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高考解排列组合问题的常用方法课件


新泰一中

闫辉

排列组合应用题解法综述
计数问题中排列组合问题是最常见的, 由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵 活多样, 不同解法导致问题难易变化也较 大,而且解题过程出现“重复”和“遗漏” 的错误较难自检发现。因而对这类问题归 纳总结,并把握一些常见解题模型是必要 的。

知识结构网络图:

/>排列
基 本 原 理

排列数公式

组合数公式 组合

应 用 问 题

组合数性质

两个原理的区别与联系:
名称 内容

分类(加法)原理
做一件事,完成它可以有n类办法, 第一类办法中有m1种不同的方法, 第二类办法中有m2种不同的方法…, 第n类办法中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法

分步(乘法)原理
做一件事,完成它可以有n个步骤, 做第一步中有m1种不同的方法, 做第二步中有m2种不同的方法……, 做第n步中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1· 2· 3·…·mn 种不同的方法. m m

定 义

相同点 不同点

做一件事或完成一项工作的方法数
直接(分类)完成 间接(分步骤)完成

分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法 都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法 完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.

1.排列和组合的区别和联系:
名称 定义 排 列 组 合
从n个不同元素中取出m个元 素,按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素,把它并成一组

种数
符号

所有排列的的个数

所有组合的个数
m Cn

A
m An ?

m n

计算 公式 关系
性质

Anm ? n(n ? 1) ??? (n ? m ? 1)
n! (n ? m)!

A m An ? nA

n An ? n ! m n m?1 n?1

?C

n( n ? 1) ? ? ? ( n ? m ? 1) C ? n! m! m 0 0! ? 1 C n ? m!(n ? m )! C n ? 1 m m n m
m n

?A

m n C n ? C n ? m , nm?1 ? Cnm ? C nm ?1 C

2.解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题,往往类与步交 叉,因此必须掌握一些常用的解题策略

判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有 组合问题 3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组,共有多少种分法??合问题 组 (4)10人聚会,见面后每两人之间要 组合问题 握手相互问候,共需握手多少次? ? (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 有多少种不同的方法? (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景

点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题

3.合理分类和准确分步
解排列(或)组合问题,应按元素 的性质进行分类,分类标准明确,不重 不漏;按事情的发生的连续过程分步, 做到分步层次清楚.

例: 6个同学和2个老师排成一排照相, 2个老 师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾, 共有多少种不同的排法?
分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:
5 1)若甲在排尾上,则剩下的5人可自由安排,有 A5 种方法.
1 2)若甲在第2、3、6、7位,则排尾的排法有 A4 种,1位的排法 4 1 A4 种,根据分步计数 有 A4 种, 第2、3、6、7位的排法有 1 1 4 原理,不同的站法有 A4 ? A4 ? A4 种。

3)再安排老师,有2种方法。 根据分步及分类计数原理,不同的站法共有
5 1 1 4 2( A5 ? A4 ? A4 ? A4 ) ? 1008 种) ( .

练习题
(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字 且能被五整除的五位数?

分类:个位数字为5或0:
4 A5 个位数为0:

个位数为5: 4 ? A4 A1 3

4 1 3 A5 ? A4 ? A4 ? 216

(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数?
分类:
1 4 1 3 1 2 A2 A5 ? A3 ? A4 ? A2 ? A3 ? 1 ? 325

引申1:31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重 复数字的五位数中从小到大第几个数?
方法一:(排除法) A5
1 4 ? A5 ? 325 ? 275

方法二:(直接法) 2 A

4 5

? A ? A ? 2 ? A ? 1 ? 275
3 4 2 3 1 2

引申2:由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的

五位数中大于31250,小于50124的数共有多少个?

(3)有不同的数学书7本,语文 书5本,英语书4本,由其中取出 不是同一学科的书2本,共有多少 种不同的取法?
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素 (7×5 + 7×4 + 5×4 = 83) 的性质进行分类,按事件发生的连续过程分 步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不 漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

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基本方法 (一) 特殊元素和特殊位置问题

特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 1 C3 先排末位共有___ 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 C4 然后排首位共有___ 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 3 1 最后排其它位置共有___C1 3 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 A4 C3 4 处理其它位置。若有多个约束条件,往往是 1 1 A3 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

例2 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字
的三位数,其中偶数共有( B ) A.24 B.30 C.40 D.60 分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类; 1) 0排在末尾时,有 A 2 个; 4 2) 0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排 1 1 1 十位有 A 2A 3A 3 个; 由分类计数原理,共有偶数 30 个.

