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四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)


四川省绵阳市 2015 届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

第 I 卷(选择题,共 50 分)
【试卷综析】 本套试卷能从学科结构上设计试题, 已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块, 同时,试卷突出了学科的主干内容,集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导 数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例, 也达到了必要的考查深度. 本套试卷没有刻 意追求覆盖面,还有调整和扩大的空间,注重了能力的考查,特别是运算能力,逻辑思维能 力和空间想象能力的强调比较突出,实践能力和创新意识方面也在努力体现. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 4 个选项中,只有 一个符合题目要求的.
2 2 【题文】1、已知集合 A ? x ? Z x ? 1 ? 0 , B ? x x ? x ? 2 ? 0 , 则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

A. ?

B. ?? 1?

C. ?0? A1

D. ?2?

【知识点】集合运算.

【答案解析】B 解析:因为 A={-1,0,1}, B={-1,2},所以 A ? B ? ?? 1?,故选 B. 【思路点拨】化简集合 A、B,从而求得 A ? B . 【题文】2、命题 "?x ? (0,??),2 x ? 1" 的否定是( A. " ?x0 ? (0,??),2
x

)

x0

? 1"

B. " ?x0 ? (0,??),2
x

x0

? 1"

C. "?x ? (0,??),2 ? 1"

D. "?x ? (0,??),2 ? 1"

【知识点】含量词的命题的否定. A3 【答案解析】B 解析:命题 "?x ? (0,??),2 x ? 1" 的否定是 " ?x0 ? (0,??),2 【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论. 【题文】 3、 设各项均不为 0 的数列 ?an ?满足 an?1 ? 2an (n ? 1) , 若 a2 a4 ? 2a5 , 则 a3 ? ( A. 2 B.2 C. 2 2 D3 D.4 )
x0

? 1" ,故选 B.

【知识点】等比数列.

【答案解析】D 解析:由 an?1 ? 2an (n ? 1) 知数列 ?an ? 是以 2 为公比的等比数列,因为

a2 a4 ? 2a5 ,所以 a1q ? a1q3 ? 2a1q4 ? a1 ? 2 ,所以 a3 ? 4,故选 D.
【思路点拨】由已知条件确定数列 ?an ?是等比数列,再根据 a2 a4 ? 2a5 求得 a1 ,进而求 a3 . 【题文】4、如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AD ? DB ? ( A. 3 B. ? 3 C.3 D.-3 )

【知识点】向量的数量积.

F3

【答案解析】D 解析:因为 AD ? AB ? BD, AB ? BD , 所以 AD ? DB ? AB ? BD ? DB ? AB ? DB ? BD ? DB ? 0 ? BD ? ?3 ,故选 D. 【思路点拨】利用向量加法的三角形法则,将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量 的数量积. 【题文】5、已知 cos( A.

?

?

2

?

18 25

B. ?

24 25

3 ,那么 sin 2 x ? ( 4 5 7 7 C. ? D. 25 25 ? x) ?
C6 C2

)

【知识点】二倍角公式;诱导公式. 【答案解析】C 解析:因为 cos(

?
4

? x) ?

3 ,所以 5

7 7 ?? ? ?? ? ?? ? cos 2 ? ? x ? ? 2cos 2 ? ? x ? ? 1 ? ? ,即 cos ? ? 2 x ? ? sin 2 x ? ? ,故选 C. 25 25 ?4 ? ?4 ? ?2 ?
【思路点拨】利用二倍角公式求得 cos ?

?? ? ? x ? 值,再用诱导公式求得 sin2x 值. ?2 ?

?x ? y ? 1 ? 0 ? 【题文】6、已知 x、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】简单的线性规划. E5

)

【答案解析】B 解析:画出可行域如图: 平移直线 z=2x-y 得 ,当此直线过可行域中的点 A(1,0)时 2x-y 有最大值 2,故选 B. 【思路点拨】设目标函数 z=2x-y,画出可行域平移目标函数得点 A(1,0)是使目标函数取得

最大值的最优解. 【题文】7、在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cosx 成立的 x 取值范围是( )

A. ?

? ? 7? ? , ?4 4 ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?4 4 ? ?

C. ?0,

? 5? ? ? 4? ?
C1

D. ?0,

? ? ? ? 7? ? ? ? ,2? ? ? ? 4? ? 4 ?

【知识点】三角函数不等式的解法.

【答案解析】A 解析:当 x ? ? 0, ? ? 时,不等式为 sinx ? cosx,解得 x ? ? 当 x ? ?? ,2? ? 时,不等式为-sinx ? cosx 即 sinx+cosx ? 0,解得 x ? ? ? ,

?? ? ,? ; ?4 ? ?

? ?

7? ? ?, 4 ?

综上得 x ? ?

