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《等比数列的前n项和公式》教案与


课题:等比数列的前 n 项和
教学目标: (1)知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前 n
项和公式并能运用公式解决一些简单问题; (2)能力目标:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维 学的思维品质;

教学重点: (1)等比数列的前 n 项和公式;
(2)等比数列的前 n 项和公

式的应用;

教学难点:等比数列的前 n 项和公式的推导; 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体

教学过程: 一、复习提问
回顾等比数列定义,通项公式。

an ?q a (1)等比数列定义: n ?1 ( n ? 2 , q ? 0)
(2)等比数列通项公式:

an ? a1 q n?1 (a1 , q ? 0)

(3)等差数列前 n 项和公式的推导方法:倒序相加法。

二、问题引入:
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算

S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 263

a1 ? a2 ? a3 ? ?an
根据等差数列的定义 an?1 ? an ? d

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ?

? ?a1 ? (n-1)d ? ? ?an -(n-1)d ?

(1) (2)

(1)+(2)得: 2Sn ? n(a1 ? an )

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

探究:等比数列的前 n 项和公式是否能用倒序相加法推导?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an

发现: 由于等比数列中的每一项乘以公比 q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前 n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? qSn ?

? a1qn?2 ? a1qn?1 ? a1qn?1 ? a1qn

(1) (2)

a1q ? a1q2 ? a1q3 ?

由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。

?(1) ? (2)得: (1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn
当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导 过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式: 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 ? an q 1? q

四.知识整合:
1.等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na1

当 q ? 1 时, S n ? 2.公式特征:

a1 (1 ? q n ) a ?a q ? 1 n 1? q 1? q

⑴等比数列求和时,应考虑 q ? 1 与 q ? 1 两种情况。 ⑵当 q ? 1 时,等比数列前 n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中“知三求 一” 。 ⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个量, a1 , 五个量中“知三求二”(方程思想) 。 例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形, 依次类推⑴若一共画了7个正方形,求第7个正方形的面积? ⑵若已知所画正方形的面积和为 一个正方形的面积。 解:由题意得:每个正方形的面积构成等比数列,且 a1 ? 4 (1)

q, n, an ,

Sn ,

31 ,求一共画了几个正方形,及所画的最后 4 1 2

q?

n?7

? a7 ? a1 ? q 6 ?

1 16

n ?1 ? ?1? ? an ? 4 ? ? n ?1 ?2? ? ? an ? a1q ? n?5 n ? ? ? ? ? n 1 ? ? (2) ? a1 ?1 ? q ? ? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ?a ? 1 n ? 31 ? ? Sn ? ? ?2? ? ? ? ? 4 1? q ? ? ? 1 ?4 1? ? ? 2 1 2 答:(1)第七个正方形的面积是 cm 。 16

1、等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a ?a q ? 1 n 1? q 1? q

2、等比数列的前 n 项和推导方法:错位相减法。 3、数学思想:类比,分类讨论,方程的数学思想。

七、课后作业:
基础题:课本 P61 习题 2.5 A 组 1,2 提高题:求和( (1 ? a) ? (2 ? a2 ) ?

? (2n?1 ? an )

探究与发现:查阅网络,思考等比数列前 n 项和公式还有无其它推导方法?

八、板书设计:

2.5.1 等比数列的前 n 项和

公式:

例1

例2

特征

变式练习:

巩固练习:

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