?1 ? 2n ?1 ) .
于是

………………(10 分)

pn ? 2n = (?1) n ?3 ( p3 ? 23 ) = (?1) n ? 2 ? 2 ,

pn = 2n + (?1)n ? 2 , n ≥ 3 .
综上所述,不同的染色方法数为 pn = 2n + (?1) n ? 2 . ………………(16 分)

12.(本题满分 16 分) 设 a, b ∈ [0, 1] ,求 S=
的最大值和最小值. 解 因为

a b + + (1 ? a )(1 ? b) 1+ b 1+ a

S=
=

a b + + (1 ? a )(1 ? b) 1+ b 1+ a
1 + a + b + a 2b 2 ab(1 ? ab) = 1? (1 + a )(1 + b) (1 + a )(1 + b)

≤1

, ………………(6 分)

当 ab = 0 或 ab = 1 时等号成立,所以 S 的最大值为 1. 令T =

ab(1 ? ab) , x = ab ,则 (1 + a )(1 + b) T= ab(1 ? ab) ab(1 ? ab) ≤ 1 + a + b + ab 1 + 2 ab + ab
………………(10 分)

x 2 (1 ? x 2 ) x 2 (1 ? x) = = . 1+ x (1 + x) 2
下证

x 2 (1 ? x) 5 5 ? 11 . ≤ 1+ x 2
① ? (x ?



5 ?1 2 ) ( x + 5 ? 2) ≥ 0 , 2 5 5 ? 11 , 2 13 ? 5 5 , 2

所以

T≤

从而

S≥

当a = b =

5 ?1 13 ? 5 5 时等号成立,所以 S 的最小值为 .……………(16 分) 2 2

2005 年上海市高中数学竞赛(CASIO 杯)试题
(3 月 27 日 上午 8:30 到 10:30) 一、填空(前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分,共 60 分) ( + i100! = _____. i 表示虚数单位)
x i 1

1.计算: i 0! + i1! + i 2! +

2.设 θ 是某三角形的最大内角,且满足 sin 8θ = sin 2θ ,则 θ 可能值构
成的集合是_______________. (用列举法表示)

A E B F C 第 4 题图

3.一个九宫格如图,每个小方格内都填一个复数,它的每行、每列及
对角线上三个格内的复数和都相等,则 x 表示的复数是_____.

D

4.如图,正四面体 ABCD 的棱长为 6cm,在棱 AB、CD 上各有一点 E、 F,若 AE = 1cm,CF = 2 cm,则线段 EF 的长为_____cm.

5.若关于 x 的方程 4x + (a+3)2 x + 5 = 0 至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数 a 的取值范围为_____.
,则 abcd + e 为奇数的概率为_____. 6.a、b、c、d、e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的 5 个元素(允许重复) 7.对任意实数 x 、 y ,函数 f ( x) 满足 f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ) ? xy ? 1 ,若 f (1) = 1 ,则对负整数 n , f (n) 的 表达式_____.

8.实数 x、y、z 满足 x + y + z = 0 且 x2 + y2 + z2 =1,记 m 为 x2、y2、z2 中最大者,则 m 的最小值为_____.
二、 14 分) 9、10 题各 14 分,11,12 题 16 分) ( (

9.设 f ( x) = ax 2 + bx ,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正数 b 使 f ( x) 的定义域和值域相同. 10.已知双曲线
x2 y 2 ? = 1 ( a 、 b ∈ R + )的半焦距为 c ,且 b 2 = ac . P 、 Q 是双曲线上任意两点, M a2 b2

为 PQ 的中点,橙子奥数工作室录入暗记,当 PQ 与 OM 的斜率 kPQ 、 kOM 都存在时,求 k PQ ? kOM 的值.

11.设 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.求集合 {n | n = [ 12.数列 { f n } 的通项公式为 f n = 1

k2 ],1 ≤ k ≤ 2004, k ∈ N} 的元素个数. 2005 + Cn f n ,求所 n

1+ 5 n 1? 5 n [( ) ?( ) ] , n ∈ Z + .记 S n = C1 f1 + C2 f 2 + n n 2 2 5 有的正整数 n ,使得 S n 能被 8 整除.

简略答案:1.95 + 2i

π 2π π 7π 9π 2.{ , , , , } 3 3 2 10 10
8.
1 2

1 1 3. + i 2 2

4. 23
1+ 5 2

5.[?8.25, ?3 ? 2 5] 11.1503 12.当且

6.

1749 3125

7.

n 2 + 3n ? 2 2

9.0 或 ? 4

10.

仅当 n | 3

2004 年上海市高中数学竞赛(CASIO 杯)
2004 年 3 月 28 日 星期日 上午 8:30——10:30
一、填空题(每小题 7 分)

1.若 a、b、c 都是正整数,且 a = (b+ci)3 ? 47i,则 a 的值是_____。 2.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边依次为 a、b、c。若 a2 + b2 = tc2,且 cot C = 2004(cot A + cot B ) ,
则常数 t = _____。

3.三边长是连续的 3 个整数,且它的周长小于或等于 100 的锐角三角形有_____个。 4.设 M k = P P2 P3 … Pk ,其中 P , P2 , P3 , , Pk 依次是从小到大排列的质数 2,3,5,…中的前 k 个质数。若 1 1
s, t 是两个正整数, t > s ,使 M t ? M s = 510300 ,则 s + t 的值是_____。

5. n 为已知正整数, 0 ≤ r ≤ n , r ∈ Z ,则当 r !(n ? r )! 取最小值时, r = _____。 6.当 x 、 y 都是实数时,集合 A = {( x, y ) | ax + y = 1} , B = {( x, y ) | x + ay = 1} , c = {( x, y ) | x2 + y2 =1},若
( A ∪ B ) ∩ C 是两个元素构成的集合,则实数 a = _____。

7.已知集合 M = { (a, b) | ( y 2 + 4)a 2 ? 2( xy + by + 8)a + x 2 + 2bx + 2b 2 + 12 是关于 x 、 y 的一次式的平方},
当( a, b )取遍集合中的所有元素时,点( a, b )到原点的最大距离是_____。

8.三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球形的碗中,小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一平面内,橙
子奥数工作室录入暗记,则这个碗的半径是_____。

9.F 是抛物线焦点,O 为抛物线的顶点,AB 为与该抛物线的对称轴成 45°角的焦点弦,则∠AOB 的大
小为(用反三角函数表示)_____。 10.已知集合 A = {3k + 2 | 0 ≤ k ≤ 667, k ∈ Z } 。若在 A 中任取个 n 数,都能从中找到两个不同的数 a、b 使

a + b = 2104,则 n 的最小值为_____。
二、解答题(第 11、12 题 16 分,第 13 题 18 分)

11.已知 f ( x) = x3 + mx 2 + nx + 5 ,m、n 都是整数。求:
(1)使 f ( x) = 0 有三个整数根(包括重根)的所有数组( m , n ) (2)使 f ( x) = 0 至少有一个整数根,且 m, n ∈ [0, 5] 的所有的数组( m , n )

12.数列 {an } 满足 (n ? 1)an +1 = (n + 1)an ? 2(n ? 1) , n ∈ N + 且 a100 = 10098 ,求数列 {an } 的通项公式。 13.在各位数码各不相同的 10 位数中,是 11111 的倍数的有多少个?证明你的结论。
n n ?1 n +1 ,当 n 为奇数时,为 或 2 2 2

简略答案:1.52

2.4009

3.29

4.11

5.当 n 为偶数时为

6.0 或 1

2 21 21 4 2 3 41 8.10(1 + 9.π ? arccos (或 π ? arctan ) ) 3 3 3 41 (7,11)(3, ? 9)( ? 5, ? 1) ⑵(5,1) 12. (n ? 1)(n + 2) 、 、 13.3456 个

7.

10.352

11.⑴

2003 年上海市高中数学竞赛(CASIO 杯)试题
(2003 年 3 月 30 日 星期日 上午 8:30-10:30)
一、填空题:(本题 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1、已知二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的判别式的值为 1,两实根之积为 4,则动点( b , c )的轨迹方程
为__________.

2 、在平面 α 上有一个△ ABC , ∠ABC = 60° , AC = 3 .在平面 α 的两侧分别有点 S 、 T ,满足 SA = SB = SC = 2 , TA = TB = TC = 3 ,则 ST 的长为_____. 3、不等式 1 + 2 x < 3x 的解是__________. 4、函数 f ( x) = | x 2 ? a | 在区间[ ? 1,1]上的最大值 M (a ) = _____. 5、△ ABC 是边长为 5 的正三角形, P 为其内一点,使 PA = 4 , PB = 3 ,则 PC = _____. 6、数列{ an }的前 n 项和 Sn = cnan ( n 是正整数, c 为实常数)且 a1 ≠ a2 ,则 7、[ x ]表示不超过实数 x 的最大整数.设实数 x 不是整数且 x +
a100 = _____. a99

99 99 ,则 x = _____. = [ x] + x [ x]

8、若关于 x 的方程 x 2 ? 6 x + a = 0 与 x 2 + 26 x + b = 0 的四个实根适当排列后可构成一个首项为 1 的等比数
列,则

a 的值为____. b

9、已知对一切实数 x 恒有 f ( x + 4) + f ( x ? 4) = f ( x) 的函数 f ( x) 都是周期函数,则它们的公共正周期的最
小值为_____.

10、若对一切正实数 x 、 y ,恒有

xy ( x + y )(3 x + y )
2 2 2 2



1 ,则 k 的最大值为_____. k

二、(16 分) 已知 a 、 b 为实数, i 为虚数单位,且关于 z 的二次方程
4 z 2 + (2a + i ) z ? 8b(9a + 4) ? 2(a + 2b)i = 0 至少有一个实根,求这个实根的最大值.

三、(16 分) 已知实数 a 、 b 、 c 满足 a + b + c = 2 , abc = 4 . (1) 求 a 、 b 、 c 中最大者的最小值;(2) 求 | a | + | b | + | c | 的最小值. 四、(18 分)已知 a 、 b 、 c 为实数,且三次方程 x3 ? ax 2 + bx ? c = 0 有三个实根,试用 a 、 b 、 c 给出使三 个实根为某三角形三边长的一个充要条件,并证明你的结论. 命题人:李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬
1 1 时为 1 ? a ,当 a > 时 2 2

简略答案:一、1. x 2 ? y 2 = 1 ( y ≠ 0) 为a

2. 3 + 2 2 8.1

3. x > 1 9.24

4.当 a ≤

5. 25 ? 12 3
(2)6

6.

99 98

7. ?9.9

10. 1 + 3

二、

3 5 +1 5

三、 1) (

4

四、a、b、c 都是正数,且 ?a 3 + 4ab ? 8c > 0

2002 年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题: (每小题 7 分,共 70 分)

1.一个正三角形 ABC 内接于椭圆
正三角形的边长为_____.

x2 y 2 + = 1 ,顶点 A 的坐标为(0,2) ,过顶点 A 的高在 y 轴上,则此 9 4

2.已知 x、y 为正数,且

x sin θ cosθ cos 2 θ sin 2 θ 10 , ,则 的值为_____. = + = 2 2 2 2 x y y x y 3( x + y ) n2 ? 5n + 23 克,这些球 3

3.袋里装有 35 个球,每个球上都记有从 1 到 35 的一个号码,设号码为 n 的球重

以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率 为_____. (用分数作答)

4. 正四棱台的上底、 下底及侧面 (四个等腰梯形) 的面积之比为 2:5:8, 则侧面与底面所成角的大小为_____. 2 5.若对 | x | ≤ 1 的一切 x,t + 1> (t ? 4)x 恒成立,则 t 的取值范围是__________. 6.实数 a,b,c,d 满足 a2+b2+c2+d2=5,则(a ? b)2+(a ? c)2+(a ? d)2+(b ? c)2+(b ? d)2+(c ? d)2 的最大值是_____. 7.定义在 N+上的函数 f 满足 f (1) = 2002 和 f (1) + f (2) +…+ f (n) = n2f (n) (n > 1),则 f (2002) = _____. 8.已知函数 f ( x) = 1 (1 ? x + 1 ? 2 x + 2 x 2 ) , x ∈ [ 2,4 ],则该函数的值域是_____. 2x

9.△ABC 中,∠B =∠C,点 P、Q 分别在边 AC、AB 上,若 AP = PQ = QB = BC,则∠A 的大小是_____. 10.棱长为 1 的正四面体,在平面上投影面积的最大值是_____. {b T 且对一切正整数 n , (31n+3)Sn 二、 16 分) ( 已知数列{an}、 n}都是等差数列, 它们的前 n 项和分别是 Sn、 n,
( ( = (3n+31) Tn. 1)求 b28/a28 的值; 2)求使 bn/an 为整数的所有正整数 n . 三、 16 分) F 是所有有序 n 元组(A1,A2 ,…,An)构成的集合, ( 设 其中 Ai ( 1 ≤ i ≤ n )都是集合{ 1,2 ,3,…, 2002 } 的子集,设 | A | 表示集合 A 的元素的数目,对 F 中的所有元素(A1,A2 ,…,An),求 | A1∪A2∪…∪An | 的 总和,橙子奥数工作室防盗暗记,即
( A1 , A2 , , An )∈F



| A1 ∪ A2 ∪

∪ An | .

四、 18 分)纸上写有 1,2,…, n 这 n 个正整数,第 1 步划去前面 4 个数:1,2,3,4,在 n 的后面写上划去的 (

4 个数的和 10;第 2 步再划去前面 4 个数:5,6,7,8,在最后写上划去的 4 个数的和 26;如此下去(即每
. 步划去前面 4 个数,在最后面写上划去的 4 个数的和) (1)若最后只剩下一个数,则 n 应满足的充要条件是什么? (2)取 n =2002,求只剩下一个数为止所有写出的数(包括原来的 1,2,…,2002)的总和. 命题人:李大元、刘鸿坤、熊 斌、叶声扬

72 3 简略答案: 1. 一、 31 1 5 ?1 8. [ , ] 4 4

2. 3 或 10.
1 2

3 3

1 3. 85

arccos 4.

3 8

[ 5.

13 ? 1 21 + 1 , ] 2 2

6. 20

2 7. 2003

9. 20°

二、 1) (

61 (2)n = 1,18,35,154 7

三、 2002(22002 n ? 22001n )

四、 1)n 除以3余1 (2)12 800 878 (

2001 年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)

1.等差数列{xn}满足 x1 + x2 + x3 + … + x100 = ? 1, x2 + x4 + … + x2k + x100 = 1,其通项公式是 xn = _____. 1 2.向量 a = {1, 2}, b = {? 2,1} ,正数 k 和 t 使 x = a + (t 2 + 1)b 与 y = ?k a + b 垂直,则 k 的最小值是_____. t 3.设 P 是抛物线 y2 = 2x 上的点,Q 是圆(x ? 5)2 + y2 =1 上的点,则 |PQ| 的最小值是_____. 4. α 是锐角, β 是钝角,且 sec(α ? 2 β ) , sec α , sec(α + 2β ) 成等差数列,则
cos α = _____. cos β

5.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A (0,2)与点 B (4,0)重合,若此时点 C (7,3)与点 D (m,n)重合,则 m + n 的值是_____. 6.已知正四棱锥的底面与侧面的夹角为 45°,则相邻两个侧面的所成角的大小是_____.
当且仅当 k 满足 a ≤ k ≤ b 时, 两曲线 x2 + y2 = 4 + 12x + 6y 与 x2 + y2 = k + 4x + 12y 有公共点, b ? a 的 则 7. 值是_____.

8.已知点集 A = {(x , y) | x = Im(z) , y = Im(z2) , z ∈ C , | z | = 1},B = {( x, y) | x2 + y2 ≤ r2 , r > 0},且 A ? B ,
则 r 的最小值是_____.

9. “渐升数”是指每个数字比其左边数字大的正整数,如 34689.已知有 C5 = 126 个五位“渐升数” .若 9
把这些数按照从小到大的顺序排列,第 100 个数是_____.