? ? 7? ? ,故选 A. , ?4 4 ? ?

【思路点拨】根据含绝对值的不等式的解法,通过讨论 x 的取值范围,去掉绝对值,然后利 用单位圆及三角函数线,确定结论. 【题文】 8 、已知 f ( x) 的定义在 ?0,??? 的函数,对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有

x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) x1 ? x2

? 0 ,记 a ?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则( , b ? ,c ? 0.2 2 2 0.2 log2 5
D. c ? b ? a

)

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b 【知识点】函数的单调性. B3

【答案解析】C 解析:因为对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有

x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) x1 ? x2

?0,

x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? x1 x2 x1 x2 即对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有 ? ? 0 ,所以函 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x) 是 ?0,??? 上的减函数,因为 0.22 ? 20.2 ? log 2 5 ,所以 b>a>c,故选 C. x f ( x) 【思路点拨】构造函数 h ? x ? ? ,根据条件可以判断它是 ?0,??? 上的减函数,由此可 x
数 h ? x? ? 以判断 a,b,c 的大小关系. 【 题 文 】 9 、 记 函 数 f ( x) ?

1 3 1 2 1 x ? x ? 在 ?0,??? 的 值 域 M , g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? a 在 3 2 2
)

?? ?,???的值域为 N ,若 N ? M ,则实数 a 的取值范围是(

A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ?

1 3

D. a ?

1 3

【知识点】函数的值域;集合关系.

A1 B1

【答案解析】C 解析:因为 f ?( x) ? x2 ? x ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? ? ??,0?

?1, ??? ;

由 f ?( x) ? 0 ? x ? ? 0,1? ,所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 所以 M= ? , ?? ? ,又 N= ?a, ??? ,所以若 N ? M ,则实数 a 的取值范围是 a ?

?1 ?3

? ?

1 ,故选 C. 3

【思路点拨】利用导数求出函数 f(x)在 ?0,??? 的值域 M,再求出函数 g(x)的值域 N,进而利用

N ? M 求得 a 范围.

? ? ?sin( x) ? 1, x ? 0 【题文】 10、 已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至 2 ? ?loga x(a ? 0, 且a ? 1),x ? 0
少有 3 对,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? ? 5 ,1? ? ?
B8

C. ?

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ?

D. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

【知识点】函数的图像.

【答案解析】A 解析:只需函数 y ? loga (? x)(0 ? a ? 1), x ? 0 与函数

?? y ? sin ? ?2

? x ? ? 1, x ? 0 至少有 3 个交点,所以 loga 5 ? ?2 ? loga a?2 ,所以 ?
? 5? 5 5 ,从而 a ? ? 0, ?a? ? 5 ? ? ,故选 A. 5 5 ? ?

a ?2 ? 5 ? ?

【思路点拨】 问题转化为函数 y ? log a (? x)(0 ? a ? 1), x ? 0 与函数 y ? sin ?

?? ? x ? ? 1, x ? 0 ?2 ?

至少有 3 个交点,由图像可知只需 loga 5 ? ?2 ? loga a?2 ,解得 a ? ? 0, 第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11、若 tan ? ? ?

? ? ?

5? ?. 5 ? ?

1 3 sin ? ? 2 cos ? ,则 = 3 2 sin ? ? cos ?

.

【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7 【答案解析】 ?

3 5

解析:因为 tan ? ? ?

1 3 sin ? ? 2 cos ? , 所以 3 2 sin ? ? cos ?

3sin ? ? 2cos ? 3tan ? ? 2 ?1 ? 2 3 cos ? ? ? ? ?? . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? 2 ? 1 5 cos ? 3
【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解. 【题文】 12 、已知向量 a ? (1,2),b ? (2,0) ,若 ? a ? b 与向量 c ? (1,?2) 共线 ,则实数

?? . 【知识点】向量共线的意义.

F1

【答案解析】-1 解析:因为 a ? (1,2),b ? (2,0) ,所以 ? a ? b = ? ? ? 2,2? ? ,又 ? a ? b 与

c ? (1,?2) 共线,所以 ?2 ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? ?1 .
【思路点拨】根据向量的坐标运算求得 ? a ? b 的坐标,再由 ? a ? b 与向量 c ? (1,?2) 共线 得关于 ? 的方程,解此方程即可. 【 题 文 】 13 、 已 知 函 数 f ' ( x) 是 函 数 f ( x) 的 导 函 数 , f ( x) ? sin x ? 2 xf ' (0) , 则

f '( ) ? 2

?

. B11

【知识点】导数及其运算.

【答案解析】-2 解析:因为 f ( x) ? sin x ? 2 xf ' (0) ,所以

f ?( x) ? cos x ? 2 f ?(0) ? f ?(0) ? cos 0 ? 2 f ?(0) ? f ?(0) ? ?1 ,所以 f ?( x) ? cos x ? 2
所以 f ' ( ) ? -2.

