当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2013高中数学奥数培训资料之高斯函数

2013高中数学奥数培训资料之高斯函数


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
§28 高斯函数
数论函数 y ? [x] ,称为高斯函数,又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一:对任意实数 x, [ x ] 是不超过 x 的最大整数,称 [x ] 为 x 的整数部分.与它相伴随 的是小数部分函数 y ? {x}, {x} ? x ? [ x]. 由 [x ] 、 {x} 的定义不难

得到如下性质: (1) y ? [x] 的定义域为 R,值域为 Z; y ? {x} 的定义域为 R,值域为 [0,1) (2)对任意实数 x ,都有 x ? [ x] ? {x}, 且0 ? {x} ? 1. (3)对任意实数 x ,都有 [ x] ? x ? [ x] ? 1, x ? 1 ? [ x] ? x . (4) y ? [x] 是不减函数,即若 x1 ? x 2 则 [ x1 ] ? [ x2 ] ,其图像如图 I -4-5-1;

y ? {x} 是以 1 为周期的周期函数,如图 I -4-5-2.

图Ⅰ—4—5—1

图Ⅰ—4—5—2
?

(5) [ x ? n] ? n ? [ x];{x ? n} ? {x} .其中 x ? R, n ? N . (6) [ x ? y] ? [ x] ? [ y ];{x{x} ? { y} ? {x ? y}; [

? xi ] ? ?[ xi ], xi ? R ;特别地,
i ?1 i ?1

n

n

[

na a ] ? n[ ]. b b
(7) [ xy] ? [ x] ? [ y] ,其中 x, y ? R? ;一般有 [

? xi ] ? ?[ xi ], xi ? R? ;特别地,
i ?1 i ?1

n

n

[n x ]n ? [ x], x ? R?, n ? N ? .
(8) [ ] ? [

x n

[ x] ] ,其中 x ? R?, n ? N ? . n

例题讲解
1.求证: 2 n?1 n!? n ? 2 k ?1 , 其中 k 为某一自然数.

2.对任意的 n ? N ? , 计算和S ?

K ?0

?[

?

n ? 2k ]. 2 k ?1

3.计算和式 S ?

?[ 503 ]的值.
n ?0

502

305n

4.设 M 为一正整数,问方程 x ? [ x] ? {x} ,在[1,M]中有多少个解?
2 2 2

5.求方程 4 x ? 40[ x] ? 51 ? 0的实数解 .
2

6. x ? R ?, n ? N , 证明 : [nx ] ?

?

[ x] [2 x] [3x] [nx ] ? ? ??? . 1 2 3 n

7.对自然数 n 及一切自然数 x,求证:

1 2 n ?1 [ x] ? [ x ? ] ? [ x ? ] ? ? ? [ x ? ] ? [nx ]. . n n n

8.求出 [

1020000 ] 的个位数字 10100 ? 3

例题答案:
1.证明:2 为质数,n!中含 2 的方次数为
?

2(n!) ? ? [
t ?1

n ]. 2t
? k ?1 t ?1

若n ? 2

k ?1

, 则2(n!) ? ?[2 k ?t ?1 ] ? ?[2 k ?t ?1 ] ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 k ?2 ? 2 k ?1 ? 1 ? n ? 1
t ?1

故2

n?1

| n!.

反之,若 n 不等于 2 的某个非负整数次幕,可设 n=2sp,其中 p>1 为奇数,这时总可以 找出整数 t,使 2t ? 2 s p ? 2t ?1 , 于是n!中所含2的方次数为 (n!) ? [2 s ?1 p] ? [2 s?2 p] ? ? ? 2
[2 s ?t p] ? 0 ? ? ? [(2
s ?1

? 2 s ?2 ? ? ? 2 s?t ) p] ? [2 s?t (2t ? 1) p] ? [2 s p ? 2 s?t p] ? n ? [?2 s?t p].
n!. 这 与 已

由于 1 ? 2

s ?t

p ? 2, 则[?2 s?t ] ? ?2, 故n!中含2的方次数2(n!) ? n ? 2, 则2 n?1

知矛盾,故必要性得证. 2.解:因 [

n?2 n 1 ] ? [ k ?1 ? ] 对一切 k=0,1,…成立,因此, k ?1 2 2 2 n 1 n n [ k ?1 ? ] ? [2 ? k ?1 ] ? [ k ?1 ]. 2 2 2 2

又因为 n 为固定数,当 k 适当大 时,
? n n n n ? 1, 从而[ k ] ? 0, 故S ? ? ([ k ] ? [ k ?1 ]) ? ? ? n. k 2 2 2 K ?0 2

3.解:显然有:若 {x} ? { y} ? 1, 则[ x ? y] ? [ x] ? [ y] ? 1, x, y ? R.

305n 305 (503 ? n) 503 是一个质数,因此,对 n=1,2,…,502, 305n 都不会是整数,但 + ? 305, 503 503 503
可见此式左端的两数的小数部分之和等于 1,于是,[

305n 305 (503 ? n) ] ? 304 . 故 ]+ [ 503 503

S ? ?[
n ?1

502

251 305n 305n 305(503? n) ] ? ? ([ ]?[ ]),? 304? 251? 76304 . 503 503 503 n ?1

4.解:显然 x=M 是一个解,下面考察在[1,M]中有少个解. 设 x 是方程的解.将 x 2 ? [ x]2 ? 2{x} ? {x} ? {x}2 代入原方程,化简得 2[ x]{x} ?