小结:1、“在”与“不在”可以相互转化。 解决某些元素在某些位置上用“定位法”,解 决某些元素不在某些位置上一般用“间接法” 或转化为“在”的问题求解。

2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏” 现象,而重”、“漏”错误常发生在该不该 分类、有无次序的问题上。为了更好地防 “重”堵“漏”,在做题时需认真分析自己 做题思路,也可改变解题角度,利用一题多 解核对答案

基本方法 (二)

相邻相间问题

1.相邻元素捆绑策略 例:7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素,同时丙丁也看成一个 复合元素,再与其它元素进行排列, 同时对相邻元素内部进行自排。 甲乙 丙丁

由分步计数原理可得共有
种不同的排法

A

5 2 2 =480 A2 A2 5

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.

2.不相邻问题插空策略 例:一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 5 种, A5 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4不同的方法 种 由分步计数原理,节目的 6

A

5 不同顺序共有 5

AA

4 6种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素 相 相 独 独 独 插入中间和两端

练习
(1)三个男生,四个女生排成一排,男生、女 生各站一起,有几种不同方法? 捆绑法: A ? A ? A
3 3 4 4 2 2

(2)三个男生,四个女生排成一排,男生之间、 女生之间不相邻,有几种不同排法? 插空法: A ? A
3 3 4 4

(3)用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4 相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共 有___________个.(用数字作答)

(3)(2005 · 辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻, 3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻, 这样的八位数共有___________个.(用数字作答) 将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一列 有 A33 ? 23 ? 48 种,再将7、8插入4个空位中的两个 2 有 A4 ? 12 种,故有 48 ? 12 ? 576 种.

(4)七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、 乙都不与丙相邻,则不同的排法有( )种 960种 (B)840种 (C)720种 (D)600种
解:

A ? A ? A ? 960
2 2 4 4 2 5

另解:

A ? A ? A ? 960
2 2 5 5 1 4

(5)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中 恰好有3枪连在一起的情形的不同种数 为( 20 )

小结:以元素相邻为附加条件的 应把相邻元素视为一个整体,即 采用“捆绑法”;以某些元素不 能相邻为附加条件的,可采用 “插空法”。“插空”有同时 “插空”和有逐一“插空”,并 要注意条件的限定.

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基本方法 (三) 定序问题 定序问题倍缩、空位、插入策略

定序问题倍缩、空位、插入策略 例:7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是: 3 A3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外 4 A7 种方法,其余的三个 的四人就坐共有 4 1 种坐法,则共有 A7 种 位置甲乙丙共有 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?

C

5 10

练习:期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考, 有多少种不同的安排顺序?
1 9 A9 2

结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.

基本方法 (四) 分房问题 又名:住店法,重排问题求幂策略

例: 七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一 人获得,获得冠军的可能的种数有( ) A.

7

5

B.

5

7

C

A

5 7

D. C 5 7

分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列, 将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个 5 “客”有7种住宿法,由乘法原理得 7 种。 注:对此类问题,常有疑惑,为什么不是

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 用分步计数原理看,5是步骤数,自然是指数。 对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 回目录 m

5

7

呢?

练习题 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 ( 7 )

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基本方法 (五)

环排问题和多排问题

环排问题线排策略 例1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成 圆形没有首尾之分,所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即(5-1)!

一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m

练习题 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈? 60

多排问题直排策略 例2.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 2 A4 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 1 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 A4 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____种,则共有_________种. A5

一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排
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练习题

有两排座位,前排11个座位,后排 12个座位,现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐,并且这2人 不左右相邻,那么不同排法的种数 346 是______

基本方法 (六) 小集团问题

小集团问题先整体局部策略

例:计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4 幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 端,那么共有陈列方式的种数为_______ 练习: 5男生和5女生站成一排照像,男生相 2 5 5 A2 A5 A5 邻,女生也相邻的排法有_______种

基本方法 (七) 元素相同问题隔板策略 1.应用背景:相同元素的名额分配问题。
2.隔板法的使用特征:相同的元素分成若干 部分,每部分至少一个。

元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额,分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个 班级,每一种插板方法对应一种分法 6 C9 共有___________种分法。 将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数), 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数 二 四 六 七 三 五 m ?1 一 为 C n ?1 班 班 班 班 班 班 班

例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会, 每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解. 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有 多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一 排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多 7 放一个,即可将白球分成8份,显然有 C11 种不同的放法, 7 所以名额分配方案有 C11 种. 结论 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组 合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体 的问题来求解.

练习
(1)将10个学生干部的培训指标分配给7个不同 的班级,每班至少分到一个名额,不同的分配方 案共有 ( C 6 ? 84 )种。
9

(2)10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 4 个,共有( )种装法。 9

C

小结:把n个相同元素分成m份每份,至 少1个元素,问有多少种不同分法的问题 m ?1 可以采用“隔板法”得出共有 n ?1 C 种.

