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2013高中数学奥数培训资料之奇数偶数


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §25 奇数偶数
将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可 表为 2m(m∈Z),任一奇数可表为 2m+1 或 2m-1 的形式.奇、偶数具有如下性质: (1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数; 奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数; (2) 奇

数的平方都可表为 8m+1 形式, 偶数的平方都可表为 8m 或 8m+4 的形式 (m∈Z) . (3)任何一个正整数 n,都可以写成 n ? 2 l 的形式,其中 m 为非负整数,l 为奇数.
m

这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题.

例题讲解
1.下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这 12 个整数中,至少有几 个偶数?
□+□=□,□-□=□,□×□=□,□÷□=□.

2. 已知 n 是偶数, 是奇数, m 方程组 ?

? x ? 1988 y ? n ?11 x ? 27 y ? m

的解 ?

?x ? p ?y ? q

是整数, 那么(

)

(A)p、q 都是偶数. (C)p 是偶数,q 是奇数

(B)p、q 都是奇数. (D)p 是奇数,q 是偶数

3.在 1,2,3?,1992 前面任意添上一个正号和负号,它们的代数和是奇数还是偶 数.

4.70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等于它两边两 个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,?.问最右边的一个 数被 6 除余几?

5.设 a、b 是自然数,且有关系式
123456789=(11111+a)(11111-b), 证明 a-b 是 4 的倍数. ①

6.在 3×3 的正方格(a)和(b)中,每格填“+”或“-”的符号,然后每次将表 中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后,能否从一 张表变化为另一张表.

+ + + + a

-

+ +

+

+ -

b

7.设正整数 d 不等于 2,5,13.证明在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素 a,b,使得 ab-1 不是完全平方数.

8.设 a、b、c、d 为奇数, 0 ? a ? b ? c ? d , 并且 ad ? bc ,证明:如果 a+d=2k,b+c=2m, k,m 为整数,那么 a=1.

9.设 a 1 , a 2 , ? , a n 是一组数,它们中的每一个都取 1 或-1,而且 a1a2a3a4+a2a3a4a5+? +ana1a2a3=0,证明:n 必须是 4 的倍数.

课后练习
1.填空题 (1)有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最大数与最小数的积 是一个奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是______.

(2)有五个连续偶数,已知第三个数比第一个数与第五个数和的 偶数之和是____.

多 18,这五个

(3)能否把 1993 部电话中的每一部与其它 5 部电话相连结?答____. 2.选择题 (1)设 a、b 都是整数,下列命题正确的个数是( )

①若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是偶数;②若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是奇数;

③若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是奇数;④若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是偶数. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(2)若 n 是大于 1 的整数,则 (A)一定是偶数 (C)是偶数但不是 2 (B)必然是非零偶数

的值(

).

(D)可以是偶数,也可以是奇数
2

(3)已知关于 x 的二次三项式 ax +bx+c(a、b、c 为整数),如果当 x=0 与 x=1 时, 二次三项式的值都是奇数,那么 a( ) (A)不能确定奇数还是偶数 (C)必然是奇数 3.试证明 1
1986

(B)必然是非零偶数 (D)必然是零

+9

1986

+8

1986

+6

1986

是一个偶数.

4.请用 0 到 9 十个不同的数字组成一个能被 11 整除的最小十位数. 5.有 n 个整数,共积为 n,和为零,求证:数 n 能被 4 整除 6.在一个凸 n 边形内,任意给出有限个点,在这些点之间以及这些点与凸 n 边形顶 点之间,用线段连续起来,要使这些线段互不相交,而且把原凸 n 边形分为只朋角 形的小块,试证这种小三我有形的个数与 n 有相同的奇偶性. 7.一个四位数是奇数,它的首位数字泪地其余各位数字,而第二位数字大于其它各 位数字,第三位数字等于首末两位数字的和的两倍,求这四位数.

8.试证:3n+1 能被 2 或 22 整除,而不能被 2 的更高次幂整除.

课后练习答案
1.(1)30.(最小两位奇数是11,最大数与最小数同为奇数) (2)180.设第一个偶数为x,则后面四个衣次为x+2,x+4,x+6, x+8. (3)不能. 2.B.B.A

3.1 是奇数1,9 故最后为偶数.

1986

1986

的个位数字是奇数1,而8

1986

,6

1986

都是偶数,

4.仿例5 1203465879. 5.设a1,a2,?,an满足题设即a1+a2+?+an=0 ①

a1·a2??an=n ②。假如n为奇数,由②,所有ai皆为奇数,但奇数个奇 数之和为奇数,故这时①不成立,可见n只能为偶数.由于n为偶数,由②知ai 中必有一个偶数,由①知ai中必有另一个偶数.于是ai中必有两个偶数,因而由 ②知n必能被4整除. 6.设小三角形的个数为k,则k个小三角形共有3k条边,减去n边形的n条边

及重复计算的边数扣共有

(3k+n)条线段,显然只有当k与n有相同的奇偶

性时,

(3k-n)才是整数.

7.设这个四位数是

由于1≤a<d,d是奇数所以d≥3于是c=2(a+

d) ≥8, 即c=8或c=9. 因c是偶数, 所以c=8, 由此得a=1, d=3. 又 因b>c,所以b=9因此该数为1983.

8.当n为奇数时,考虑(4-1)n+1的展开式;当n为偶数时,考虑(2 +1)n+1的展开式.