10.橙子奥数工作室防盗暗记.若关于 x 的不等式

x 2 + (2a 2 + 2) x ? a 2 + 4a ? 7 < 0 的解集是一些区间的 x 2 + (a 2 + a ? 5) x ? a 2 + 4a ? 7

并集,且这些区间的长度之和不小于 4,则实数 a 的取值范围是__________. 二、 16 分)设 A、B、Ai( 1 ≤ i ≤ k )为集合. ( (1)满足 A ∪ B = { a , b }的集合有序对( A , B )有多少对? (2)满足 A ∪ B = { a1 , a2 ,…, an }的集合有序对( A , B )有多少对? (3)满足 A1 ∪ A2 ∪
∪ Ak = { a1 , a2 ,…, an }的集合有序组( A1 , A2 ,…, Ak )有多少组?为什么?
(1 ≤ n ≤ 24) (25 ≤ n ≤ 48) (49 ≤ n)

?12n ? 三、 16 分)某出版公司为一本畅销书定价如下: C (n) = ?11n ( ?10n ?

这里 n 表示订书的数量, C (n) 是订购本书所付的钱款数(单位:元) . (1)有多少 n 个,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花的钱少? (2)若一本书成本价是 5 元,现在两人来买书,每人至少买一本,两人共买 60 本,则出版公司至少能 赚多少钱?至多能赚多少钱? 四、 18 分)实数 x1 , x2 ,…, x2001 满足 ∑ | xk ? xk +1 | = 2001 .令 yk = (
k =1
2000

1 ( x1 + x2 + k

+ xk ) ,k = 1,2,…,2001.

求 ∑ | yk ? yk +1 | 的最大值.
k =1

2000

(命题人:李大元

刘鸿坤 熊 斌 叶声扬 余应龙)

简略答案: 1.3n / 50 ? 152 / 50 一、 9.24789 10. (?∞,1] ∪ [3, +∞ )

2. 2 3. 2 4.? 2 5.34 / 5 二、 1)9 (2)3n (3)(2k ? 1)n (
四、2000

6. ° 7. 120 140 8.5 / 4 三、 1)有六个 n:23、24、 (

45、46、47、48

(2)最少赚 302 元,最多赚 384 元

2000 年上海市高中数学竞赛试题
(2000 年 3 月 19 日 星期日 上午 8:30--10:30) (说明)解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1.若函数 f ( x) = cot

sin kx x ,则 k 的值是_____. ? cot x 又能写成 f ( x) = x 4 sin sin x 4

2. sin10° + 2sin10° sin 20° sin 40° 的值是_____. 3.设{an}是一个等差数列,a1 = 19,a21=3,记 An = an + an+1 + … + an+6,则 |An| 的最小值为_____. 4.由方程 | x ? 6 | + | y | = |

π
2

| 所对应的曲线围成的图形的面积是_____.

5.两个圆 C1 : x 2 + y 2 = 1 和 C2 : ( x ? 2) 2 + y 2 = 16 ,则与 C1 外切且与 C2 内切的圆的圆心轨迹方程是_____. 6.若[x]表示不超过实数 x 的最大整数,则方程[cot x] = 2cos2x 的解集是__________. 7.数列 {an } 中, a1 = ?1, a2 = 1, a3 = ?2 ,若对一切正整数 n 都有 an an +1an + 2 an + 3 = an + an +1 + an + 2 + an + 3 ,且
an +1an + 2 an + 3 ≠ 1 ,橙子奥数工作室防盗暗记,则该数列的前 4321 项的和 S4321 的值是________.

8.已知 a ∈ Z ,且 x6 ? 33x + 20 能被 x2 ? x + a 整除,则 a 的值是________. 9.在四面体 ABCD 中,AD = DB = AC = CB = 1,则它的体积的最大值是________. 10.在 1,3,5,7,…,99 这 50 个连续奇数中任取 k 个数,使得在这 k 个数中必存在三个数,以这三
个数为边长可以组成三角形,则 k 的最小值是________. 二、 16 分)橙子奥数工作室防盗暗记.1,2,3,4,5 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 具有如下性质:对于 1 ≤ i ≤ 4 , (
a1 , a2 , , ai 不构成 1, 2, ,i 的某个排列,求这种排列的个数. x x +1 和 都是整数? y y +1

三、 16 分)有多少个正整数有序数对 ( x, y ) ,具有如下性质: y < x ≤ 100 ,且 (

四、 18 分)设 P1,P2,…,Pn 是 n 个不同质数,用这些质数作为项(允许重复) ( ,任意组成一个数列, 使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方.证明:这种数列的项数有最大值(记为 L(n)) ,并求 L(n) 的表达式.

简略答案 一、1.
3 4

2.

1 4

3.

7 5

4.24

5. 10.9

( x ? 1) 2 y2 + =1 25 / 4 21/ 4

6.{x | x = kπ +
四、2n ? 1

π
2

或 x = lπ +

π
4

,k、l ∈ Z}

7. ? 4321

8.4

9. 2 3 / 27

二、21

三、85

1999 年上海市高中数学竞赛试题
(1999 年 5 月 15 日 星期六 上午 8:30 -- 10:30) 一、填空题(本题 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1. α 是第三象限角,且 6sin 2 α + sin α cos α ? 2 cos 2 α = 0 ,则 sin 2α + cos 2α = _____. 2.正四面体 ABCD 的棱长为 1,点 G 是底面△ABC 的重心,点 M 在线段 DG 上,且使得∠AMB = 90°,
则 DM 的长为_____.

3.ABCD 是边长为 1 的正方形,点 M、N 分别在边 BC、CD 上,BF⊥AM,BH⊥AN,DE⊥AN,DG⊥ AM,其中 F、H、E、G 为垂足,且∠GAH = θ ,则四边形 EFGH 的面积是_____. 4.若 a > 0,a2 ? 2ab + c2 = 0,bc > a2,则实数 a、b、c 的大小关系是_____. 5.原有 m 个同学准备展开通信活动,每人都必须给另外 m ? 1 个同学写 1 封信,后来又有 n 个同学对活
动感兴趣,若已知 n > 1,且由于增加了 n 个同学而多写了 74 封信,则原有同学人数 m = _____.

6.已知 a、b 为实数,方程 x2 = ax + b 的一个根为 6,另一根的绝对值小于 2,则抛物线 y = ? x2 + ax + b
的顶点的轨迹是_____.

7.点 P 在双曲线 x2 ? y2 = 6 的右支上,A1、A2 分别为左、右顶点,且∠PA2x = 3∠PA1 x+ 10°,则∠PA1 x
的大小是_____度.

8.△AEF 是矩形 ABCD 的内接直角三角形,E、F 分别在边 BC、CD 上,∠AEF = 90°,AE = 4,EF = 3,
则矩形 ABCD 的面积最小值是_____.
1 1 1 2 + + 满足 x1 = , xk +1 = xk + xk (k ∈ N ) ,则和 x1 + 1 x2 + 1 2 1 x1999 + 1

9.数列 x1 , x2 ,

+

的整数部分是_____.

10.橙子奥数工作室防盗暗记.

cos1° + cos 2° + sin1° + sin 2° +

+ cos 44° 的值是_____. + sin 44°

二、 (本题 16 分)△ABC 的边长 a, b, c (a ≤ b ≤ c) 同时满足下列三个条件: 1)a, b, c 均为整数; 2)a, b, c ( ( 组成等比数列; 3)a 与 c 中至少有一个等于 100.求出三元数组 (a, b, c ) 的所有可能的解. ( 三、 (本题 16 分)四个不同的实数 a, b, c, d 满足

a b c d a b c d + + + = 4 且 ac = bd ,求 + + + 的最大值. c d a b b c d a

四、 (本题 18 分)对于平面上任意 n 个点构成的点集 P,如果其中任意两点之间的距离均已确定,那么
1 就称这个点集是“稳定的”.求证:在 n (n ≥ 4) 个点的平面点集 P 中,无三点共线,且其中的 n(n ? 3) + 4 2

个两点之间的距离已被确定,那么点集 P 就是“稳定的”.

简略答案:一、1.

7 5

2.

6 6

1 3. sin 2 θ 2

4.b > c > a

5.18

6. y = x 2 ? 12 x + 36 (2 < x < 4)

7.20

8.12

9.1

10.1

二、共有 10 组可能的解: 49,70,100)(64,80,100)(81,90, ( , , 三、 ? 12 四、略

, , , , , , 100)(100,100,100)(100,110,121)(100,120,144)(100,130,169)(100,140,196) , (100,150,225)(100,160,256)

1998 年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)

1. f (n) 是定义在正整数集 N+上的函数,且满足 f (1) = 2 , f (n + 1) =

2 f ( n) + 1 ,则 f (1998) = _____. 2

2.函数 y = ax2 + bx + c 的图象是开口向下的抛物线,a、b、c 各不相等,且都在集合{绝对值不大于 5 的
整数}中取值,则这些抛物线中通过点(0,1)的有_____条. ,则圆心的轨迹是_____. 3.已知圆方程 x 2 + y 2 ? 2 m + 1x ? m y + m + 1 = 0 (m 为正参数)

4.设 θ ∈R, 0 < ? < 2π .若关于 x 的二次不等式 x2 cos θ + 2sin ? (sin θ + cos θ ) x + sin θ > 0 的解集为区间
,则 ? 的值是_____. (1,10)
0 2 C11 C1 C11 C11 + 11 + + + 11 = _____. 1 2 3 12 6.已知 f ( x) = sin x + cos( x + t ) 为偶函数,且 t 满足不等式 t2 ? 3t ? 40 < 0,则 t 的值为_____.

5.橙子奥数工作室防盗暗记.计算

7.设非零向量 a, b 不共线,且使 2 x ? a + y ? b = 40 × 5 y ? a + (2 ? x )b ,则有序实数组(x,y)为_____. 8.若关于 x 的不等式 9 ? x 2 ≥ ? a 2 x 的解集的区间长度是
15 ,则 a 的值是_____. 4

9.△ABC 的边长为 5,12,13.一个以 1 为半径的圆在三角形内部沿边线无滑动地滚动一周,则圆心移
动的长度是_____.

10.在圆内接四边形 ABCD 中,∠A = 60°,|AB|、|BC|、|CD|、|DA|依次成等差数列,且公差 d = 3 + 3 , 则 |AB| = _____.
二、 16 分)设 n∈N+,且使得 37.5n+26.5n 为正整数.求 n 的值. ( 三、 16 分)一个正方形的三个顶点 A、B、C 在抛物线 y = x2 上,求它的面积的最小值. ( 四、 18 分)设 f ( x) = an x n + an ?1 x n ?1 + (

+ a0 , g ( x) = cn +1 x n +1 + cn x n +

+ c0 是两个实系数非零多项式,且

a 存在实数 r, g ( x) = ( x ? r ) f ( x) . a = max | ai | (0 ≤ i ≤ n) ,c = max | ck | (0 ≤ k ≤ n + 1) . 使 记 求证: ≤ n + 1 . c

简略答案: 一、1.1000.5

2.36

3.双曲线 x2 ? 4y2 = 1 在第一象限内的部分 7. 3, ? 1) ( 四、略 8. ± 4 15 9.15 10.2

4. 7π / 6 或 11π / 6 5.1365/4

6. ?3π / 2 或 π / 2 或 5π / 2 二、1,3,5,7 三、2

1997 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、填空题

1.已知两直线 x ? y = 2 与 cx + y = 3 的交点在第一象限,则实数 c 的取值范围是_____. 2.△ABC 中,已知(CA + AB):(AB + BC):(BC + CA) = 4:5:6,则 sin A : sin B : sin C = _____. 3. sin 2 1° + sin 2 2° + sin 2 3° +
+ sin 2 179° 的值是_____.

4.设 α 为三角形的一个内角,且 (lg 2 + lg 3)sin 4α > 1 ,则实数 α 的取值范围为_____. 5.已知椭圆 x 2 ? 2ax + 3 y 2 + a 2 ? 6 = 0 有一个焦点在直线 x ? y + 4 = 0 上,则实数 α 的值是____.
,在几何体 ABC ? A’B’C’中,已知棱 AA’、BB’、CC’都垂直 6.如图(A’、B’、C’在面 ABC 同侧,图略) 底面 ABC,且 AB = BC = CA = AA’ =2,BB’ = 4,CC’ = 3,则该几何体的体积为_____.

7.已知定义在闭区间[0,3]上的函数 f (x) = kx2 ? 2kx 的最大值为 3,则实数 k 的值是_____. 8.展开式 (1 + x + 1/x)7 的常数项是_____.
1 + cos 2 x π π ( x ∈ (? , ) ) 且 f ( x ) 为奇函数,g ( x) 为偶函数, [ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 _____. , 则 1 ? sin x 2 2 ,则所有可能的乘积 aiaj( 1 ≤ i ≤ j ≤ n )的和为_____. 10.已知数列 ak = 2k( 1 ≤ k ≤ n )

9. f ( x ) + g ( x ) =

11.△ABC 中,已知 BC = 4,AC = 3, cos( A ? B ) = 3 / 4 ,则△ABC 的面积为_____. 12.在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于 0 的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率
为_____.

13.平面内有 10 个点,其中有 5 个点在一条直线上.此外没有 3 个点在一条直线上,则过这 10 个点里
的任 2 点可作条_____不同射线. 14.在集合 {n | 1 ≤ n ≤ 100, n ∈ N } 中取出两个不同的数,使它们的和大于 100,则不同的取法有_____种.
3 3 15.橙子奥数工作室防盗暗记.设复数 z1 、 z2 满足 z1 z2 = 1 , z1 + z2 = 0 ,且 z1 + z2 ≠ 0 . z1 、 z2 在复平面

内的对应点为 Z1、Z2,O 为原点,则△Z1OZ2 的面积是_____.

16.若 x、y 为实数,且 x2 + 2xy ? y2 = 7,则 x2 + y2 的最小值为_____. 17.四个正数的和为 4,平方和为 8,则这四个数中最大的那个的最大值为_____. 18.设 x > 1 , y > 1 ,则方程 x + y +
3 3 + = 2( x + 2 + y + 2) 的解(x,y)= _____. x ?1 y ?1

,沿 CP 将直角 19.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC = 2,CB = 3,CP 为∠ACB 的平分线(P 在斜边 AB 上) 三角形折成二面角 A ? CP ? B,当 AB = 2 2 时,二面角 A ? CP ? B 的大小是_____. 20.某种商品凡购买 100(包括 100)件以下的按零售价结算,购买 10l(包括 101)件以上的按批发价结 算.己知批发价每件比零售价低 2 元,某人原欲购该商品若干件,需按零售价结算付 a 元,但若多买 21 件,则可按批发价结算恰好也是 a 元(a 为整数) ,则 a 的值为_____. 第二试 一、填空题

1.已知 tan α =

ab (其中 a 、 b 为非零常数) ,则 (a 2 + b 2 ) sin α cos α ? ab cos 2 α = _____. a + b2
2

2.已知点 A (0,4),B (4,0).若抛物线 y = x2 ?mx + m + 1 与线段 AB(不包括端点 A 及 B)有两个不同的交
点,则 m 的取值范围为__________.

3.已知集合 A、B 各有 12 个元素, A ∩ B 含有 4 个元素,集合 C 满足条件 C ? A ∪ B , C 含有 3 个元素
且 C ∩ A ≠ ? ,这样的集合 C 共有_____个.

4.数列{ an }的通项公式为 an = ∑ (k k ) , bn = cos(anπ ) ,则 ∑ bk 的值为_____.
k =1 k =1

n

n

5. 集合 A = { z

| |z+

2 3

B | ≤ 1, z ∈ C }, = { z

则 z ∈ C ,| z | ≤ 1 }, A ∩ B 中幅角最大的复数是__________.