基本方法(八) 平均分组问题除法策略

“分书问题”

平均分组问题除法策略 例: 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法? 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3种取法 ,而 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 3 2 2 2 种情况,所以分组后要一定要除以 A n (n为均 有 C 6C 4C 2 A 3 种分法。 n 分的组数)避免重复计数。

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 C CC 个队, 有多少分法? A
5 4 4 13 8 2 2 4

2.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名,则不同的安排方案种数为______

CC A
4

2

2

2 6

A

2 2 2

? 90

基本方法(九) 间接法解题 正难则反总体淘汰策略

例1.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 5 C43 种,正副班长,团支部 解 43人中任抽5人的方法有 5 书记都不在内的抽法有C40 种,所以正副班长,团支部书 5 5 记至少有1人在内的抽法有 C43 ? C40 种.

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.

例2:将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列 车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上, 那么不同的停放方法有( ) (A)120种 (B)96种 (C)78种 (D)72种
解:

A ? A ? A ? A ? 78
4 4 1 3 1 3 3 3

A ? 2 A ? A ? 78
5 5 4 4 3 3

练习
五人从左到右站成一排,其中甲不站排头,乙不站第 二个位置,那么不同的站法有( )
A.120 直接 B.96 C.78 D.72

4 ? 1 1 3 ? 78种 A 4 A3A3A3
5 5 4 4 3 3

间接A ? 2 A ? A ? 78

分清排列、组合、等分的算法区别
例 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一 件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人, 其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? (3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份, 每份2件, 有多少种分法?
1 2 3 C10 ? C9 ? C7 ? 12600 解:(1)

1 2 3 3 (2) C10 ? C9 ? C7 ? A3 ? 75600

(3)

6 2 2 2 1 C10 ? A3 (C6 ? C4 ? C2 ) ? 3150
3

(C C C / A )

2 10

2 8

2 6

3 3

十、构造模型策略

例. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 3 C5 有________ 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队 模型,装盒模型等,可使问题直观解决

练习题
某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右 两边都有空位,那么不同的坐法有多少种? 120

基本方法(十一) 先选后排问题

排列组合混合问题先选后排策略 例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 C5 有__种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____种方法. A4 2 4 C5 A4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?

练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 192 参加,则不同的选法有________ 种

先选后排问题的处理方法

3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所 学校为学生体检,每校分配 1 名医生

和 2 名护士,不同的分配方法共有多
少种? 解法一:先组队后分校(先 分堆后分配) 2 2 3

C6 C4 ? P3 ? 540

解法二:依次确定到第一、 第二、第三所学校去的医生和 护士.

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540
1 3 2 6 1 2 2 4

练习 某学习小组有5个男生3个女生,从中 选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动,每 项活动至少有1人参加,则有不同参赛方法 ______种.

解:采用先组后排方法:

C ? C ? C ? A ? 1080
3 5 1 3 2 4 3 3

小结:本题涉及一类重要问题:问 题中既有元素的限制,又有排列的 问题,一般是先元素(即组合)后 排列。

基本方法(十二) 实验法(穷举法),(枚举法)

实验法(穷举法) 题中附加条件增多,直接解决困难时,用实验逐 步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的 四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法种数有( ) A.6 B.9 C.11 D.23

分析:此题考查排列的定义,由于附加条件较多,解法较为困难, 可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。如填2,则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格应填3。 若第二方格内填3,则第三方格只能填4,第四方格应填1。 同理,若第二方格内填4,则第三方格只能填1,第四方格应 填3。因而,第一格填2有3种方法。 不难得到,当第一格填3或4时也各有3种,所以共有9种。

注意区别“恰好”与“至少”
从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双 同色的手套的不同取法共有( ) (A) 480种(B)240种 (C)180种 (D)120种
1 2 1 1 解:C6 ? C5 ? C2 ? C2 ? 240

小结:“恰好有一个”是“只有一个”的意思。 “至少有一个”则是“有一个或一个以上”,可 用分类讨论法求解,它也是“没有一个”的反面, 故可用“排除法”。

练习 从6双不同颜色的手套中任取4只,其中至 少有一双同色手套的不同取法共有____种 解: C ? C ? (C ) ? 255
4 12 4 6 1 4 2

小结

本节课,我们对有关排列组合的几种常见的 解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学 习中的难点,通过我们平时做的练习题,不 难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易 挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难 以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同 的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的 问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为 后续学习打下坚实的基础。

排列组合应用题解法综述(目录)
基本概念和考点
合理分类和准确分步 特殊元素和特殊位置问题 相邻相间问题 定序问题 分房问题 环排、多排问题 构造模型策略 平均分组问题 先选后排问题 实验法(枚举法) 其它特殊方法

小集团问题

高考对这部分的要求还是比较高的.要重视 两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的 应用.值得提醒地是:计数模型不一定是排列或 组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数 方法,不可废弃.


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