例题答案:
1. 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数, 乘法和除法算式中至少各有二 个偶数,故这 12 个整数中至少有六个偶数. 2.分析 由于 1988y 是偶数,由第一方程知 p=x=n+1988y,所以 p 是偶数,将其代 入第二方程中,于是 11x 也为偶数,从而 27y=m-11x 为奇数,所以是 y=q 奇数,应 选(C)

? 2 ? 64

k

? 3 ? 729
k

k

? 15625

k

?1
k

? 2 ? ( 7 ? 9 ? 1)

? 3 ? ( 7 ? 104 ? 1 )

? ( 7 ? 2232 ? 1 )

k

?1

? 2 ?7 ? A ? 2 ? 3?7 ? B ? 3 ? 7 ?C ?1?1 ? ( 2 ? 3 ? 1 ? 1 )(mod 7 ) ? 0 (mod 7 )
? 对于 ? k ? 0 , 且 k ? Z , 2
6 k ?1

? 3

6 k ?1

? 5

6k

? 1 都能被 7 整除;

注: a ? 1 (mod b ) ? a

k

? 1 (mod b ), k ? Z

?

3.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同,所以在题设数字前面
都添上正号和负号不改变其奇偶性,而 1+2+3+?+1992= 为偶数 于是题设的代数和应为偶数. =996×1993

4.解 设 70 个数依次为 a1,a2,a3 据题意有
a1=0, a2=1 a3=3a2-a1, a4=3a3-a2, a5=3a4-a3, a6=3a5-a4, ?????? 由此可知: 当 n 被 3 除余 1 时,an 是偶数; 当 n 被 3 除余 0 时,或余 2 时,an 是奇数,显然 a70 是 3k+1 型偶数,所以 k 必须是 奇数,令 k=2n+1,则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 偶 奇 奇 偶 奇 奇

5.证明 由①式可知
11111(a-b)=ab+4×617 ∵a>0,b>0,∴a-b>0 首先,易知 a-b 是偶数,否则 11111(a-b)是奇数,从而知 ab 是奇数,进而知 a、b 都是奇数,可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数,这与式①矛盾 其次, a-b 是偶数, 从 根据②可知 ab 是偶数, 进而易知 a、 皆为偶数, b 从而 ab+4×617 是 4 的倍数,由②知 a-b 是 4 的倍数. ②

6. 解 按题设程序,这是不可能做到的,考察下面填法: 在黑板所示的 2×2 的正方形表格中,按题设程序“变号”,“+”号或者不变,或 者变成两个.

表(a)中小正方形有四个“+”号, 实施变号步骤后, “+”的个数仍是偶数; 但表(b) 中小正方形“+”号的个数仍是奇数,故它不能从一个变化到另一个. 显然,小正方形互变无法实现,3×3 的大正方形的互变,更无法实现.
7. 解 由于 2×5-1=32,2×13-1=52,5×13-1=82,因此,只需证明 2d-1,5d-1,13d -1 中至少有一个不是完全平方数. 用反证法,假设它们都是完全平方数,令 2d-1=x2 ① 2 5d-1=y ② 2 13d-1=z ③ * x,y,z∈N 由①知,x 是奇数,设 x=2k-1,于是 2d-1=(2k-1)2,即 d=2k2-2k+1,这说 明 d 也是奇数.因此,再由②,③知,y,z 均是偶数. 设 y=2m,z=2n,代入③、④,相减,除以 4 得,2d=n2-m2=(n+m)(n-m),从而 n2-m2 为偶数,n,m 必同是偶数,于是 m+n 与 m-n 都是偶数,这样 2d 就是 4 的倍数,即 d 为 偶数,这与上述 d 为奇数矛盾.故命题得证. 8.首先易证: 2
2

k

? 2 . 从而 k ? m (因为 d ? a ? b ? c , 于是 ( a ? d ) 2 ? ( a ? d ) 2 ? 4 ad
m
2

? ( b ? c ) ? 4 bc ? ( b ? c )

.再由 ad

? bc , d ? 2

k

? a,c ? 2

m

? b 可得 b ? 2

m

? a ?2

k

? b

2

? a ,
2

因而 2 m ( b

? a ?2

k?m

) ? ( b ? a )( b ? a )


2
k?m

显然, b

? a,b ? a

为偶数, b ?

a

为奇数,并且 b

? a和 b ? a

只能一个为 4n 型

偶数,一个为 4n+2 型偶数(否则它们的差应为 4 的倍数,然而它们的差等于 2a 不是 4 的倍数), 因此,如果设 b (Ⅰ) ? b ? ? 由 ef
? b ? 2
? 2
k?m

a ? e? f

,其中 e,f 为奇数,那么由①式及 b ? a , b ? a 的特性就有

a ? 2

m ?1

?b ? a ? 2 f .
k?m

e , 或(Ⅱ) ? b ? a ? 2 f , ? m ?1 e. ?b ? a ? 2

a ? b ? 2a ? b ? a ? 2 f

得 e=1,

从而 f

? b ? 2
m ?1

k?m

a . 于是(Ⅰ)或(Ⅱ)分别变为

? , ?b ? a ? 2 ? k?m ?b ? a ? 2 (b ? 2 a) ?

或 ?b ?
m ?1

?

? a ? 2 (b ? 2
m ?1

k?m

a ),

?b ? a ? 2 ?

解之,得 a ? 2 k ? m ? 1

? 2

.因 a 为奇数,故只能 a=1.

9.证明:由于每个 a i 均为 1 和-1, 从而题中所给的等式中每一项 a i a i ? 1 a i ? 2 a i ? 3 也只取 1 或- 1,而这样的 n 项之和等于 0,则取 1 或-1 的个数必相等,因而 n 必须是偶数,设 n=2m. 再进一步考察已知等式左端 n 项之乘积=( a 1 a 2 ? a n )4=1,这说明,这 n 项中取-1 的 项(共 m 项)也一定是偶数,即 m=2k,从而 n 是 4 的倍数.


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