6.若多项式 P(x)满足方程 P(x2) + 2x2 + 10x = 2x ? P(x + 1) + 3,则其解析式 P(x) = _____. 7.橙子奥数工作室防盗暗记.正整数 m 、 n 满足 m+n 4 = ,则 m + n 的值为_____. m 2 + mn + n 2 49

8.有一个顶点向下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为 6 的正三角形,容器里装满了水,现
有一正四棱锥,底面边长为 a ( a < 6 ),高为 h ( h > 6 ),竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,

a 的值应取为_____. 9.已知实数 x、y、z、t 满足 x + y + z + t = 0 ,x2 + y2 + z2 + t2 = 10,则 xy + yz + zt + tx 的最大值与最小值
的和为_____.

10.数 100!的各位数字从右往左看时,第一个不是 0 的数字是_____.
二、双曲线 xy = 1 上,横坐标为

n n +1 的点为 An ,横坐标为 的点为 Bn ( n ∈ N + ) .记坐标为(1,1)的 n +1 n
n →+∞ n →+∞

点为 M ,Pn ( xn , yn )是△ An Bn M 的外心. n → +∞ 时,Pn 的极限坐标( a , b ), 求 这里 a = lim xn , b = lim yn . 三、设 S = {1,2,3,4}, n 项的数列 a1,a2 ,…,an 具有以下性质:对于 S 的任意一个非空子集 B(B 的元 素个数记为 |B|) ,在该数列中有相邻的 |B| 项恰好组成集合 B.求 n 的最小值. 四、求平面直角坐标系中格点凸五边形(每个顶点的横坐标、纵坐标都是整数)的周长的最小值.

简略答案 第一试
3 ( 1. ? 1, ) 2 3π π π 4. , ) ∪ ( , π ) ( 4 2 4

2. : : 7 5 3

3. 90

5.? 6 或 ? 2 12.? 2

6. 3 3

7. 或 ? 3 1

8. 393 15.
3 4

9.?2 cos x ( x ∈ (? 16.
7 2 2

π π

, ) 2 2

4 10. (2n ? 1)(2n+1 ? 1) 3 18. (
3 + 13 3 + 13 , ) 2 2

3 7 11. 2

13. 14. 78 2500 20.840

17. 1 + 3

1 19. arccos(? ) 6

第二试: 一、1.0 2. (3 , 二、 2,2) (
17 ) 3

3.1084 4. ? 1
四、 2 + 3 2

5. ?

3 1 ? i 6 2

6. 2 x + 6

7.16 8. 2 2

9. ?10 10.4

三、8

1996 年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题 1.若 α , β , α + β 都是锐角,用“ > ”连接 sin(α + β ) ,sin α + sin β ,cos α + cos β 是_________________.

2.三角方程 cos 2 x = 0 在区间[0,100]内的所有解的和是_____. 3.已知满足条件 |z2| + |z2 ? 1|= 7 的复数 z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲
线的离心率 e = _____.

4. ABC 的斜边上的高是 CD , AD = △ 且

1 将△ ACD 绕 CD 旋转至△A1CD, 使得二面角 A1 ? CD ? B AB . 3

为 60° ,则异面直线 A1C 与 AB 所成的角的大小是_____(用反三角函数表示) .

5.若关于 x 的二次方程 ax 2 ? (3a + 1) x + 4a ? 5 = 0 至少有一个整数根,则正整数 a = _____. 6.从集合 M = { a | a ∈ N 且 a ≤ 100 } 中选取四个各不相等的数,使它们按照从小到大的顺序组成公比为
整数的等比数列,则这样的等比数列有_____个. 橙子奥数工作室防盗暗记. 连接椭圆 7.
x2 y 2 作正方形 F2ABC F2、 ( + = 1 的右焦点 F2 与椭圆上的动点 A , 9 4

A、B、C 四顶点按顺时针方向排列) ,则当点 A 沿椭圆运动一周后,动点 C 的轨迹方程是__________. 8.四个半径为 1 的小球两两相切装在一个大球里面且都与大球相切,大球的半径是_____. 9.点集 A = { ( x, y ) | sin(3 x + 5 y ) > 0 且 x 2 + y 2 ≤ π 2 }所构成的平面图形的面积是_____. 10.若关于 x 的不等式 | x ? 1 | > x2 + a 仅有负数解,则实数 a 的取值范围是__________.
二、设 k1 < k2 < k3 <…是正整数,且没有两个是相邻的,又 sm = k1 + k2 + k3 + … + km(m 是正整数) .求证: 对于每个正整数 n,区间 [sn,sn+1)中至少含有一个完全平方数. 三、已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求该集合具有下列性质的子集个数:每个子集至少含 有 2 个元素,且每个子集中的任意两个元素的差的绝对值大于 1. 四、平面上给定 n 个点 A1,A2,…,An,任意三点不共线.由其中 k 个点对确定 k 条直线(即过 k 个点对 中的每一点对作一条直线) ,使这 k 条直线不相交成三个顶点都是给定点的三角形.求 k 的最大值.
1 2 3 6

简略答案:一、1. cos α + cos β > sin α + sin β > sin(α + β ) 或3 二、略

2.1024π
1 9. π 3 2

3.

4. arccos
5 4

5.2

6.16

7.

( x ? 5) 2 ( y ? 5) 2 + =1 4 9

8. 1 +

6 2

10. 1 ≤ a <

三、设 an 为所求,则 a1 到 a10 依次为 1,3,7,14,26,46,79,133

四、若 n 为偶数, kmax =

n2 n2 ? 1 ;若 n 为奇数, kmax = . 4 4

1995 年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题
1 1 1.设 f ( x) 是二次函数,对一切 x 都有 f (1 ? x) = f ( x) ,且 f ( x ) 的最大值是 , f (0) = ,则该二次函数 2 4 的解析式是 f ( x) = _____.

2.函数 y = f ( x) 的反函数是 g ( x) = log sin θ ( x + cot 2 θ ) (0 < θ < 3.若虚数 z 使 2z +

π
2

) ,则方程 f ( x) = 1 的解是_____.

1 1 为实数,则 2z + 的取值范围是_____. z z x (π ≤ x ≤ 5π ) 与直线 y = 1995 围成的图形的面积是_____. 2 9 17 45 )和( , )两点,它的离心率 e = _____. 4 2 8

4.由曲线 y = 1995sin

5.以两坐标轴为对称轴的二次曲线经过( 5 ,

6 .在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的相邻两个面上有两个正四棱锥 V1 ? A1 B1C1 D1 和 V2 ? BB1C1C
( V1 、 V2 都在正方体的外部) ,且这两个正四棱锥的侧面都是正三角形,则 ∠V1 B1V2 的大小是_____(用 反三角函数表示) .
E F 正四面体 ABCD 的棱长是 16, 是棱 AB 的中点, 在棱 CD 上, CF = 5 , 若 则线段 EF 的长等于_____. 7. 橙子奥数工作室防盗暗记. a 、b 、c 为正常数,x 、y 、z 为实数, 设 且满足 | x | ≤ a ,| y | ≤ b ,| z | ≤ c , 8.

则 ( x + y + z )( a 2 ? x 2 + b 2 ? y 2 + c 2 ? z 2 ) 的最大值是_____.

9.数列{ 6n ? 2 }中依次取出所有能够被 11 整除的项组成数列{ an },其通项公式 an = _____. 10.圆周上有 6 个点,连接其中的每两点得到许多条弦,这些弦可以相交成许多个三角形(有的三角形
的顶点在圆内) ,则最多可以得到_____个三角形. 二、求最大的常数 k,使得对于[0,1]中的一切实数 a , b , c , d 都有不等式
4 + a 2 b + b 2 c + c 2 d + d 2 a ≥ k (a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) .

三、求所有的有序实数对( a , b , c ) ,使得对任意三个整数 x 、 y 、 z 都有
| ax + by + cz | + | bx + cy + az | + | cx + ay + bz | = | x | + | y | + | z | . q p q ( p 、 q 为互质的整数) ,作两个整数 , ;由这两个数, p p+q p+q p+q p p+q q , , , ;从这 4 个数有可以按照上面的 2p + q 2p + q p + 2q p + 2q

四、对于(0,1)内的某个有理数

还可以按照上面的方法作出 4 个数: 方法作出 8 个数;…,求一切 . p/q 在内) 简略答案: 1.? x 2 + x + 一、
1 7. 137 8. (a + b + c) 2 2 1 4

p p ,使得从 出发,用上述方法可以作出所有(0,1)内的有理数(包括 q q 1? 2 2 4

2.x = ?2 9. 610 n?1 ? 2

( 3. ?2 2 ,2 2 )

7980π 4.

5 5. 4

6. arccos

10.111

二、2

三、共六组( ±1 ,0,0)(0, ±1 ,0) 、 、

(0,0, ±1 )

四、1/2

1994 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.设 f ( x) 是一个函数,且对一切实数 t , f (2t + 1) = 4t 2 + 2t ? 6 ,则 f ( x) = 0 的根是_____. 2.设 q = x 是某一个无穷等比数列的公比,且这个无穷等比数列各项的和存在,则实数 x 的取值范围 1+ x

是__________. ,两直线 l1:x = 3,l2:x = 13,则通过 P 点且与 l1、l2 都相切的圆方程是_____. 3.已知点 P(4,2)

1 1 4.已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集为 (?∞ , ? ) ∪ (? , + ∞) ,则不等式 cx2 + bx + a < 0 的解集 2 3
为__________.

5.在一个棱长为 5 6 cm 的正四面体内有一点 P,它在三个面的距离分别是 1cm、2cm 和 3cm,则它到第 四个面的距离为_____cm. 6.已知 5sin 2α = sin 2° ,则
tan(α + 1°) 的值是_____. tan(α ? 1°)

的一个最大值点和一个最小值点(本题中,若 x = x0 2 r 时, f ( x ) 取得最大值 M,则(x0,M)称为最大值点;最小值点类同)则正数 r 的取值范围为__________.

7.若圆 x2 + y2 = r2 至少盖住函数 f ( x) = 30 ? sin

πx

8.用列举法写出使 z +

1 等于某个整数的一切虚数 z 所构成的集合为_______________. z

9.函数 y = 1994 ? x + x ? 1993 的值域是_____. 10.函数 y = sin x cos x ? sin x ? cos x + 1 的值域是_____. 11.设复数 z1 、 z2 满足 z2 = z1i ? 2 ,而 z1 在复平面内的对应点 z1 在曲线 | z ? 2 | + | z + 2 | = 10 上运动,则 z2
在复平面内的对应点 z2 的轨迹方程是__________. (在复平面原有的直角坐标系中,用普通方程表示)
? x2 + y 2 ? 4 x ? 6 y + 4 ≤ 0 的点(x,y)所构成的区域的面积是_____. 12.在直角坐标系中,满足 ? ?| x ? 2 | + | y ? 3 | ≥ 3

13.在一个棱长为 6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为 1cm 的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子
中不能达到的空间的体积是_____cm3(盒子的厚度不计) .

14.两个两位数,他们的差是 52,它们的平方的末位数字相同,则这两个数是__________. 15.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取 3 个不同的数字 a、b、c,用 S 表示这 3 个数字通过排
列组成的所有可能的三位数的和,使得 S 是无平方因子数(即 S 不含有超过 1 次的质因数)的三个数字 的和 a + b + c 有_____个不同的数值.

16.在四面体 ABCD 中,棱 AB、CD 的长分别为 a 和 b,这两棱中点的距离为 d,则四面体 ABCD 的体积
的最大值是_____.

17.地面上有三点,它们与电视塔底部的距离分别是 200 米、100 米和 50 米,在这三点测得的电视塔顶
点的仰角之和为 135 ° ,则电视塔高 h = _____米.

18. P 的坐标是 ? 12, ) 过 P 向两条相交直线 7 x 2 ? 24 xy + 17 y 2 = 0 做垂线, 5 , 点 ( 两垂足间的距离为_____. 19.至少有一个数字是 6 的四位数中,有_____个是 3 的倍数. 20.设 a,b 是实数,二次方程 x 2 ? ax + b = 0 的一根属于区间[ ? 1,1],另一根属于区间[1,2],则 a ? 2b
的取值范围为__________. 第二试

1.已知 n 个正整数 ai (1 ≤ i ≤ n) 满足 a1 < a2 <
于 2n.求证 a1 > [

< an ≤ 2n ,其中任意两个 ai , a j (i ≠ j ) 的最小公倍数都大

2n 2n 2n ] . [ ] 表示 ( 的整数部分) 3 3 3

2.设△ABC 是锐角三角形,在△ABC 外分别做等腰 Rt△BCD,△ABE,△CAF.在这三个三角形中,∠
( BCD、∠BAE、∠CFA 是直角.又在四边形 BCEF 外作等腰 Rt△EFG,∠EFG 是直角.求证: 1)GA =
2 AD; 2)∠GAD = 135°. (
n 2kπ ? 3. 1)设 n 是一个大于 3 的素数.求 ∏ ? 1 + 2 cos ( n k =1 ?

? ? 的值. ?

n ?1 kπ ? ? (2)设 n 是一个大于 3 的自然数.求 ∏ ? 1 + 2 cos ? 的值. n ? k =1 ? 4.设自然数 n ≥ 5 ,n 个不同的自然数 a1 , a2 , , an 有下列性质:对集合 S = { a1 , a2 ,

, an }的任何两个 1 1 + + a1 a2 + 1 an

不同的非空子集 A、 . 中所有数的和与 B 中所有数的和都不会相等. 在上述条件下, 求 B A 的最大值.

简略答案 第一试:1.3 或 ? 2

2.(?1/ 2 , 0) ∪ (0 , + ∞) 7. [6 , + ∞) 12.9π ? 18 20.[ ? 1,5] 8.{±i,

( 3.( x ? 8) 2 + ( y ? 5) 2 = 25 或 ( x ? 8) 2 + ( y + 1) 2 = 25 4. 2,
1 ± 3i ?1 ± 3i , } 2 2

3) 11.

5.4 6. ?3 / 2
( x + 2) 2 y 2 + =1 21 25

9.1 ≤ y ≤ 2 15.6

10. 0 ≤ y ≤ 16. abd / 6

3+ 2 2 2

13.56 ? 40π / 3

14.76 和 24

17.100

18.5

19.1056

第二试:1.略

2.略

( 3. 1)3 (2)① 当 n = 3k,则所求为 0; ② n = 3k+1 时,所求为 (?1) n?1 ;

③ 当 3 k+1 时,所求为 (?1) n . 这里 k 为正整数.

4. 2 ?

1 2n?1

1993 年上海市高中数学竞赛试题
注:第一试由李大元、刘鸿坤、余应龙、叶声扬、许三保命题. 第二试由舒五昌、黄国宣、熊斌命题. 第一试 第一试全部是填空题,共 20 个,满分 120 分.

1.已知 x ∈ N ,且 3 位于

x+3 x+4 和 之间,则 x = _____. x x +1

2.已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于不同的两点 A、B,抛物线的顶点 C.若△ABC 是等腰直角三角
形,则 b 2 ? 4ac = _____. 已知方程 x 2 + (a ? 2) x + a + 1 = 0 两实根为 x1 、x2 , ( x1 ,x2 ) 而点 在圆 x 2 + y 2 = 4 上, 则实数 a = _____. 3.

4. x10 + 1 除以 ( x ? 1) 2 所得的余式是__________. 5. 已知 cos 2 (α + β ) ? cos 2 (α ? β ) = x ,cos 2 α ? cos 2 β = y ,y ≠ 0 . 则用 x ,y 表示 tan α tan β = __________. 6.设抛物线 y = x 2 ? 2 x sin θ + 1 的顶点在椭圆 x 2 + 4 y 2 = 1 上,这种抛物线有_____条. 7.已知集合 A = {( x, y ) | y = ax + 2} , B = {( x, y ) | y = x + 1} .若 A ∩ B 为单元素集合,则实数 a 的取值范围
为__________.

