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第4讲 直线、圆的位置关系


第4讲 【2013 年高考会这样考】 直线、圆的位置关系 1.考查直线与圆相交、相切的问题.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆 的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.考查与圆有关的量的计算,如半径、面积、弦长的计算. 【复习指导】 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系. 2.掌握圆的几何性质,通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等

直线与圆的综合问题,体会用代数法处理几何问题的思想. 基础梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: Δ>0?相交; ? 判别式 Δ=0?相切; 2 → (1)代数法:Δ= ― b― -4ac? ?Δ<0?相离. (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:d<r?相交,d= r?相切,d>r?相离. 2.圆与圆的位置关系的判定 2 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1 (r1>0), 2 ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 (r2>0),则有: |C1C2|>r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相离; |C1C2|=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切; |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含. 一条规律 过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程可用待定系数法,再利用 圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可. 一个指导 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合, “代数法”与“几 何法”是从不同的方面和思路来判断的,“代数法”侧重于“数”,更多倾向于 “坐标”与“方程”;而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性质.解题 时应根据具体条件选取合适的方法. 两种方法 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位 置关系是( A.相切 C.相交过圆心 ). B.相交但直线不过圆心 D.相离 |2×1-2-5| = 5< 22+1 解析 由题意知圆心(1, -2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= 6.且 2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心. 答案 B 2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 ). B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 解析 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设 切线方程为 y- 3=k(x-1), 即 kx-y-k+ 3=0,∴ |2k-k+ 3| 3 =2,解得 k= 3 . 2 k +1 3 ∴切线方程为 y- 3= 3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 答案 D 3.(2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为 ( A.-1 B.1 C.3 D.-3 ). 解析 由已知

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