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南充高中2014年面向省内外自主招生考试数学试题


南充高中 2014 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 题
(时间:120 分钟 求,请将正确选项填在答题卡对应题中) 1.已知关于 x 的分式方程 A .K> 满分 150 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分。每小题中的四个选项中,有且只有一个符合题目要

1 或 K≠1 2

x?k k ?

? 1 的解为负数,则 k 的取值范围是【 】 x ?1 x ?1 1 1 1 B.K> 且 K≠1 C. K< 且 K≠1 D. K< 或 K≠1 2 2 2
y 6

2.如图,是一对变量满足的函数关系的图象.有下列 3 个不同的问题情境: ①小明骑车以 40 0 米/分的速度匀速骑了 5 分钟, 在原地休息了 4 分钟,然后以 500 米/分的速度 匀速骑回出发地,设时间为 x 分钟,离出发地 的距离为 y 千米; ②有一个容积为 6 升的开口空桶,小亮以 1.2 升/ 分的速度匀速向这个空桶注水,注 5 分钟后停 止,等 4 分钟后,再以 2 升/分的速度匀速倒空 桶中的水,设时间为 x 分钟,桶内的水量为 y 升; ③矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,动点 P 从点 A 出发,依次沿对角 线 AC、边 CD、 边 DA 运动至点 A 停止,设点 P 的运动路程为 x,当点 P 与点 A 不重合时,y=S
△ABP

O

5

9

12 x

;当点 P 与点 A 重合时,y=0,其中,符合图中所示函数关系的问题情境
(C) 2 (D)3

的个数为【 】 (A)0 (B)1 3.如图,正方形 ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分 EOFB, GHMN 都是正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟,将随机落 在这块绿化带上,则小鸟不落在花圃上的概率为【 】

1 17 17 19 B. C. D. 2 36 32 36 4.某中学对 2011 年、2012 年、2013 年该校住校人数统计时 发现,2012 年比 2011 年增加 20%,2013 年比 2012 年减少 20%,那么 2013 年比 2011 年【 】 A.不增不减 B.减少 4% C.增加 4% D.减少 2% 5.在平面直角坐标系中,已知点 E(-4,2),F(-2,-2),以原点 O 为位似中心,相似
A. 比为

1 ,把△EFO 缩小,则点 E 的对应点 E′的坐标是【 2 A、(-2,1) B、(-8,4)



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C、(-8,4)或(8,-4)
2

D、(-2,1)或(2,-1) 】 (C) y ? z ? 2 x ? 0
17.44% ? 34.40% 2000年某市受教育人口统计图 2010 年某市受教育人口统计图

6.若实数 x、y、z 满足 ( x ? z) ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0 .则下列式子一定成立的是【 (A) x ? y ? z ? 0 (B) x ? y ? 2 z ? 0 7.第六次全国人口普查资料显示,2010 年某市总人口为 786.5 万,下图中表示某市 2010 年接受初中教育这一类别 的数据丢失了,那么,结合图中的信息,可推知 2010 年某 市接受初中教育的人数为【 A.24.94 万 C.270.64 万 】 B.255.69 万 D.137.21 万
3.17%

(D) z ? x ? 2 y ? 0
12.49%

8.一次函数 y=ax+b(a≠0)、二次函数 y=ax2+bx 和反比例函数

y?

k (k ? 0) 在同一直 角坐标系中的图像如图所示,A 点的坐 x
】 A.b=2a+k C.a>b>0 B.a=b+k D.a>k>0

标为(-2,0),则下列结论中,正确的是【

9、 如图, 李明同学把一个直角边长分别为 6cm,8cm 的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚(顺时针 方向),顶点 A 的位置变化为 A ? A1 ? A2 , 其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住,使 纸 板 一 边 A2C1 与 桌 面 所 成 的 角 恰 好 等 于 ?BAC , 则 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路程为 【 】 B. 16? cm D. 8? cm
B D A C
第10题图

A. 16 2 cm C. 4 29 cm

10.如图,⊙A 与⊙B 外切于点 D,PC,PD,PE 分别 是圆的切线,C,D,E 是切点,若∠CED= x °, ∠ ECD= y °,⊙ B 的半径为 R,则 DE 的长度是 【 】 A.
?

E

? ?90 ? x ?R

90 ? ?180 ? x?R C. 180

90 ? ?180 ? y ?R D. 180

B.

? ?90 ? y ?R

P

二、填空题(每题 5 分,共 40 分,请将答案直接填在答题卡对应题中)

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11.使函数 y ?

x?2 ?

1 有意义的自变量 x 的取值范围是 ( x ? 1)(x ? 2)

.