8.若某三角形有两条高不短于它们所在的边,则该三角形的三个内角的度数是_____. 9.设 x, y, z ∈ R + ,且 xyz ( x + y + z ) = 1 ,则 ( x + y )( y + z ) 的最小值是_____. 10.在复平面内有一个边长为 1 的正方形,它的一个顶点是原点,在两条边分别落在 x 轴的正半轴上与 y
轴的正半轴上.若复数 z 在这正方形的周界上变动,则 | z 2 ? 1| 的最大值是_____.

11.三角形的三边长为 6、8、10.该三角形内的点 P 到该三角形三边的距离的乘积的最大值是_____. 12.抛物线 y2 = 16x 的焦点为 F,以 F 与 A(4,4)为焦点作一椭圆,使其与已知抛物线有公共点,当长
轴最短时,椭圆的方程是__________. 设点 A0 在直角坐标系的原点,A1 , A2 , …依次在 x 轴的正半轴上, | An ?1 An | = 2n ? 1 ,n = 1, , 分 且 2 …. 13.
B …, 别以 An ?1 An 为边在 x 轴的上方作等边三角形 An ?1 An Bn . 则过所有点 B1 , 2 , Bn 的抛物线方程是_______.

14. 分别以直角三角形的两直角边为轴, 将该三角形旋转一周所得的两个旋转体的体积分别是 15 和 20. 则
以该直角三角形斜边为轴旋转一周所得的旋转体的体积是_____.

15.已知圆锥的内切球的面积是圆锥底面面积和侧面面积的等差中项,则圆锥母线与底面所成角的大小
是_____.

16.过正△ABC 的中心 O 作直线分别与 AB、AC 交于点 D、E.若 DO = 3,OE = 2,则该正三角形的边
长为_____.
x2 y 2 + = 1 的右焦点的弦 AB = 8.则△AOB 的面积是_____. 25 16

17.橙子奥数工作室防盗暗记.设过椭圆

18.从集合{1,2,3,…,45}中任取 3 个不同的数,使这 3 个数的和能被 3 整除.不同取法有_____种. 19.设 A1 , A2 , , Ak 是集合 S = {a1 , a2 , , a10 } 的一族不同的子集,它们两两的交集都不是空集,而 S 的
其他子集不能与 A1 , A2 , 等等.如果 f ( f (
, Ak 的交都是非空集合,则 k = _____. n 设 以 例如 f (12) = 5 . f (n) ≥ 3 , 若 又可做 f ( f (n)) 20. n ∈ N , ≥ 3 , f (n) 表示不是 n 的因数的最小自然数,

,那么 k 叫做 n 的长度.对一切 n ∈ N , n ≥ 3 ,用列举法表示 n f (n) )) = 2 (共 k 个 f)

第二试 一、填空题(满分 60 分)

x x x 1.自然数 x 使得 [ x] + [ ] + [ ] + [ ] = 1993 .则 x = _____. 3! 5! 7! 2.100 只椅子排成一个圆圈,有 n 个人做在椅子上,使得再有一个人入座时,他总与原来 n 个人中某一
个坐在相邻椅子上.则 n 的最小值是_____. (用数值表示) . 3.8 个人排成一行,甲、乙是其中两人,使甲、乙之间恰好有三人的不同排法有_____种.

4.实数 x1 , x2 , x3 满足 x1 +

1 1 1 2 1 2 x2 + x3 = 1 及 x12 + x2 + x3 = 3 .则 x3 的最小值是_____. 2 3 2 3
3 .橙子奥数工作室防盗暗记.则复数 i1993 z1 + i1995 z2 + 2 z1 z2 的模长 2

5.已知复数 z1 , z2 满足 | z1 | ≥ 1 , | z2 | ≥
的最小值是_____. i 为虚数单位) (

二、 25 分)在半径为 1 的圆内任给 14 个点.求证:其中必有两点的距离小于 0.72. ( 三、 25 分)对自然数 k,g (k) 表示 k 的最大奇因子(例如:g (3) = 3, g (20) = 5) ( .求 g (1) + g (2) + g (3)

+ … + g ( 2n )

(其中 n 为自然数) .

四、 30 分)设自然数 a,b,c,d 满足 (

a c a c + < 1 及 a + c = 20 .求 + 的最大值. b d b d
x 4y

简略答案:第一试:1.4
90 8. ° , 45° , 45°

2 .4 10. 5 17. 8
1 2

3. 3 ? 11
128 11. 15

4. 10 x ? 8

5. ?

6 .4

7. a ≥ 1 或 a ≤ ?1 14. 12 2. 34

9. 2
18 7 16. 7 21 11

( x ? 4) 2 ( y ? 2) 2 + =1 12. 12 16

1 13.y 2 = 3( x ? ) 4

15.arccos 3.5760

1 3

18. 4740

19. 512
4n + 2 3

20. , , {1 2 3}
四、
1385 1386

第二试: 1. 一、 1697

4. ?

5.

二、略

三、 S n =

1992 年上海市高中数学竞赛试题
第一试
k 1.若组合数 C10 = 45 ,则非负整数 k = _____.

? ? 41 2.设集合 M = ? x | x ? 20 | < , x ∈ Z ? , P = { x | x | < 40 , x ∈ Z } ,则集合 M ∩ P 中元素的总和是_____. 2 ? ? 3.设 A、B、C 为△ABC 的三内角,则复数 (1 + cos 2 B + i sin 2 B)(1 + cos 2C + i sin 2C ) 的虚部是_____. 1 + cos 2 A ? i sin 2 A

4.若满足 cos θ ? sin 2 θ = α 的实数 θ 存在,则实数 α 的取值范围是_____. 5.设 x、y 为互质的自然数,且 xy = 1992,则这样的不同的有序数组(x,y)的组数是_____. 6.若两数 19x + 1,92x + 74 的较大值非负,则实数 x 的取值范围是__________. 7.凸四边形 ABCD 的四个内角满足 A < B < C < D,且 A、B、C、D 成等差数列,则公差 d 的取值范围为 __________. 8.若 α 为锐角,且 sin α =
1 7 sin β , tan α = tan β ,则 α = _____. 8 4

9.若关于 x 的方程 x 2 ? 5 x log 2 a + 6(log 2 a ) 2 = 0 的两根中仅有一个较小的根在区间(1,2)内,则实数 a
的取值范围是__________.

10.若 x,y∈R,且 x 2 + 2 3 xy ? y 2 = 3 ,则 x 2 + y 2 的最小值是_____. 11.若椭圆的长轴长为 4,左顶点在抛物线 y2 = x ? 1 上,且左准线为 y 轴,则这样的椭圆的离心率的最大
可能值是_____.

12.若正数 a 使不等式 x + y ≤ a x + y 对一切正数 x、y 成立,则 a 的最小可能值是_____. 13.在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知对角线 A1C = 4,B1D = 2.若 P 是空间一点使 PA1 = 3,PC = 5,则 PB12 + PD 2 = _____.

14.△ABC 的三边 AB、BC、CA 的长依次是 2、3、4,D 是以△ABC 的外接圆为大圆的球面上一点, 若 D 到 A、B、C 的距离相等,则三棱锥 D ? ABC 的体积是_____.
15.正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1,若两面角 A ? BD1 ? C 的大小是 2π ,则 AA1 = _____. 3

对平面区域 D, N D) 用 ( 表示属于 D 的所有整点 (即 xOy 平面上坐标 x、 都是整数的点) 的个数. 若 16. y 2 2 和两直线 x = 10 ,y = 1 所围成的区域 (包括边界) B 表示由曲线 y = x( x ≥ 0 ) , A 表示由曲线 y = x( x ≥ 0 ) 和两直线 x = 1,y = 100 所围成的区域(包括边界) ,则 N(A ∪ B)+ N(A ∩ B)= _____.

17.设全集 I = {( x, y ) | x、y ∈ R} ,集合 A = {( x, y ) | x cos θ + y sin θ ? 2 = 0, x、y、θ ∈ R} ,则在 xOy 平面上,
集合 A (表示 A 的补集)元素的对应点构成的图形的面积是_____.
x2 y2 + = 1 上,若连接点 A( ? a,0)与 Q 的平行 a 2 b2

18.设 a、b 是两已知正数,且 a > b .点 P、Q 在椭圆
于直线 OP.且与 y 轴交于点 R,则

| AQ | ? | AR | ( = _____. O 为坐标原点) | OP |2 2 3

19.设定点 P 在圆周 x 2 + y 2 = 1 上,若点 Q、R 在圆 x 2 + y 2 = 1 的内部或圆周上,且△PQR 为边长是
( 正三角形,则 | OQ |2 + | OR |2 的最大值是_____. O 为坐标原点)



第二试 一、填空题

1.不定方程 6 ( 5a 2 + b 2 ) = 5c 2 的满足 c ≤ 20 的自然数解(a,b,c)共有_____组.
, 令 2. 、 是实数.z1 = x + 11 + yi ,z2 = x ? 11 + yi(i 为虚数单位) | z1 | + | z2 | = 12 , u = | 5 x ? 6 y ? 30 | , x y 则 u 的最大值是_____,u 的最小值是_____.

3.aoshoo.com 防盗暗记.已知 θ ∈ (0 ,
则 a + a3 + a5 +
+ a 2 n ?1 = _____.

π

1 ) , a ∈ R ,且 a 4 ? 2a 3 sin θ + a 2 ? 2a sin θ cos 2 θ + sin 2 2θ = 0 , 2 4

4.设 P( x) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d ,其中 a、b、c、d 是常数,如果 P (1) = 10 , P (2) = 20 , P (3) = 30 ,则
P (10) + P (?6) = _____.

在 2 3 4 5 满足 a1 < a2 , a2 > a3 , a3 < a4 , a4 > a5 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 5. 1, , , , 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中, 共有_____种. 二、在桌面上放有七个半径为 R 的木球 O、O1、O2、…、O6,球 O1、O2、…、O6 都与球 O 相切.问在 这些球上面是否可以再放三个半径为 R 的木球 O7、O8、O9,使得 O7、O8、O9 这三个球都与球 O 相切? 并说明理由. 三、设 n 是给定的自然数,求所有正数对(a,b) ,使得 x 2 + ax + b 是 ax 2 n + (ax + b) 2 n 的因式. 四、设 n 是给定的自然数, n ≥ 3 ,对于 n 个结定的实数 a1 , a2 , 为 m.求在 a12 + a2 2 +
, an ,记 | ai ? ai | (1 ≤ i < j ≤ n) 的最小值

+ an 2 = 1 的条件下,上述 m 的最大值.

简略答案 第一试:1.2 或 8

2.780
3 2

3.0

4. ?

5 ≤ a ≤1 4

5.8 14.2

6. [ ?

37 , + ∞) 46

7. (0 ,

π
3

)

8.

π
3

9. [ 3 4, 2)
2(4 ? 6) 19. 3

10.

11.

2 3

12. 2

13.28

15.1 16.1010
sin 3. θ / cos 2 θ
2

17. 4π 4. 8104

18. 2

m 20. (n + 2)

第二试: 1. 一、 4
2n

30( 2 + 1) , 2. 0

5 . 16

二、可以

(2k + 1)π ? 三、 a = ? 2 | cos 2n ?
12 n(n 2 ? 1)

(2k + 1)π ? 2 n ?1 ? , b = ? 2 | cos |? 2n ? ?

? 2 n ?1 ,其中 k ∈ N + ,且 |? ?

n < 2k + 1 < 3n

四、

1991 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.在 (1 + x) n 的二项展开式中,若第 9 项系数与第 13 项系数相等,则第 20 项系数为_____. 2 .已知集合 P = {( x, y ) | x = sin θ + cos θ , y = sin 2θ , θ ∈ R} , Q = {( x, y ) | x ? y + 1 = 0} ,则用列举法表示
P ∩ Q = __________. p +1 p ?1 , cos(α ? β ) = ,则用 p 表示 tan α ? tan β = _____. 2 p2 2 p2

3.已知 p ≠ 0 , cos(α + β ) =

4.已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是 5,首项 a ∈ N , 则公比 q 的最小可能值为_____. 5.已知 sin θ + cos θ = 2 ,则 (log 1 sin θ )(log 1 cos θ ) 的值为_____.
2 2

6.已知直角坐标平面内四点 A(1,0) B(3,0) C(0,1) D(6,1) , , , ,则该直角平面内到这四点的
距离平方和最小的点的坐标是_____. 当点 y 在曲线 7. (x, )
x2 y 2 ( x ? 5) 2 y 2 + = 1 上变动时, 代数式 + 所能取到的最大值与最小值的和是_____. 16 9 16 9

8.一个等腰三角形顶角的顶点在原点 O,另两个顶点 A、B 在直角坐标平面的上半平面,腰长 OA = OB = b c β 则用 a、、 表示 cos(α ? β ) = _____. 底边 BA 中点 M 的坐标为 b,)两腰所在直线的倾角分别为 α 、 , ( c , a, 9.已知函数 y = log a ( x ? ka ) + log a ( x 2 ? a 2 ) 的定义域为 x > a ,则实数 k 的取值范围为_____. 10.使复数 z =
sin x + sin 2 x + i (2 cos 2 x sin x ? tan x) 成为实数的所有 x 构成的集合是_____. cos x ? i

11.在四棱锥 P ? ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,且面积为 1 平方米,侧面 PAB、PAD 都与底面垂直,
侧面 PBC、PCD 与底面分别成 60 ° 角与 30 ° 角,则该四锥棱的体积为_____立方米.

12.已知三个半径为 6 的球在平面 α 的同一侧,与平面 α 都相切,且每个球与另外两个球外切,另有一
个球和平面 α 及这三个球都相切,则它的半径为_____.

13.已知 n ∈ N,2n > n3,则 n 的取值范围为_____. 14.10 张不同颜色的卡片上各写一个数,其中有 2 个 5,3 个 2,5 个 1,从中取出 5 张卡片,使得这 5
张卡片上的数字的和在开区间(10,15)内,则不同的取法种数是_____.

15.对每个 n ∈ N + ,设 an = 3 n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 ? 1 + 3 n 2 ? 2n + 1 ,则 ∑

500

1 的值是_____. a2 n ?1 n =1

16.在双曲线 4x2 ? y2 = 4 的两条渐进线上分别取点 A 和点 B,使 |OA| ? |OB| = 5,其中 O 是双曲线的中心,
则 AB 中点轨迹的普通方程是_____.

17.用平面去截一个正四棱柱,使截面为菱形,且有一个内角为 30 ° ,则截面与底面所成的二面角大小
为_____.

18.若三角方程 sin( x + ) ? sin 2 x = a 有实数解,则实数 a 的取值范围为_____. 4 19.若 x1 、 x2 是方程 x 2 ? x sin 4π 4π + cos = 0 的两个根,则 arctan x1 + arctan x2 的值是_____. 7 7

π

20.已知椭圆的长轴长为 4,焦距 | F1F2 | = 2,过椭圆的焦点 F1 的两条互相垂直的弦的长度和是 48/7,
则这两条弦的长度的积是_____. 第二试第一轮

1.a > 0 且方程 x 2 ? ax + a = 0 有两个实数根 x1 、 x2 ,则当 a 为_____时,

2 x12 + x2 最小,最小值为_____. x1 + x2

2.设 n 为使 an = (

3 +1 3 ?1 n i ) 取实数的最小自然数,则对应此 n 的 an = _____. + 2 2 3.将一枚硬币抛 10 次,那么至少连续 5 次都出现正面的不同情形共_____种. 4.设在坐标平面上有区域 2x ?1 ≤ y < 2n ? 1, x > 0 ,那么在此区域中,x、y 的坐标都取整数的点的个数

是_____. (这里 n 是给定的大于 2 的正整数)

5 . 设 多 项 式 P( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 +
+ a2 n ? 2 = ?(a1 + a3 +

+ a2 n ?1 x 2 n ?1 + x 2 n 的 根 都 是 正 整 数 , 并 且 a0 + a2 + a4 +

+ a2 n ?1 ) ,那么 a1 = _____.