?

2

【思路点拨】先对函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ' (0) 求导,得到 f ?(0) 的值,进而求出 f ?( ) .

?

2

【题文】 14、 已知函数 f ( x ) ?

3x ? 2 1 2 3 10 , 则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? 2x ?1 11 11 11 11
B1

.

【知识点】函数性质求函数值.

【答案解析】15 解析:因为 f ( x ) ? 所以 f ? x ? ? f (1 ? x) ? 3 ,所以所求=

3 ?1 ? x ? ? 2 3x ? 1 3x ? 2 ,所以 f ?1 ? x ? ? , ? 2x ?1 2 ?1 ? x ? ? 1 2 x ? 1
3 ? 10 ? 15 2

【思路点拨】可以发现 f ? x ? ? f (1 ? x) ? 3 ,所以采用倒序相加法求解. 【题文】15、定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 ?a, b? 上存在 x0 (a ? x0 ? b) , 满足 f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 ?a, b? 上的“平均值函数” , x0 是它的一 b?a

个 均 值 点 . 例 如 y ? x 是 ?? 2,2? 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 , 若 函 数 ,则实数 m 的取值范围是 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1是 ?? 1,1? 上的“平均值函数” 【知识点】函数中的新概念问题. B1 【答案解析】(0,2) 解析:因为函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1是 ?? 1,1? 上的“平均值函数” ,所 .

?m?m 2 得, x0 ? 1 ? ( x0 ? 1)m ? m ? x0 ? 1 , 2 2) . 又 x0 ? (?1,1) 所以实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,
以存在 x0 ? (?1,1) 使 x0 ? mx0 ? 1 ?
2

【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出 m 关于 x0 的函数,求此函数在(-1,1)上的值 域即可. 三、解答题:本大题共 6 小时,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 【题文】16、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin wx, coswx), n ? (coswx, coswx) ,其 中 w ? 0 函数 f ( x) ? 2m ? n ?1的最小正周期为 ? . (1)求 w 的值. (2)求函数 f ( x) 在 ?

?? ? ? 上的最大值. , ?6 4? ?
F2 C7

【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. 【答案解析】(1) ? ? 1 (2)

3 ?1 2

解析:(1) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
4

) . ??????6 分

由题意知: T ? ? ,即

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .????????7 分 2?

(2) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 4 6 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin
?

? 2s i n co s ? 2co s s i n 4 3 4 3
=

?

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ??????????10 分 12 4 3 ? ?

3 ?1 .???????????????????12 分 2

【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出? 的值,再根据解析式在定义域内 求出函数的最大值. 【题文】17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f (t ) ? log2 (2 ? t ) ? t ?1 的定义域为 D (1)求 D; (2)若函数 g ( x) ? x 2 ? 2mx? m2 在 D 上存在最小值 2,求实数 m 的值. 【知识点】函数的定义域;二次函数的最值. B1 B5

2) (2) m ? 1 【答案解析】 (1) D ? [1, D ? [1, 2) .?????3 分

?2 ? t ? 0, 解析: (1) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 ?t ? 1 ? 0,

(2) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .??4 分 ①若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1 ,2) 上单调递减,不存在最小值;

? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增, ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在; ③ ? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1 ,2) 上单调递增, 此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. ??????11 分 综上: m ? 1 . ??????????????????12 分 【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域,再根据二次函数的性质求出 m. 【题文】 18 、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边, AB=5, COS ?ABC ?

1 . 5

(1)若 BC=4,求 ?ABC 的面积 S ?ABC ; (2)若 D 是边 AC 的中点,且 BD ?

7 ,求边 BC 的长. 2

【知识点】同角三角函数关系;三角形面积公式;余弦定理. 【答案解析】(I) S?ABC ? 4 6 (II) CB ? 4 . 解析:(1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

C2 C8

1 , BC ? 4 ,又 ?ABC ? (0, ? ) , 5
2 6 , 5

所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? ∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ? 4 6 .????6 分 2 2 5 (2) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,
如图,则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7, CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理: B

1 5

E

AD
C

1 BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 5 解得: CB ? 4 . ??????????????10 分
【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求 ?ABC 正弦值,再用三角形面积公式求得结论; (2)构造以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,在三角形 BCE 中利用余弦定 理求出边 BC 长. 【 题 文 】 19 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为

Sn , S3 ? 9, a3 , a5 , a8 成等比数列.
(1)求数列 ?an ?的通项公式 an 和 Sn ; (2)若 cn ? n2 ? ?an , n ? 1,2,3?, 问是否存在实数 ? ,使得数列 ?cn ?为单调递增数列?若 存在,请求出 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【知识点】等差数列及其前 n 项和;等比数列;单调递增数列的条件. D1 D2 【答案解析】(1) an ? n ? 1 , S n ?
2

D3

n2 3 ? n; (2)存在实数 ? ,且 ? ? ?3 . 2 2

解析:(1) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
? 3a1 ? d ? 9, 得: ? 2 ? 3? 2

解得: a1 ? 2,d ? 1 .