12、对正实数 a , b 作定义 a ? b ? ab ? a ? b 若 4 ? x ? 44 ,则 x ? 13.如下左图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,以顶点 A、B 为圆心,2 为半径的两弧交 于点 E,以顶点 C、D 为圆心,2 为半径的两弧交于点 F,则 EF 的长为 ;

14.如上右图,点 B1 是面积为 1 的等边△ OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边,构造 等边△ OB1A1(点 O,B1,A1 按逆时针方向排列) ,称为第一次构造;点 B2 是△ OB1A1 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边△ OB2A2(点 O,B2,A2 按逆时针方向 排列) , 称为第二次构造; 以此类推, 当第 n 次构造出的等边△ OBnAn 的边 OAn 与等边△ OBA 的边 OB 第一次重合时,构造停止.则构造出的最后一个三角形的面积是 15.规定:sin(–x)= –sin x ,cos(–x)= cos x, sin(x+y)=sinx· cosy+cosx· siny,据此判断下列等式成立的是 的序号). 1 6+ 2 ①cos (–60° )= – ; ② sin75° = 2 4 ③sin2x=2sinx· cosx; ④sin(x–y)=sinx· cosy–cosx· siny, xy yz 4 zx 4 16.已知三个数 x, y, z,满足 ? ?2, ? , ?? , x? y y?z 3 z?x 3 则 (写出所有正确 .

xyz ? xy ? xz ? yz

17.如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,AD=4,点 P 是边 AB 上一点, 若△ APD 与△ BPC 相似,则满足条件的点 P 有 个. 18.已知 ai ? 0 ( i =1,2, ? ,2012)满足

a1 a a a a ? 2 ? 3 ? ? ? 2011 ? 2012 ? 1968 ,使直线 y ? ai x ? i ( i =1,2, ? ,2012)的图 a1 a2 a3 a2011 a2012
像经过一、二、四象限的 ai 概率是

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三、解答题(本大题共 7 小题,共 70 分。解答题或证明题要写出推演步骤) 19 ( 6 分 ) 、 先 化 简 , 再 求 值 :

3 x2 ? 4 x ? 4 (x ?1 ? )? x ?1 x ?1

,其中

x ? ?22 ?

1 2 ?1

? 2(tan 45? ? cos30?)0

20.(10 分)为了鼓励小强勤做家务,培养他的劳动意 识,小强每月的生活费用都是根据上月他的家务劳动 时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的。若 设小强每月的家务劳动时间为 x 小时,该月可得(即 下月他可获得)的总费为 y 元,则 y(元)和 x(小时) 之间的函数图像如图所示。 (1)根据图像,请你写出小强每月的基本生活费为多少 元?父母是如何奖励小强家务劳动的? (2)写出当 0≤x≤20 时,相对应的 y 与 x 之间的函数关 系式; (3)若小强 5 月份希望有 250 元费用,则小强 4 月份需做家务多少时间? 21.(10 分)阅读下列材料:我们知道,一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,而 y=kx+b 经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C 是常数,且 A、B 不同时为 0).如图 1,点 P(m,n)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离(d)计算公式是: A ? m ? B? n ? C d= . A 2 ? B2

5 1 5 1 x ? 的距离 d 时,先将 y ? x ? 化为 5x-12y 12 6 12 6 5 ? 1 ? ? ?12 ? ? 2 ? ? ?2 ? 21 = . -2=0,再由上述距离公式求得 d= 2 2 13 5 ? ? ?12 ?
例:求点 P(1,2)到直线 y ? 解答下列问题:
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如图 2 ,已知直线 y ? ? x ? 4 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B ,抛物线

4 3

y ? x 2 ? 4x ? 5 上的一点 M(3,2).
(1)求点 M 到直线 AB 的距离. (2)抛物线上是否存在点 P,使得△PAB 的面积最小?若存在,求出点 P 的坐标 及△PAB 面积的最小值;若不存在,请说明理由. 22 (10 分) 如果方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个根是 x 1 , x2 , 那么 x1 ? x2 ? ? p, x1.x2 ? q, 请 根据以上结论, 解决下列问题: (1)已知关于 x 的方程 x2 ? mx ? n ? 0,(n ? 0), 求出一个一元二次方程, 使它的两个根分 别是已知方程两根的倒数;

a b ? 的值 ; b a (3)已知 a、b、c 满足 a ? b ? c ? 0, abc ? 16, 求正数c的最小值 。
(2)已知 a、 b 满足 a2 -15a-5 ? 0, b2 -15b-5 ? 0 ,求

23(10 分)如图,已知 A、B 是线段 MN 上的
两点, MN ? 4 , MA ? 1 , MB ? 1.以 A 为中心顺 时针旋转点 M, 以 B 为中心逆时针旋转点 N, 使 M、 N 两点重合成一点 C,构成△ABC,设 AB ? x . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积? 24.(12 分) 如图,梯形 中, , , , , , 点 为线段 上一动点 (不 与点 重合) , 关于 的轴对称图形为 , 连接 面积为 (1)当点 ,设 . 落在梯形 的中位线上时,求 的值; , 的面积为 , 的

(2)试用 表示 (3)当

,并写出 的取值范围; 相切时,求 的值.

的外接圆与

25. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 O 是原点,矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的 正半轴上,顶点 C 在 y 的正半轴上,点 B 的坐标是(5,3) ,抛物线 y= x +bx+c 经过 A、 C 两点,与 x 轴的另一个交点是点 D,连接 BD. (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是抛物线对称轴上的一点,以 M、B、D 为顶点的三角形的面积是 6,求点 M 的坐标;
2

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(3)点 P 从点 D 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 D→B 匀速运动,同时点 Q 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→A→D 匀速运动,当点 P 到达点 B 时,P、Q 同时 停止运动,设运动的时间为 t 秒,当 t 为何值时,以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角 形?请直接写出所有符合条件的值.

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