6 .给定正整数 n ≥ 3 ,令 S 是集合 {2 , 3 ,…, n} 的所有非空子集组成的集合,对每一个 Si ∈ S ,
i = 1, 2,
, 2n ?1 ? 1 .令 Pi 是 Si 中所有元素的乘积.那么 P + P2 + 1
+ P2n?1 ?1 = _____.

7.将三个数 10a 2 + 81a + 207 , a + 2 , 26 ? 2a 给予适当的编排,分别取常用对数后成公差为 1 的等差数
列,那么此时 a = _____. 第二试第二轮

1.求满足[x ? 2x] = [x] ? 2[x]的一切实数 x.其中[x]表示不超过 x 的最大整数. 2.设 S = {1,2,3,4}. a1 , a2 , , ak 是 S 中的数所成的数列,它包含 S 的不以 1 结尾的任何排列,即对
2 2

( , 都有 i1 , i2 , i3 , i4 使得 1 ≤ i1 < i2 < i3 < i4 ≤ k , 于 S 的四个数的任意一个不以 1 结尾的排列 b1 , b2 , b3 , b4 ) b4 ≠ 1 , 并且( ai1 , ai2 , ai3 , ai4 )=( b1 , b2 , b3 , b4 ) .求这种数列的项数 k 的最小值.

3.n,m ∈ N ,求证:

2(2 n ?1) 2(2 n ?1) ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? +? + 2 ? 是完全平方数. ( m + 2) + m ? ( m + 2) ? m ? ?? 2 ( m + 2) ?? 2 2 ? ? ? ? ? ?

4.给定△ABC,∠A、∠B、∠C 所对的边分别是 a、b、c.在△ABC 所在平面作直线 l 与△ABC 的某两
边相交,沿 l 将△ABC 折成一个空间图形,将由 l 分成的小三角形的不在 l 上的顶点与另一部分的顶点连 接,形成一个三棱锥或四棱锥.问: (1)当 a = b = c 时,l 如何作,并折成何种锥体,才能使所得锥体体积最大?(需详证) (2)当 a ≤ b ≤ c 时,l 如何作,并折成何种锥体,才能使所得锥体体积最大?(叙述结果,不要求证明. )
1 p

1 20 简略答案 第一试:.

2. ?1, 0)} {(

? 3.

1 4. 5 1 3 12 . 2 9 8

1 5. 4

5 1 6. , ) ( 2 2

41 7. 8

2(b 2 + c 2 ) ? a 2 8. a2

9 . ?1 ≤ k ≤ 1 10 . {x | x = kπ , k ∈ Z } 16. 4 x 2 ? y 2 = ±4 17. arccos(2 ? 3)
第二试第一轮:1.4,2

11 .

13 . n = 1 或 n ≥ 10 19.
3π 4

14 . 110

15 . 5

18. ?2 ≤ a ≤ 3.112

20.

576 49 6.
(n + 1)! ?1 2

2. ? 64

4. 2n (n ? 2) + 2

5. ?22 n n

7.

1 2

1 非正的整数及区间 [n , (n ? 1) 2 + 1 + 1) 内所有实数, 第二轮: . 其中 n 为正整数
当 l 与 AB、AC 边交于 E、D,使 AE = AD = ⑴ 中
a
3

2. 11

3. 略
a3
12 3

4. ⑴
;⑵ 将

a
3

,并且面 ADE 和面 BCDE 垂直时, Vmax =

换成

bc 3

,其余条件不变, Vmax =

bc bc 9 3

sin A cos

A 2

1990 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 1.已知 A = {a | 1 ≤ a ≤ 10 , a ∈ N } ; B = {b | b = 3a ? 1 , a ∈ A} ,用列举法表示 A ∩ B = _____.
1 2.不等式 ( ) 2
1? x

>

1 2

的解是_____.

3.直线 y =

4 x 与 x 的轴的夹角平分线的方程是_____. 3

4.已知圆系方程是 x 2 + y 2 ? 2 x tan α ? 2 y sec 2 α + tan 4 α + 3 tan 2 α = 0 ( ?
方程是_____.

π
2

<α <

π
2

) ,则圆心轨迹的普通

5.已知数列 {xn } 、 { yn } 满足 lim (2 xn + yn ) = 1 , lim ( xn ? 2 yn ) = 1 ,则 lim ( xn yn ) = _____.
n →+∞ n →+∞ n →+∞

6.某班中选正、副班长的方法数与选 4 名乒乓球队员的方法数之比是

4 ,则该班的学生数是_____. 287

7.梯形的两底分别是 a 和 b,将梯形绕长为 a 的底旋转一周所得旋转体体积为 V1,绕长为 b 的底旋转一
周所得旋转体体积为 V2,则 V1/V2 = _____.

8.若正四面体有一个半径为 2 的内切球,则它的棱长为_____. 9.已知复数 z 满足 | z | = 1 , | 10.抛物线 y =
倾角为 11.
1 | > 1 ,则复数 z 的幅角主值的取值范围是_____. z +1
2

1 2 x ( a ≠ 0 ) 以 P(2a,2a)为中点的弦所在的直线方程是_____. 4a

? x = 2 cos θ B 的直线过点 P 1,2) 且与曲线 ? ( , 则 (0 ≤ θ < 2π ) 交于 A、 两点, | PA | ? | PB | = _____. ? y = sin θ 12.已知⊙O 的半径为 1,A1、A2、…、A8 是该圆周的 8 个等分点,自 A1 作 A1B2⊥OA2,垂足为 B2;自

π

4

B2 作 B2B3⊥OA3, 垂足为 B3; 自 B8 作 B8B9⊥OA1, …: 垂足为 B9; 这样可以无限作下去, 则使 | Bn Bn +1 | <
的最小自然数 n = _____.

1 1990

13.方程 log sin( ?2 x ) (sin x + sin 3x) = 1 的解是_______________. 14.方程 36sin(3π x) = 36 x 2 ? 12 x + 37 的解是_______________. 15.等腰△ABC 中,AB = AC,AD 是底边上的高,若 AB、BC、AD 三线段能组成一个三角形,则顶角 A
的取值范围是_____. 曲线 9 x 2 ? 16 y 2 ? 36 x sin θ + 32 y cos θ + 52sin 2 θ ? 160 = 0 的左焦点在直线 x ? y + 4 = 0 上, tan θ = __. 则 16.

17.过边长为 4 的等边△ABC 的三顶点分别作垂直于它所在平面的垂线 AA1、BB1、CC1.若 AA1、BB1、
CC1 的长分别是 7、4、1,且在△ABC 所在平面的同侧,则△ABC 和 A1B1C1 所在平面所成的二面角大小
为_____.

18.若 x、y、a 都是实数,且 x + y = 2a ? 1,x2 + y2 = a2 + 2a ? 3,则使乘积 xy 取最小值的 a 的值是_____. 19.三棱锥 P ? ABC 的底是边长为 a 的正三角形,PA⊥面 PBC,则 P 到面 ABC 的距离的最大值是_____. 20.已知数列 {an } 是等比数列, bn = 1 + a1 + a2 + + an , cn = 2 + b1 + b2 + + bn ,若已知数列 {cn } 是等比
数列,则它的通项公式 cn = _____. 第二试第一轮

1.一个正数 x,它的小数部分{x}.整数部分[x]及这个正数本身是等比数列中的连续三项,则 x =_____. 2. 设抛物线 y = x2 + mx + 2 与两端点为 0,1) 2,3) ( , ( 的线段有两个相异的交点, m 的取值范围是_____. 则 3.已知矩形的一边长为 m 厘米,两条互相垂直的直线将此矩形分为 4 个小矩形,其中 3 个小矩形面积不
小于 m 平方厘米,第 4 个小矩形面积不小于 2m 平方厘米.则此矩形另一边的最小可能值为_____厘米.

4.己知四面体各面都是棱长分别为 5, 34 , 41 的三角形,则此四面体的体积是_____. 5 .设 n 是自然数, f (n) 为 n2 + 1 (十进制)的数字之和, f1 (n) = f (n) , f 2 (n) = f ( f (n)) ,…,
f k +1 (n) = f ( f k (n)) , k ≥ 1 ,则 f100 (1990) = _____.

6.用 2、4、6 三个数字来构造 6 位数,但是不允许有两个连接着的 2 出现 6 位数中(例如,626442 是允
许的,224626 就不允许) ,则这样的 6 位数的个数是_____.

7.在区间 1 ≤ n ≤ 106 中,使得方程 n = x y 有非负整数解 x、y 且 x ≠ n .这样的整数 n 有_____个.
第二试第二轮

1.空间四边形 ABCD 中,AD ⊥ AB,BC ⊥ AB,AD、BC 成 60 ° 角,AD = BC =
a,C1、C2、D1、D2 分别为 BC、AD 延长线上的点,且 CC1 = C1C2 = DD1 = D1D2

= a,又 CD、C1D1、C2D2 的长度成等比数列,求 AB 的长度. 2.若正整数 p、q、r 使得二次方程 px2 ? qx + r = 0 在开区间(0,1)内有两个
不同的实根,试求 p 的最小值.

3.有 n2 张卡片,分别记上数字 1,2,3,…,n2,再把它们排成 n 行 n 列的方
阵:第一行为 1,2,…,n,第二行为 n+1,n+2,…,2n,依此类推,现从左 ,这样 上角到右下角将这些卡片依次编号(次序见图,右图为 n = 4 时的情况) 得到一个从编号数 k 到卡片上原有数字 f (k ) 的函数关系: k → f (k ) (k = 1,2,3,…,n2) .当 n = 2m (m = 1,2,…)时,试证不存在大于 l 而小于 n2 的整数 k,使得 f (k ) = k . (注:本题 4.一等腰三角形 ABC 的底角为 α ,腰长为 a,△ABC 的每一个内接三角形有一条最大的边, 所述的内接三角形是指△ABC 的每条边上至少有此内接三角形的一个顶点)求这些最大边的最小值,此 时,这个内接三角形的形状如何?

简略答案: 第一试 1. , , {2 5 8}

3 2. < x ≤ 1 4

3.y =

1 x 2

4.y = x 2 + 1 26 11. 5

? 5.

3 25

6. 44

a + 2b 7. 2a + b

8. 6 4
x 14. =
1 6

[0 9. ,

π
3

)∪(

2π 4π 5π , ) ∪ ( , 2π ) 3 3 3
1 2

x 10. ? y = 0
4 3

12. 22

x 13. = 2kπ +
4? 2 18. 2

2π (k ∈ Z ) 3 19.
3 a 4

15. < A < 4 arctan 0

16. 或 0

2 13 3 17. ) arctan (或 arccos 13 2

20.2n+1

1+ 5 第二试第一轮 1. 2 14 42 a或 a 2 2

3 2.[? , ?1) 2

3.3 + 2 2 4.略

4.20

5.11

6.448

7.1111

第二试第二轮 1.

2.5

3.略

1989 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.二次函数 y = ?2 x 2 + 2 x + 1989 在[0,2]上的最小值是_____.
1 ? i 1989 2.计算: ( = _____. ) 2

3.计算: lim

| n ? 100 | = _____. n →+∞ 2n

4.一个圆的极坐标方程是 ρ = 5cos θ ? 5 3 sin θ ,若规定极角范围为 0 ≤ θ < 2π ,则它的圆心的极坐标方
程是_____.

5.在△ABC 中,若 5 tan B tan C = 1 ,则

cos A = _____. cos( B ? C )

6.双曲线的两个焦点是 F1(1,8)与 F2(1, ? 12) ,它的实轴长等于 6,则它的标准方程是__________. 7.已知 0 < x < 1 ,且 log 2 x = log 3 y = log 5 z ,则 x 2 、 y 3 、 z 5 从小到大的排列是__________. 8.在四面体 ABCD 中,AB = CD = 4,AC = AD = BC = BD = 3,则此四面体的体积为_____. 9.一直角梯形的两底分别为 5 和 8,高为 4,将它绕斜腰旋转一周所得的旋转体的表面积是_____. 10.若 42 ? 7 ? (1+ cos x ) + 7 ?2 cos x = 7 ,且 π < x < 2π ,则 x = _____. 若一个等差数列, 从第 1 项起无论多少项的和总等于项数的平方的 10 倍, 则它的通项公式 an =_____. 11. 12.二次曲线 x 2 ? 8 x sin 2 θ + 4 y + 16sin 2 θ + 4 = 0 (
3π < θ < 2π ) 的焦点在直线 x ? y = 3 上,则 θ = _____. 2
1 1 1

13.若 A = {x | x 2 ? ax + a 2 ? 19 = 0} , B = {x | log 2 ( x 2 ? 5 x + 8) = 1} , C = {x | x 2 + 2 x ? 8 = 0} ,且 A ∩ B ≠ ? ,
A ∩ C = ? ,则实数 a 的值等于_____.

14.计算: arccot

1 2

1 2 2 + arcsin = _____. 2 3
( y + 2 m) 2 = 1 的每条渐进线都与抛物线 y = x 2 + 1 有两个相异的交点,则实数 m 的 9

15.若双曲线 ( x + m) 2 ?
取值范围是_____.

16.计算: ∑

k C11?1 = _____. k =1 k

12

17.设 A = {( x, y ) | 2 ? x 2 ? y 2 ? (1 ? x 2 )2 + (1 ? y 2 ) 2 ≥ 0} 表示直角坐标平面上的点集,则 A 的面积是_____. 18.袋中有编号 1~20 的 20 个球,其中编号为 1~10 的是红球,编号为 11~20 的是白球,规定取到 1 个红
球得 2 分,取到 1 个白球得 3 分.若在袋中取若干个球,共得 20 分,则这类取法的不同种数是_____.

19.二次方程 z 2 ? 2(4 tan θ + 3) z + 25sec 2 θ = 0 的两根在复平面上对应的点为 F1、F2.则当 θ 取遍 (?

π π

, ) 2 2

的一切实数时,以 F1、F2 为焦点,且经过原点的椭圆的长轴端点轨迹的普通方程是_______________.

20.点 P 在直径为 1 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这
三条弦长的和的最大值是_____. 第二试第一轮

1.设[x]表示 x 的整数部分,{x} = x ? [x],则方程[x3] + [x2] + [x] ={x} ? 1 的所有实数根是_____.

2.若项数是 2n 的等比数列的中央两项是方程 x2 + px + q = 0 的两个根,则该数列的所有项的积是_____. 3.使得对所有 x,不等式 sin6x + cos6x + 2asinxco x≥0 都成立的实数 a 的值是_____. 4.设 f1(x) = 19x + 89,对任意正整数 n 都有 fn+1(x) = f1(fn(x)),则 f100(5)的末位数是_____. 5.将 100 枚壹分硬币分成个数不同的 7 堆,从中取 50 枚硬币.要求做到:若从某一堆中去取而又未取
满 50 枚,则必须将这堆全部取完,并且触动到的堆数要尽可能地少.设触动到的堆数为 N,则 N 所有可 能取到的值之和是_____.

6.M 是具有下列性质的数:使对满足 a + b + c + d + e = 1 的任意非负数 a、b、c 、d、e,在 a + b、b + c、
c + d、d + e 中至少有一个不小于 M,这样的 M 的最大值是_____.

7.将质因子只有 2,3,5 中的一个或二个或三个的合数的全体排成数列(由小到大排,原题中无此条件,
但我认为加上此条件比较好) n1 , n2 , n3 , ,则
1 1 1 + + + n1 n2 n3

= _____.

第二试第二轮

1.求使得 1989 + n 是完全平方数的所有正整数 n 的值. 2.如图,有 m × n 个格点,求从点 A(1,1)到达点 B(m,n)的一条路径.使
得它所经过的每一个格点的两坐标的乘积之和为最大,并求出此最大值. (注: 这里所谓“路径”指的是向上、向右,即不允许逆着 x、y 轴的正向走)
n B

2

3.设平面上有个凸多边形,如果在这凸多边形内有点 P,使得过 P 的任何直
线都将这凸多边形分成面积相等的两块.问:这个凸多边形是怎样的多边形? 并证明你的结论.