?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? ( a ? 7 d ), 1 1 ? 1

∴ an ? n ? 1 , S n ?

n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . ?????????????5 分 2 2 2
??????????????????6 分

(2) 由题知 cn ? n2 ? ? (n ? 1) . 若使 {cn } 为单调递增数列,

则 cn ?1 ? cn ? (n ? 1)2 ? ? (n ? 2) ? [n2 ? ? (n ? 1)] = 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n∈N*恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n∈N*恒成立, ????????????? 10 分

又 ? (n) ? ?2n ? 1 是单调递减的, ∴ 当 n ? 1 时, ? (n) max =-3, ∴ ? ? ?3 . ?????????????????????????12 分

【思路点拨】(1)根据已知条件可求出等差数列的首项与公差,从而求得 an 和 Sn ; (2)若数列 ?cn ?为单调递增数列,则 cn ?1 ? cn ? 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n∈N*恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n∈N*恒成立,由此得 ? 的取值范围. 【题文】 20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(e 为自然对数的底数) ,a ? 0 (1)若函数 f ( x) 恰有一个零点,证明: a ? e
a a ?1

(2)若 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 【知识点】导数的应用. B12

【答案解析】(1)见解析; (2) a 的取值集合为 {1} . 解析:(1)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .??????????1 分 由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x) min ? f (ln a) ? 0 , ??????? 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .?????????????????????? 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ????????????????????????? 6 分 (2)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,??????????????8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1 ,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ???13 分 【思路点拨】根据函数的导数可判定函数的单调性,由此得函数 f(x)只有一个最小值,因为 函数 f ( x) 恰有一个零点,所以此最小值是 0,从而证得结论; (1) f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒 成立,即函数 f(x)的最小值大于或等于 0,由此得关于 a 的不等式,再利用导数求得结论. 【题文】21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? ln x(a, b ? R) . 2

(1)若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 点 ?1, f (1)? 处的切线方程;

(2)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)设 a ? 0 ,且对任意的 x ? 0, f ( x) ? f (2) ,试比较 ln(?a) 与 ? 2b 的大小 【知识点】导数的几何意义;导数的应用;数值大小的比较. B11 B12 E1 【答案解析】(1) 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 ; (2)当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是

1 1 (0, ? ? ) ;当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, ),单调递减区间是( ,+∞); b b
当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单增区间是(0, (3) ln(?a) ? ?2b . 解析:(1) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ),单减区间是( ,+∞). 2a 2a

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x

1 , k ? f ?(1) ? 1 ,????????????????2 分 2 故 f ( x) 点( 1, f (1) )处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .?????3 分
(2)由 f ?x? ?

ax 2 ? bx ? 1 a 2 . x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2 1 ? bx (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x
①若 b≤0,

? ? ) .???5 分 由 x ? 0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
②若 b ? 0 ,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, ),单调递减区间是( ,+∞).????7 分 b b
当0 ? x ? (2) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b 2 ? 4a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 单调递减区间是( 综上所述:

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ,x2 ? . 2a 2a

b ? b 2 ? 4a ), 2a

b ? b 2 ? 4a ,+∞).??9 分 2a

? ?) ; 当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是(0,

1 1 ),单调递减区间是( ,+∞); b b

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ),单减区间是( ,+∞). 10 分 2a 2a (3)由题意知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值.
当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单增区间是(0, 由(2)知, 故

b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点, 2a

b ? b 2 ? 4a =2,整理得 ? 2b ? ?1 ? 4a . 2a 于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 ?4. x

1 1 ,当 x ? (0 , ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 4 4

当 x ? ( ,? ?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.

1 4

1 1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4 4 故 g (?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a) ? ?1 ? 4a ? ?2b ,
因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln ∴ ln(?a) ? ?2b .???????????????????????14 分 【思路点拨】 (1)利用导数的几何意义 f ( x) 点 ?1, f (1)? 处的切线方程; (2)通过讨论 a,b 的取值条件,得定义域上函数 f(x)的导函数大于 0 或小于 0 的 x 范围,就是函数 f(x)的增区 间或减区间; (3)因为对任意的 x ? 0, f ( x) ? f (2) ,所以函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值. 由(2)知, a ? 0 时,

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点,故 =2,整理得 2a 2a

? 2b ? ?1 ? 4a .所以 ln(?a) ? (?2b) = ln(?a) ? 4a ? 1,利用导数判断这个式子的符号即可.


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