A m

4.有 A、B 两张形状相同,面积都是 1 的纸板,在它们的上面分别描绘了 10 个国家的地图(这 20 个国
家是互不相同的) .在 A 纸板上面的 10 个国家已用 10 种不同的颜色染色.证明:可以用同样的这 10 种 颜色染 B 纸板上的 10 个国家,使得这两张纸板完全重迭后,同一种颜色的区域的总面积不小于 0.1.
2 2 + i 2 2 1 2

简略答案:第一试 1. 1985

2.? 9.

3.
3π 2

4.(5,

5π ) 3

5.?

2 3 11π 6

6.

( y + 2) 2 ( x ? 1) 2 ? =1 9 91

7. y 3 < x 2 < z 5 15. ?
5 1 <m< 4 4

1

1

1

8.

8 3

564 5 17.4

10 .

11 . 10(2n ? 1) 19. 5.6 2.

12 .

13 . ?2 20.
70 5

14 .

π
2

16.

1364 4

18.51601 4.5

y 2 ( x ? 3) 2 ? =1 25 16

第二试第一轮 1. ?1

2. q n

1 1 3. [ ? , ] 4 4

6.

1 3

7.

103 60 3.中心对称,P 为

第二试第二轮 1.共 6 个:994,330,106,70,50,6 对称中心

m (3n 2 + m 2 + 3n ? 1) 6

4.略

1988 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.函数 y = arcsin(2 x

2

? 4 x +3

) 的定义域是__________.

2.一条抛物线的开口向左,它的顶点在 y 轴上,它的对称轴是 y = 3,它的焦点与顶点间的距离是 5,则
这条抛物线的方程是__________.

3.在同一直角坐标系中,若函数 y = f ( x) 的图象与函数 y =
y = f ( x) 的解析表达式是__________.

4x + 3 的图象关于原点 O 中心对称,则函数 2x ?1

4.设点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,将△ABE、△BCF、△FDA 分别沿 AE、EF、 FA 向上翻折,使 B、C、D 三点合为一点 P.若正方形的边长为 a,则三棱锥 P ? AEF 的体积是_____. 5 .橙子奥数工作室防盗暗记.设 a 为实数, Sa = {( x, y ) | x = a + cos θ , y =
{( x, y ) | x 2 + y 2 < 4} ,则 a 的取值范围是_______________.

a + sin θ , θ ∈ R} ,若 Sa ? 2

两球相嵌, 大球半径 R = 4, 小球半径 r = 2, 且两球的连心线长 d = 4, 该组合体的可见表面积是_____. 6.

7.等差数列 5,8,11,…与等差数列 l,5,9,…均有 300 项,则有_____个数同时在这两个数列中出现. 8.A、B、C 是△ABC 的内角,则满足 cos10 A = cos10 B = cos10C = 1 及 A ≤ B ≤ C 的有序数组(A、B、C)
的组数是_____.
104 (104 ? 1) 104 (104 ? 1)(104 ? 2) + + 1× 2 1× 2 × 3 是_____位数. (可参考数据: lg 2 ≈ 0.30103 ) 104 (104 ? 1) (104 ? k + 1) + 1× 2 × 3 × × k 104 (104 ? 1)(104 ? 2) 1× 2 × 3 × 1

9 . 1 + 104 +

+

+

× 10

4

10.设长方形 ABCD 的长 DA 和宽 AB 分别为 a 和 b(a > b) ,将△ABD 沿对角线 BD 翻折,使 AB⊥DC,
则异面直线 AB、CD 的距离为_____.

11.设 m、n 是自然数,且使 ( 3 + i ) m = (1 + i ) n 成立(其中 i 是虚数单位) ,则乘积 mn 的最小值是_____. 12.设 x + 2 y ≥ 1 , 5 x + y ≥ 2 ,则 log8 (2 x + 2 y ) 的最小值是_____. 13.把由数字 1,3,5,7,8,9 组成的没有重复数字的四位数按从小到大的顺序排列起来,则第 100 个
数是_____.

14.已知直线 Ax + By + C = 0 (A、B 为实常数,且 | A | ≠ | B | )和曲线 y = 2 x ? x 2 ,它们相交于 P、Q
两点.若 P、Q 与点 D(1,0)的连线的倾角为 α 、 β ,则 tan(α + β ) = _____.

15.若 ? 满足 0 ≤ ? < 2π ,且使得关于 x 的两个二次方程 x 2 + x cos ? + sin ? = 0 , x 2 + x sin ? + cos ? = 0 至
少有一个公共的实数根,则这样的 ? 的个数是_____. 第二试第一轮

1.集合 A = {( x, y ) | x 2 + y 2 + 2 x ≤ 1} , B = {( x, y ) | x ? y + a ≥ 0} ,若 A ∩ B 仅含有一个点,则 a = _____. 2.若对于正整数 n,记 an =
10n ,则使 an 取值最大的 n 是:n = _____. n!

,从这 10 只手套中取出 4 只:① 恰有 2 只成 1 双 3.有 5 双共 10 只尺码不同的手套(左、右手有区别) 的取法有_____种;② 恰成 2 双的取法有_____种.

4.设数列{ a1 , a2 , a3 ,

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 }是{ , , , , , , , , , , },则该数列的第 1988 项 a1988 = _____. 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5.满足 P (?1) = 1 , P (1) = 3 , P (3) = 21 , P (21) = 8823 的一个多项式 P ( x) = _____. 6.设自然数 a、b 满足 a a a = b ,且 b > 1 ,则 a + b 的最小值等于_____.

7.橙子奥数工作室防盗暗记. ∑ arctan
k =0

n

1 = _____. 1+ k + k 2
第二试第二轮

. 1.设 x 2 + y 2 = xy = 1 ,求 x 3n + y 3n 的值(n 为自然数)

2.椭圆

x2 + y 2 = 1 的长轴的左、右端点分别为 A、B.x 轴上方有两点 C、D 满足:DA⊥AB,CB⊥AB, 2

且 DA = 3 2 ,CB = 2 ,当动点 P 在椭圆上什么位置时,△PCD 的面积最小?并求出该最小值. 3.巳知集合 S = {0,l,2,…,9},设 A1,A2,…,Ak 是集合 S 不同的非空子集.且其中任意两个子集 的交集至多含有两个元素,说出 k 可取的最大值,并证明你的结论.

4 .对集合 S = {( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) | ai = 0 或 1 , i = 1,2,3,4,5} 中的任意两个元素 ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 和 ( b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ),定义它们之间的距离为 | a1 ? b1 | + | a2 ? b2 | + | a3 ? b3 | + | a4 ? b4 | + | a5 ? b5 | .取 S 的一个
子集,使此子集中任意两个元素之间的距离大于 2.这个子集最多含有多少个元素.证明你的结论.

简略答案: 第一试
4x ? 3 2x + 1 1 3 a 24 2 5 2 5 <a< 5 5

1.[1,3] 8.2

2.( y ? 3) 2 = ?20 x 10. a 2 ? b 2

3. y = ?

4.

5.?

6.70π

7.75

9.3011

第二试第一轮

1.? 1

2.9 或 10

3.120,10

4.

29 35

5. x3 ? x 2 + 3(答案不唯一)

6.384

7.arctan(n + 1)

第二试第二轮

1. 2 cos

nπ 2

2.P(

2 3

,

1 3

)时, S min = 4 ? 6

3.175

4.4

1987 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、选择题

1.如果 n 是整数,则 n 2 (n 2 ? 1) 恒能以下各数中的哪个整除 A、8 B、12
2

C、24

D、不同于上述答案

2.方程 | log 1 A、 2 , 3 2

x | +1 = | log 1 x 2 | 的解为 2 4

B、 2 ,

1 8

1 C、 , 3 2 8 C、 21987

D、 2 , 3 2 ,

1 8

3.集合{1,2,3,4,…,1987}的非空真子集的个数是 A、 21987 ? 2 B、 21987 ? 1 D、 21987 + 1
2t 7 + 5t 2 ,y= 表示的点(x,y)表示的曲线是 2 1+ t 1+ t2

4.当 t 取实数值变化时,用 x = A、圆 B、不完整的圆

C、椭圆

D、不完整的椭圆

5.若 (1 + x)(1 + 3x)(1 + 5 x) A 、i B、 ? 1

(1 + 1987 x) 的展开式中,x 的一次项系数为 n,则 i n 等于(这里 i 为虚数单位)

C、 ?i

D、1

6.在下列哪个范围内的 a,使方程 x 2 ? 6 x + a = 0 有两个比 5 小的不相等的正根 B、 0 < a < 9 C、 0 < a < 5 D、 5 < a < 9 A、 a < 9 7.圆锥的侧面展开图是半径为 1,圆心角为 270°的扇形,则它过顶点的截面三角形的面积的最大值是 A、
1 2 15 32 2 2 3 3 7 16 2 6 3 3 4 3 6 4

B、

C、

D、

8.正四面体 ABCD 的四个顶点在半径为 1 的球上,则 AB 的长为 A、 2 9.F1 为椭圆 A、20 B、 C、 D、

x2 y 2 + = 1 的右焦点,AB 为过原点的弦,则△ABF1 面积的最大值为 25 9

B、15

C、27/2

D、12

10.橙子奥数工作室防盗暗记.若 0 < A < A、 x > y

π

2 B、 x ≥ y ,且等号可能成立

, x = A sin A , y = 1 + sin 2 A ,则

C、 x < y

D、 x ≤ y ,且等号可能成立

二、填空题 1.若直线 (a ? 1) y = (3a + 2) x ? 1 不通过第二象限( x < 0 , y > 0 ) ,则 x 的取值范围是__________.

2.正四棱锥底面边长为 a,侧棱长为 l(l > a) ,过底面一顶点作垂直于对棱的截面,则该截面与底面夹
角的正弦值等于_____.

3.非负实数 x, y, z 满足: x + y + z =

π
2

且 cos( y + z ) + 2[cos( x + y ) + cos( x + z )] ≥ 2 则 3 y + z ? 5 x = _____.

4.橙子奥数工作室防盗暗记.设 x > 0 ,定义 un ( x) 如下:u0 ( x) = x ,un +1 ( x) = x + 2un ( x) (n = 0,1, 2, ) ,
则方程 u1987 ( x) = x 的正根是_____.

5 .正七边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 内接于单位圆⊙ O 中, P 在 OA1 的延长线上,且 OP 的长为 2 ,则
| PA1 | × | PA2 | ×

× | PA7 | = _____.

第二试

1.如图,T 是锐角三角形,矩形 R,S 的一部分内接于 T,设 A(X)表示图形 X 的面积,求
最大值. 、 ,则它必定是常数函数. 2.证明:如果(0,1)区间上的实函数 f 同时满足(1)(2) (1)对任意 x ∈ (0,1) , f ( x) > 0 ; 2)对任何 x, y ∈ (0,1) , (
f ( x) f (1 ? x) + ≤2. f ( y ) f (1 ? y )

A( R ) + A( S ) 的 A(T )

3.证明:下面的方程组只有零解: x1 = x2 = x3 =

= xn = 0

1 1 1 1 ? ? x1 ? 1 ? 2 x2 ? 2 ? 3 x3 ? 3 ? 4 x4 ? ? (n ? 1)n xn = 0 ? 1 1 1 1 ? ?? (n ? 1)n x1 + x2 ? 1 ? 2 x3 ? 2 ? 3 x4 ? ? (n ? 2)(n ? 1) xn = 0 ? ? 1 1 1 1 x1 ? x2 + x3 ? x4 ? ? xn = 0 ? (n ? 1)n 1? 2 (n ? 3)(n ? 2) ? (n ? 2)(n ? 1) ? ? ? 1 1 1 1 x1 ? x2 ? x3 ? + xn ?1 ? xn = 0 ?? 2?3 3? 4 4?5 1? 2 ? 1 1 1 ? 1 ?? 1 ? 2 x1 ? 2 ? 3 x2 ? 3 ? 4 x3 ? ? (n ? 1)n xn ?1 + xn = 0 ?

4.双曲线

x2 ? y 2 = 1 的左、右焦点为 P、Q,左、右准线为 AB、CD.现将双曲线所在的平面 α 绕它的 3

一条渐进线 l 旋转成平面β,使得 P 转到 P’,且 P’Q = 13 ,同时把 AB 转成 A’B’,求 A’B’与 CD 的距离.

5.设有 n(n > 3)个复数 z1 , z2 ,

, zn 满足下列条件: 1) z1 + z2 + (

+ zn = 0 ; 2)| z j | < 1 ( j = 1, 2, (

, n) .

求证:至少其中有两个复数 zk , zl (k ≠ l ) ,使得 | zk + zl | < 1 .

简略答案 第一试:选择题 BBABD DACDC
1 2 第二试:1.最小值为 ,最大值为 3 3

填空题 1. a ≥ 1

2.

2a 2l

3. π

4.3

5.127

4.

6 7 7

1986 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、选择题

1.三角形的三条边长均为正整数,其中有一条边长为 4,但它不是最短的边,这样不同的三角形共有 A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个

2.若 α , β ∈ (0, ) , a = cos(α + β ) 则必有 2 B、 a < cos α + cos β A、 a > cos α + cos β
点至圆柱上底面的距离等于圆锥母线长的

π

C、 a < sin α + sin β

D、 a > sin α + sin β

3.在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱.若这圆柱的全面积等于这圆银的侧面积,则这圆锥顶 B、1/3 C、1/4 D、1/5 A、1/2 4.点 P(0,2)关于直线 x + 2 y ? 1 = 0 的对称坐标是 A、 ? 2,0) ( 5.2
1000

B、 ? 1,0) (

C、 0, ? 1) (

D、 ?6 / 5 , ?2 / 5 ) (

除以 13 的余数是

B、2 C、3 D、7 A、1 2 6.若函数 y = lg (1 ? mx )对任意实数 x 都有意义,则直线 y = x cos(arctan m) + n (m, n ∈ R) 的倾斜角 θ = A、 ? arctan 1 1+ m
2

B、 arctan
a

m

1+ m

2

C、 arctan

1 1+ m
2

D、 π ? arctan

1 1 + m2

7.已知三个实数 a , b = a a , c = a a ,若 0.9 < a < 1,则 A、 a < c < b B、 a < b < c C、 b < a < c D、 c < a < b 2 2 8.设 a 为正数,而 A ={(x , y) | x + y ≤1}、 B = {( x, y ) | | x | +2 | y | ≤ a} 是 XOY 平面内的点集,则 A 是 B
的子集的一个充分必要条件是

A、 a = 2

B、 a ≥ 3

C、 a ≥ 3

D、 a ≥ 5
sec 2 2 tan
2

θ θ
2 +1

9.aoshoo.com 防盗暗记.极坐标方程 ρ =

是一圆锥曲线,它的焦点到其相应准线的距离是

2

A、1/3

B、2/3

C、1

D、2

10.今有一角币 1 张,二角币 1 张,五角币 1 张,一元币 4 张,五元币 2 张,用这些纸币任意付款,则
可付出不同数额的款子的种数是

A、30

B、29

C、120

D、119

11.若曲线 ax 2 + bxy + cy 2 = 1 (b 2 ? 4ac ≠ 0) 和三直线 x = 1 , y = 1 , y = x + 1 分别相切.则 A、 a = b = c B、 a = b = ?c C、 a = ?b = c D、 ? a = b = c 12.已知 Z = (arccos x ? arcsin x) + i (arctan x ? arccot x) ,当 Z 是复平面上第三象限内的点时 A、 0 < x < 2 / 2 B、 2 / 2 < x < 1
?5

C、 ? 2 / 2 < x < 0

D、 ?1 < x < ? 2 / 2
5

13.一个等比数列{an}的首项 a1 = 2 ,它的前 11 项的几何平均数为 2 ,若在前 11 项中抽去一项后的几 何平均数为 24,则抽去的项是第几项? A、8
2

B、9
2

C、10

D、11

14. esin x π cos x 和 e + π 两者间大小关系是(其中 e 是自然对数的底, π 是圆周率) A、前者大 B、两者相等 C、后者大 D、以上都不对 15.空间不共面的四点 A、B、C、D 到平面 α 的距离之比依次为 1:1:1:2,这样的平面 α 的个数是

A、1

B、4

C、7

D、8

二、填空题

1. A、 、 、 为非空集, A ∩ B ≠ ? , = {A 的真子集}, = {B 的真子集}, M ∩ N = __________. B M N M N 若 则 2.橙子奥数工作室防盗暗记.已知函数 y = ( x 2 ? 6 x + 9)(? x 2 + 6 x ? 5) ,那么它的值域是__________. 1 1 3.抛物线 y = a 3 x 2 + a 2 x ? 2a ( a 为非零常数)的顶点在曲线 _______________ 上. 3 2 4.6 人划船,左右各 3 人,其中 2 人只能划左桨,1 人只能划右桨.则他们的不同坐法共有_____种. 5.已知方程 ax 2 ? 4 xy + 3 y 2 + 3 3 x ? 3 y = 0 表示两条直线,则实数 a = _____. 6.空间四边形的两组对边的平方和相等,那么它的两条对角线所成的角是_____度. 7.用正方形完全盖住边长分别为 3cm、4cm、5cm 的一个三角形,则该正方形的最小边长是_____cm. 8.已知 log a x = sec 20° , log b x = sec 60° , log c x = sec100° , log d x = sec140° 那么 log abcd x 的值是_____. 9.制作一个底圆直径为 4cm 的圆柱形容器,要内装直径为 2cm 的钢珠 26 只,那么这容器的高至少是 _____cm. (精确到 0.1cm) 10. 已知 f ( x) = ax + b (a ≠ 0) , g ( x) = 2 1 x (c ≠ 0) , f [ g ( x) ] = , g [ f ( x) ] = 且 , abcd = _____. 则 cx + d 2x ?1 x?2
第二试

1.设 a > 1 , a 、 θ 均为实数,试求当 θ 变化时,函数

(a + sin θ )(4 + sin θ ) 的最小值. 1 + sin θ

(主对角线是指:六边形 2.已知六边形的各边长不超过 1,试证此六边形至少有一条主对角线不超过 2. 中某一顶点与相隔两个顶点的第三顶点的连线.如六边形 ABCDEF 中,AD 是主对角线,AC 就不是主对 角线. )

3.证明:一个奇自然数 c 为合数,它的充分必要条件是存在自然数 a ≤

c ? 1 ,使 (2a ? 1) 2 + 8c 为平方数. 3 4. 函数 f ( x) 的定义域 D 于原点对称, 但不包括数 0; D 中的任意数 x , D 中存在 x1 , x2 , x = x1 ? x2 , 对 在 使
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ,且满足以下三个条件:① x1 , x2 ∈ D , f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) 或 0 < | x1 ? x2 | < 2a ( a 是一个正常 f ( x1 ) f ( x2 ) + 1 ;② f (a ) = 1 ;③ 当 0 < x < 2a 时, f ( x) > 0 . f ( x2 ) ? f ( x1 )

数) ,则 f ( x1 ? x2 ) =

试证: 1) f ( x) 是奇函数; 2) f ( x) 是周期函数,并求出其周期; 3) f ( x) 在 (0, 4a) 内为减函数. ( ( (

5.已知道圆柱底面半径为 r,高为 h,过上底一点作一截面,它与底面夹角为 α (锐角) ,试求将夹在截
面与底面之间的立体侧面展开成平面图形后,所得截口曲线的方程. 简略答案 第一试:选择题 CBADC CADDD

CBDCD 填空题 1.{?} 8.2 9.19.0 10. ? 16

2.[0,2]

3. xy = 105 / 64
3a + 1 2

4.108 3.略

5. 3

6.90°

7.16 / 17

第二试:1.

2.略

4.4a 是 f ( x) 的一个周期,余略

5.要分情况讨论,具体略

1985 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、选择题

1.用 1、9、8、5 四个数码构成形如 a b 的数.若欲使其值最大,则 c 的值为 B、9 C、8 A、1 2.从 A ∪ B = A ∪ C 能够推出 A、 B = C D、5

cd

B、 A ∩ B = A ∩ C

C、 A ∩ B = A ∩ C

D、 A ∩ B = A ∩ C

3.设平面上四点 A( 2 ,1+ 2 ),B( ? 2 ,1 ? 2 ),C ( 3 ,2),D( ?2 3 ,1).能和线段 AB 和 CD 在 端点分别相切的圆有 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、4 个.

4.记 m = log a (log a x) 、 n = log a x 2 、 t = (log a x) 2 ,则对任何 x ∈ (1 , a) 都有 A、 m < n < t B、 m < t < n C、 n < m < t D、 t < n < m

5.曲线 2 x 2 ? xy ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 = 0 和 3 x 2 ? 4 xy + y 2 ? 3 x + y = 0 的交点有 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、其他

6.使方程 sin 2 x + 3a 2 cos x ? 2a 2 (3a ? 2) ? 1 = 0 有解的 a 的范围是 A、 ?
1 ≤ a ≤1 2

1 1 B、 a > 1 或 ? < a < 3 2

1 2 C、 ? < a < 3 3

D、

1 ≤ a ≤1 2

1 1 7.函数 f ( x) = ?9 x 2 ? 6ax + 2a ? a 2 在区间 [? , ] 上的最大值为 ? 3,则 a 的值可为 3 3 A、 ?3 / 2 B、 2 C、 6 + 2 D、 6 ? 2 8.一对四位数中,一个数的首末两个数字对调就是另一个数(例如:1234 和 4231,1231 与 1231 都是这
样的数对) ,那么两数和是四位数而且是完全平方数的这种数对有多少对?

B、6 C、8 D、10 A、4 9.整数组 {x1 , x2 , x3 , x4 } 适合 0 < x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 < 7 ,这样的数组共有多少组? A、108 B、126 C、252 D、其他

10.n 为不超过 1985 的正整数,若存在 θ 使 (sin θ + i cos θ ) n = sin nθ + i cos nθ 成立的 n 的总个数为 A、1985
二、填充题

B、992

C、497

D、496

1.平面 M 与 N 相交成角 θ ,则 M 平面上的圆在 N 平面上的正投影椭圆的离心率等于_____. 2.设 | z | = 1 ,则 | z 2 ? z + 2 | 的最小值为_____. 3.单位正方体 ABCD ? A’B’C’D’上一动点 P,t = 0 时从 A 点出发沿它的棱 AB,BC 作速率为常数 v 的运
动,当 P 到达 BC 棱上某—位置时,点 P 到 AB’的距离 S 的平方表示为时间 t 的函数表达式__________. ,那么“有些 P 不是 S” ; 4.命题 (a)“所有的 S 是 P”和“所有的 S 不是 P”相否定;(b)“有些 S 不是 P”

(c) 如果“所有的 S 都是 P”那么“有些 P 是 S” (d)“所有的 S 是 P”和“有些 S 不是 P”相否定.上面 ;
四条命题中所有正确的命题号码为_____.
3+i ) + 1]n 当 n 取 1,2,…,100 时,可得_____个不同的数值. 2

5. [(

6. 0 < α , β < π ,且 cos α + cos β ? cos(α + β ) = 7.已知 sin x + sin y = 2 , cos x + cos y =

3 ,则 2α + β = _____. 2

2 3 ,则 tan x tan y = _____. 3

8.单位正方体 C 内作一个内切大球 Ol,其次在 C 内的一个角顶内作小球 O2,使它与大球外切,同时切
于 C 的三个面,则球 O2 的表面积为_____.
3 、2 和 1,则它的体积为_____. 2

9.三棱锥 P ? ABC 顶角的三个面角均为 60°,三个侧面的面积分别为 10.方程 x + y + z = 15 的正整数解有_____组.

第二试

1.已知抛物线 C1 的顶点( 2 ? 1 ,1),焦点( 2 ?

3 ,1) ,另一抛物线 C2 的方程 y 2 ? ay + x + 2b = 0 .C1 4

与 C2 在—个交点处它们的切线互相垂直.试证:C2 必过定点,并求该点坐标.

2.n 名队员穿 1 至 n 号球衣,坐成一排.并不允许号码大于 p(p 为某一确定的数)的队员坐在 p 号队员
的右侧.问共有几种坐法?

3.设正四棱锥 P 的底是边长为 2 的正方形,高是 h,平面 π 平行于正方形的一条对角线.与 P 的底面交
角为 α ,把 P 正投影到 π 上,问 α 为何值时,所得图形面积最大?最大值是多少?

4.已知 A、B、C、D 为平面上两两距离不超过 1 的任意四个点,今欲作一圆覆盖此四点(即 A、B、C、
D 在圆内或圆周上) .问半径最小该为多少?试证明之.

简略答案 第一试:一、BDABD ACDBC 二、1.sin θ
2 6 9

2.

14 4

3.(vt ? 1) 2 +

1 2

4.c、d

5.6 6.π

7.

13 7

8. (7 ? 4 3)π

9.

10.91
n! 2. n ? p +1

1 定点坐标为 第二试: . ( 2?
则α =

1 1 ,) 2

3. h ≤ 6 , α = 0 时,( S P ' ) max = 4 ; h > 6 , 若 则 若
2 h

π
2

? ? 时, ( S P ' ) max = 22 + 4 ,其中 ? = arctan

4. Rmin =

3 3

1984 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、选择题

1.某大学有外语教师 120 名,其中教英语的有 50 名,教日语的有 45 名,教法语的有 40 名.有 15 名既
教英语又教日语,有 10 名既教英语又教法语,有 8 名既教日语又教法语,有 4 名教英语日语和法语三门 课,则不教这三门课的外语教师有多少名?

A、10 2. log 2 (1 + A、17

B、14

C、18

D、22 +

E、26

20 × 19 20 × 19 × 18 × 17 + + 1× 2 1× 2 × 3 × 4 B、18 C、19
2

20 × 19 × × 1 )= 1× 2 × × 20 E、其他 C、有最大值也有最小值 D、无最大值也有

D、20

3.在△ABC 中,∠C 是直角,则 sin A + 2 sin B A、有最大值无最小值 B、有最小值无最大值
无最小值

E、等于常数

4.已知 25 sin 2 θ + sin θ ? 24 = 0 , θ 在第二象限,则 cos A、 3 5 B、 ± 3 5 C、
2 2

θ
2

=

D、

4 5

E、其他

5.已知 log tan θ cos θ = A、 ?
7 4

2 1 , θ 是锐角,则 log (1+ cot 2 θ ) sin 2θ = 3 2 C、 ?
1 4

7 10 6. ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 是正六棱柱,M 是 DE 的中点,这正六棱柱过 A1 、C、M 三点的截面是 B、
7 4

D、

1 4

E、 ?

A、三角形 A、3 A、111 A、2952 A、24
二、填充题

B、四边形 C、6

C、五边形 D、7

D、六边形

E、七边形

7.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个? B、4 B、114 B、11808 B、28 2 + 2 sin x 2 cos x + 2
2

E、 其他 D、118 E、121 E、36160

8.平面上有 15 条直线,其中有 5 条共线,它们最多能将平面划分成的区域数为 C、115 9.小于 50000 且含有奇数个数字“5”的五位数共有多少个? C、16160 C、32 2 cos x + 2 2 sin x + 2 D、44 D、26568 E、其他 10.圆柱直径为 4,高为 22,最多能装直径为 2 的球多少个?

1.方程

=

的解是_____.

2.不等式 |1 ? x |2 x

?7 x +3

< 1 的解是__________.

3.在△ABC 中,BC = a.且∠A < ∠B < ∠C,两质点分别在△ABC 的两个顶点 B、C 开始沿△ABC 的
边线按逆时针方向作速度相等的等速运动,则在运动过程中,它们之间的最短距离等于_____.

4.橙子奥数工作室防盗暗记.函数 f ( x) = arcsin(arcsin x) + arccos

2 arccos x 的定义域为__________. π ?2

5.曲线: x 2 + y 2 ? x + 2 y = 0 关于直线 x ? y + 1 = 0 的对称曲线方程为_______________. 6.方程 z 4 = z ( z 为 z 的共轭复数)的根为_____. 7.在△ABC 中,D、E 分别是 BC、CA 上的点,且 BD:DC = m:1,CE:EA = n:1,AD 与 BE 相交于

F,则△ABF 的面积等于△ABC 面积的_____倍.

8.过二次曲线 C1 : 3 x 2 + 8 y 2 ? 6 x ? 32 y = 0 与 C2 : 9 x 2 ? 16 y 2 ? 18 x + 24 y = 0 的交点的抛物线方程为_____. 9.将 19 分成若干个正整数之和,其积最大为_____. 10.当 x, y ∈ (0 , 1) 时, min{2? x , 2 x ? y , 2 y ?1} 的最大值为_____.

第二试

1.求二元函数 f ( x, y ) = x 2 + 4 xy + 2 y 2 在 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0} 上的最大值和最小值. 2.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 18 , AA1 = AD = 9 , BD 与 B1C 的公垂线的垂足为 M、N,试求 MN
的中垂面与长方体截面的面积.

3. 设平面上有一圆, 它的每一点都以角速度 ω 绕原点 O 顺时针旋转, 同时该圆周上有一点 P 以角速度 2ω
绕圆心 O ' 逆时针旋转.若时间 t = 0 时,圆心 O ' 的坐标为( l + r ,0) ,动点 P 的坐标为(l,0) .求点 P 的轨迹方程. (其中 l > 0 , r > 0 ) 4.设多项式 P ( x) = ( x ? a1 )( x ? a2 ) ( x ? an ) ? 1 ,其中 ai (i = 1, 2,
, n) 是 n 个不同的整数,试证 P( x) 不能

分解为两个次数大于零的整系数多项式之积. 5.已知 k、n 为正整数,把 k 分成 n 个正整数的和,对于各种分法,他们乘积的最大值为 F (k ) ,如果 k 除以 n 得商为 q,余数为 r. (1)求证: F (k ) = q n ? r (q + 1) r (2)求
F (k + 2) . F (k )

简略答案 第一试: BCDBE DDCBE 一、
3 5 5 . ( x + 2) 2 + ( y ? ) 2 = 2 4

1 x 二、 . = 2kπ +

π
4

(k ∈ Z )

(0 2. , 1/ 2) ∪ (2 , 3)

a 3. sin

A 2

4. {sin1}
m mn + m + 1
(即
1
3

6 . {0} ∪ {z | z = cos

2kπ 2kπ (k = 0,1, 2,3, 4)} + i sin 5 5 9.972

7. 10. 2
?

8. y 2 ? 3 y = 0 (它是抛物线的退化情况,代表两条直线 y = 0 , y = 3 )
3 + 17 3 ? 17 , [ f ( x, y )]min = 2 2 729 4

1 3



2

第二试:1. [ f ( x, y )]max =

2.

3.

x2 y2 + = 1 ,表示一个椭 l 2 (l + 2r ) 2



4.略

( 5. 1)略

(2)

q+2 q

1983 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 一、填充题

1.

1 + tan15° = _____. 1 ? tan15°
( 3 + 2i )( 5 + 2i )( 5 + 3i ) ( 2 ? 3i )( 2 ? 5i )
2

2. |

| = _____.

3.1 到 1000 中所有被 3 除余 2,并且被 7 除余 4 的正整数之和为_____. 4.一个椭圆内切于一个长为 m,宽为 n 的矩形,这个椭圆的内接矩形的周长的最大值是_____. 5. 3 10 + 6 3 + 3 10 ? 6 3 = _____.

6.如果 1、x、y 三个正数,既依次是一个等差数列的第 l 项、第 m 项、第 n 项,又依次是一个等比数列
的第 l 项、第 m 项、第 n 项,那么 x、y 应满足的关系式是_____.

7.在集合{1,2,…,n}中,任意取出一个子集,计算它的元素之和,则所有各个子集元素之和的总和
是_____.

8.点 P 在单位正方体的 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 CD 上滑动,过 P、A、C’做截面,所得截面的面积的最
小值是_____. 二、选择题:

1.如果命题“坐标满足方程 F (x , y) = 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,那么 A、曲线 C 上的点的坐标都满足方程 F (x , y) = 0 B、坐标满足方程 F (x , y) = 0 的点都不在曲线 C 上 C、曲线 C 上的点的坐标不都满足方程 F (x , y) = 0 D、坐标满足方程 F (x , y) = 0 的点有些在 C 上,有些不在 C 上 E、一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足方程 F (x , y) = 0 2.四名甲队队员,三名乙队队员站成一排,任何两名乙队队员不靠在—起,不同的站法有 A、 4!× 3! B、 P53 × 4! C、 (4!) 2 D、 P43 × 4! E、以上都不是

3.已知 x, y ∈ N , x > y , x3 + 19 y = y 3 + 19 x , a = log 1 ( x + y ) ,则 a 的取值范围是
2

A、 (?3 , ? 2)

B、 [?2 , ? 1]

C、 (?1 , 1)
29 π 2

D、 [1 , 2]
29 π ? 45 2

E、 (2 , 3)

4. arctan(? cot 45) = A、 ?

π
4

B、 ?45

C、 45 ?

D、

E、 (2 , 3)

1 5.当 k ∈ (0 , ) 时,方程 | 1 ? x | = kx 的解的个数是 2

A、0

B、1

C、2

D、3

E、4

6.已知正整数 a、b、c 满足条件:① a < b < c < 30 ;② 以某一正整数为底, a (2b ? a) 与 c 2 + 60b ? 11 的
对数分别为 9 与 11.则 a + c ? 2b 的值是

A、4

B、2

C、0

D、 ? 2

E、 ? 4
DE = DF

, 7.已知 AD、BE、CF 为△ABC 的三条高(D、E、F 为垂足) ∠B = 45° , ∠C = 60° ,则

A、

2 3

B、

2 3

C、

1 2

D、

1 2

E、

3 2

第二试

1.已知△ABC 的三内角的正切 tanA、tanB、tanC 满足下列两个条件,求 A、B、C. 1 (1) tan A + tan B + tan C = ? ; 6 181 . 216 2.已知点 P0 ( x0 , y0 ) 和直线 l 的方程 ax + by = 0 (a ≠ 0) .令 Q1 为 P0 关于 x 轴的 λ 对称点,过 Q1 作直线平
(2) tan 2 A + tan 3 B + tan 3 C = ?

行于 l ,交 x 轴于 R1 ;令 P 为 Q1 关于 R1 的 μ 对称点,同样由 P 可作 Q2 , P2 ;然后作 Q3 、 P3 ;等等.如 1 1 果点 Pn 坐标为 ( xn , yn ) ,问: (1)在什么条件下, {xn } 、 { yn } 都收敛? (2)它们的极限各是什么? 注:① 若线段 PQ 垂直于直线 l ,垂足为 M,且 λ PM = MQ (λ ≠ 0) ,则称 Q 为 P 关于 l 的 λ 对称点(是 一种“线对称”.特别地,当 P 在 l 上时,对任何 λ ,P 关于 l 的 λ 对称点都是 P. ) ② 若 R 为线段 PQ 内点,且 μ PR = RQ ( μ > 0) ,则称 Q 为 P 关于 R 的 μ 对称点(是一种“点对称”.特 ) 别地,当 P、R 重合时,对任意 μ ,P 关于 R 的 μ 对称点都是 P.

3.设 y = sin x ,问是否存在 n + 1 个实系数的多项式 P0 ( x) , P ( x) 、 P2 ( x) 、…、 Pn ( x) ,其中 n 为任意正 1
整数, P0 ( x) = a0 x m + a1 x m ?1 +
+ am ( a0 ≠ 0) ,使 P0 ( x) y n + P ( x) y n ?1 + 1 + Pn ( x) ≡ 0 .

简略答案 第一试: 一、1. 3

2.8

3.24216

4. 2 m 2 + n 2

5.2

6. x y ?1 = y x ?1

7. 2n ? 2 n(n + 1)

8.

6 2

二、EBACD EE 第二试:
1 3π 1 1. 、arctan 、arctan (可以随意排列) 3 2 4

① 收敛点坐标为 ( x0 ? 2. 当 0 < λ u < 1 时,

by0 λ (1 + μ ) , 0) ; a (1 ? λμ )

② 当 λμ > 1 且 y0 = 0 时,收敛点坐标为( x0 , 0 ) ;③ 当 λμ = 1 时,若 b ≠ 0 ,收敛点坐标为( x0 , 0 ) , 若 b = 0 ,收敛点坐标为 ( x0 , y0 )

3.答案是否定的

1982 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.选择题
(1)如果 c > 1 , a = c + 1 ? c , b = c ? c ? 1 ,那么 B、 a ≥ b C、 a = b D、 a < b A、 a > b (2)如果 y = (log 5 6)(log 6 7)(log8 9)(log 9 10) ,则

E、 a ≤ b E、 2 < y < 3

A、 0 < y < 1

B、 y = 1

C、 1 < y < 2

D、 y = 2

(3)单位圆中内接四边形的最短边的最大值

π 2 D、 E、 2 2 2 (4)如果△ ABC 和△ A ' B ' C ' 中, ∠A = ∠A ' ,且 sin B + sin C < sin B '+ sin C ' ,那么 B、 | B ? C | > | B '? C ' | C、 B ? C < | B '? C ' | A、 B ? C > B '? C '
A、不存在 B、1 C、 D、 | B ? C | < | B '? C ' | E、 B ? C = B '? C ' 2.已知内接于圆的四边形的边长分别为 a、b、c、d
(1)求该四边形的面积 S; (2)如果这个四边形又有内切圆,求证 S = abcd . 3.棱锥 V ? ABC 的侧棱对于底面的倾角都相等,底面为直角三角形,它的两直角边 CA,CB 分别为 a 和
3a ,又棱锥的高为 b.M、N、P、Q 分别为 AC、CB 和 BV、VA 上的中点,求四边形 MNPQ 的面积. 4.己知曲线 C:y = x2 过定点 Pl(a,0) a > 0)作与 y 轴平行的直线且和 C 相交于点 M1,然后过点 M1 (

作 c 的切线和 x 轴相交于点 P2,再过 P2 作与 y 轴平行的直线且和 C 相交于点 M2,又过 M2 作 C 的切线和

x 轴相文于点 P3.以下,用同样的方法直至无穷.记△PkMkPk+1 的面积为 Sk.
求:S1 + S2 + … + Sn + …的值.

5.空间有 10 个点,其中有 4 个点在同一平面上.除此之外,这 10 个点中不再有 4 个点共面.
求:以其中一点为顶点,过其他 3 个点的圆为底面的圆锥的个数.

6.已知直线 y = kx + b (b ≠ 0) 与二次曲线 Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 相交于 M、N 两点.
试求 OM、ON 垂直的充要条件.

7.设 zk (k = 0,1, 2,
的正整数.求证:

, n ? 1) 是 z n ? 1 = 0 的 n 个根, f ( x) = am x m + am ?1 x m ?1 + 1 n ?1 ∑ f ( zk ) = a0 . n k =0

+ a1 0 + a0 ,其中 m 为小于 n

第二试

1.已知函数 f ( x) = x 2 ? 2 x + 2 , x ∈ [t , t + 1] 的最小值是 g (t ) .写出 S = g (t ) 的解析表达
式,并画出它的图象.

a11 a21 an1

a12 a22 an 2

a1n a2 n ann

2.把 n2 个互不相等的实数排成右表,取每行的最大数得 n 个数,其中最小的一个是 x;再取每列的最小数,又得 n 个数,其中最大的一个是 y,试比较 xn 与 yn 的大小. 3.ABCD ? A’B’C’D’是边长为 1 的正方体,M、N 分别在棱 BB’、C’D’上,且 BM =
1 1 MB ' , D ' N = NC ' . 2 2

(1)指出 MN 的中垂面在已知正方体上截得的截面是—个什么样的图形,并加以说明; (2)求出这截面在正方体的底面 A’B’C’D’上的射影的面积.

4.试证 n( n ≥ 2 )个互不相等的正整数的倒数平方和不能是整数. 5.从二次曲线 C 外一点 L 引 C 的两条切线,其切点的连线为直线 l,再
从 C 外另外两点 M、N 同样引 C 的切线,其切点的连线分别为直线 m 和

A

n,又 L,M,N 三点共线,试证 l,m,n 三线共点. 6.如图,AE 和 AF、BF 和 BD、CD 和 CE 分别是△ABC 中∠A、∠B、
∠C 的三等分线,求证△DEF 是等边三角形.
D B C F E

简略答案 第一试:
a+b+c+d ; 2)略 ( 2
1 3. a 2a 2 + 4b 2 4

1.DCEB 2 4. a 3 7
第二试:

2. 1) S = ( p ? a )( p ? b)( p ? c)( p ? d ) ,其中 p = ( 5.836 6. Ab 2 ? 2 Dkb + Fk 2 + Cb 2 + 2 Eb + F = 0

7. a0

① ② ③ 图略 1. 当 0 ≤ t ≤ 1 时,g (t ) = 1 ; 当 t < 0 时,g (t ) = t 2 + 1 ; 当 t > 1 时,g (t ) = (t ? 1) 2 + 1 .
x = aij , y = a pq ,则 aij ≥ aiq ≥ a pq ,余略

设 2.

3.

5 8

4 — 6.略

1981 年上海市高中数学竞赛试题
第一试

1.已知 f ( x) = 1 + log x 5 , g ( x) = log x2 9 + log x3 8 .实比较 f ( x) 和 g ( x) 的值的大小.

2.在△ ABC 中, ∠C 为钝角,AB 边上的高为 h,求证: AB > 2h .

3.已知正四棱锥 P ? ABCD 的侧面与底面的夹角为 α ,相邻两侧的夹角为 β ,求证: cos β = ? cos 2 α .
n ? m ? 2 j ?? 4.设 ∑ ? ∑ ? ∑ k ? ? = 275 ,求正整数 n 的值. m =1 ? j =1 ? j k =1 ? ?

5.设 n 为偶数,试证:

1 1 1 + + + 1!(n ? 1)! 3!(n ? 3)! 5!(n ? 5)!

+

1 2n ?1 . = (n ? 1)!1! n !

6.设抛物线的对称轴是 2 x + y ? 1 = 0 ,准线是 x ? 2 y ? 5 = 0 ,且与直线 2 y + 3 = 0 相切,求此抛物线方程.

α β γ 7.已知 x + x sin θ + x sin 2θ + sin 3θ ≡ ( x ? α )( x ? β )( x ? γ ) ,且 γ α β > 0 ,求 θ 的取值范围. β γ α
3 2

8. 已知复数 z1 、 2 、 3 , z1 | = 1 、 z2 | = k 、 z3 | = 2 ? k , z1 = α 、 z2 = β 、 z3 = γ , z1 + z2 + z3 = 0 , 且 | | arg arg arg z z |
问 k 为何值时, sin 2 ( β ? γ ) 的值为最大? 第二试

1.设 n 是正整数, k 是不小 2 的整数,试证 n 可以表示成 n 个相继的奇数之和. 2.试证在 2n × 2n ( n 是正整数)个相等小方格组成的棋盘上任意挖去一个小方格后,总可以由三个小方 格构成的 L 形块(如图)恰好铺满(既不重叠,也不越界) .
? n k 3 ?1 ? 3.橙子奥数工作室防盗暗记.计算: lim ? ∏ 3 ?. n →∞ k = 2 k + 1 ? ? ?ax14 + bx13 ? 4 3 ?ax2 + bx2 4.在方程组 ? 4 3 ?ax3 + bx3 ? 4 3 ?ax4 + bx4
2 = x2 2 = x3 2 = x4

k

中, a 、 b 是实数,且 a ≠ 0 .求证:

= x12

(1)当 b 2 + 4a ≥ 0 时,方程组至少有一组非零实数解; 2)当 b 2 + 4a < 0 时,方程组不存在非零实数解. ( 5.已知边长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D , AC ' 是对角线, M 、 N 分别是 BB ' 、 B ' C ' 的中点, P 是 线段 MN 的中点.求 DP 与 AC ' 的距离.

6.设一圆和一条等轴双曲线交于四点 A1、A2、A3、A4,其中 A1 和 A2 是圆的直径的一对端点,试证:
(1)A3 和 A4 是双曲线直径的端点; 2)双曲线在 A3 和 A4 处的切线都垂直于 A1A2. ( 简略答案: 第一试 1. 0 < x < 1 时,f ( x) > g ( x) ; 1 < x < 5 / 6 时,f ( x) < g ( x) ; x = 5 / 6 时,f ( x) = g ( x) 当 当 当

6. 4 x 2 + 4 xy + y 2 ? 10 y ? 15 = 0
第二试:3.2/3

7. (2n ? 1)π + arctan 6 < θ < 2nπ + arctan 6 且 θ ≠ 2nπ (n ∈ Z )

8.3/4

5. 1/ 86

1980 年上海市高中数学竞赛试题
第一试 1.已知 a > 1 , b > 1,求证 log a ab + log b ab ≥ 4 . 2.设 x1 、 x2 是方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两个根,求 x11980 + (
1 1980 ) 的值. x2

3.设 D 为△ABC 的边 BC 上的点,连结 AD 得△ABD 和△ACD 如果这三个三角形相似,问△ABC 是怎 样的三角形?为什么? 4.已知△ABC 的边 BC 上有两点 D、E,且 BD = CE.求证:AB + AC > AD + AE. 5.非零实数 a, b, c, x, y, z 满足条件 a 2 + b 2 + c 2 = x 2 + y 2 + z 2 = ax + by + cz ,求证:

x y z = = . a b c

6.△ABC 中最大角 A 是最小角 C 的 2 倍,夹角 A 的两边 b = 5,c = 4.求第三边 a 和△ABC 的面积. 7.已知平面的斜线在此平面上的射影与该平面内过此斜线足的两直线构成等角,求证:斜线本身与上述 两直线也构成等角. 8.已加函数 y = sin 2 x + cos x +
1 ,问 x 取何值时,函数 y 有极值. 4

9.设 P 点在双曲线 x2 ? y2 = 1 上运动,P 处切线与圆 x2 + y2 =1 交于 A 和 B,求弦 AB 中点 Q 的轨迹方程. 第二试 1.已知△ABC 中, lg tan A + lg tan C = 2 lg tan B ,求角 B 的范围. 2.在单位正方体 ABCD—A’B’C’D’中,在一个面的对角线 AB’上取 M 点使 AB ’= 3AM、在另一个面的对 角线 BD 上取 N 点使 BD = 3BN.求证:MN 是 AB’和 BD 的公垂线,并求 MN 的长. 3.抛物线与 Oy 轴相切于原点,直线 x + y + 1 = 0 是抛物线在顶点的切线,求此抛物线的方程. 4.证明: F = 2 + 2 ? 2 + 2 ? 2 + 2 +
n

+ 2? 2+ 2+
n ?1个根号

2 <π .

5.设 zk (k = 1, 2,

, n) 是满足 | zk | ≤ 1 及 ∑ zk = 0 的 n (n ≥ 2) 个复数,求证这 n 个复数中至少有两个复数
k =1

zs , zl 满足 | z s + zt | ≤ 1 .

简略答案 第一试:2.2 3.直角三角形 6.a = 6 , S =
15 7 4

8. x = 2kπ ±

π
3

时, ymax =

3 ; x = 2kπ + π 时, 2

3 ymin = ? . (其中 k 为整数) 4

9. ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 ? y 2 ,写成极坐标方程为 ρ 2 = cos 2θ ,是一条双纽线 3. x 2 ? 2 xy + y 2 ? 8 x = 0

第二试:1. [

π π

, ) 3 2

2.

3 3


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