[2[ x]{x} ? {x}2 ]. 由于0 ? {x} ? 1, 所以上式成立的充要条件是 2[x]{x}为一个整数.
设[ x] ? m ? N , 则必有{x} ? k (k ? 0,1,?,2m ? 1),即在[m, m ? 1)中方程有2m个解. 2m 又由于 ? m ? M ? 1, 可知在[1, M )中方程有2(1 ? 2 ? ? ? ( M ? 1)) ? M ? ( M ? 1)个解. 1

因此, 原方程在 1, M ]中有M ( M ? 1) ? 1个解. [
5.解: 因 x] ? x ? [ x] ? 1, 又[ x] ? 0不是解 [ .

?4([x] ? 1) 2 ? 40[ x] ? 51 ? 0, ? ?? ?4[ x] 2 ? 4[ x] ? 51 ? 0. ? (2[ x] ? 5)(2[ x] ? 11) ? 0. ? ? ?(2[ x] ? 3)(2[ x] ? 7 ? 0. 5 11 ? ? ?[ x] ? 2 , ?[ x] ? 2 , ? ? 3 3 ? ? [ x] ? , 或?[ x] ? , ? 2 2 ? ? 17 ? 17 ? ?[ x] ? 2 ; ?[ x] ? 2 . ? ?

解得[ x] ? 2或[ x] ? 6或7或8, 分别代入方程得: 29 ; 2 189 4 x 2 ? 189 ? 0, x ? ; 2 229 4 x 2 ? 229 ? 0, x ? ; 2 269 4 x 2 ? 269 ? 0, x ? . 2 4 x 2 ? 29 ? 0, x ?
经检验知,这四个值都是原方程的解. 6.这道题的原解答要极为复杂,现用数学归纳法证明如下. 【证明】 令Ak ? [ x] ?

[2 x] [kx ] ??? , k ? 1,2, ?. 2 k

由于 A1 ? [ x],则n ? 1 , 命题成立 时 .

设n ? k ? 1时命题成立, 即有A1 ? [ x], A2 ? [2 x],?, Ak ?1 ? [(k ? 1) x].因为, [kx] ,即kAk ? kAk ?1 ? [kx]对一切k成立, 所以kAk ? kAk ?1 ? [kx], (k ? 1) k Ak ?1 ? (k ? 1) Ak ? 2 ? [(k ? 1) x],?,2 A2 ? 2 A1 ? [2 x], A1 ? [ x].相加得 : Ak ? Ak ?1 ? kAk ? ( A1 ? A2 ? ? ? Ak ?1 ) ? [ x] ? [2 x] ? ? ? [(k ? 1) x] ? [kx] 故kAk ? [ x] ? [2 x] ? ? ? [(k ? 1) x] ? [kx] ? Ak ?1 ? Ak ? 2 ? ? ? A2 ? A1 ? [ x] ? [2 x] ? ? ? [(k ? 1) x] ? [kx] ? [(k ? 1) x] ? [(k ? 2) x] ? ? ? [2 x] ? [ x] ? ([x] ? [(k ? 1) x] ? ([2 x] ? [(k ? 2) x]) ? ? ? ([(k ? 1) x] ? [ x]) ? [kx] ? [kx] ? [kx] ? ?[kx] ? [kx] ? k[kx] ? Ak ? [kx],即n ? k时, 命题成立, 故原不等式对一切 ? N ?均成立, 证毕. n
7.解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(- ⑴若|-
a |≥1 2 a )|} 2

(对称轴不在定义域内部)

则 M=max{|f⑴|,|f(-1)|} 而 f⑴=1+a+b f(-1)=1-a+b |f⑴|+|f(-1)|≥|f⑴+f(-1)|=2|a|≥4 则|f⑴|和|f(-1)|中至少有一个不小于 2 1 ∴ M≥2> 2 ⑵|-
a |<1 2

M=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-

a )|} 2
a2 +b|} 4 a2 a2 +b|,|- +b|} 4 4

=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- =max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- ≥ ≥

1 a2 a2 (|1+a+b|+|1-a+b|+|- +b|+|- +b|) 4 4 4 1 a2 a2 [(1+a+b)+(1-a+b)-(- +b)-(- +b)] 4 4 4
1 4 a2 ) 2

= (2 ? ≥
1 2

综上所述,原命题正确. 8.先找出

1020000 的整数部分与分数部分. 10100 ? 3

1020000 (10100 ) 200 ? 3200 3200 ? 100 = 10100 ? 3 10 ? 3 10100 ? 3

(10100 ) 200 ? 3 200 ? [(10100 ) 2 ]100 ? (3 2 )100 , 知(10100 ) 2 ? 3 2 | 1020000 ? 3 200 又10100 ? 3 | (10100 ) 2 ? 3 2 , 1020000 ? 3 200 10100 ? 3 是整数. 知 3 200 9100 ? 100 ? 1, 10100 ? 3 10 ? 3 1020000 102000 ? 3 200 1020000 ? 9100 1020000 ? 8150 知[ 100 ]? ? ? . 10 ? 3 10100 ? 3 10100 ? 3 10100 ? 3 显然
其中分母的个位数字为 3,分子的个位数字为 9,故商的个位数字为 3.


更多相关文档:

2013高中数学奥数培训资料之高斯函数

2013高中数学奥数培训资料之高斯函数 2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,报送大学不再是幻想2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,报送...

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(1)

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(1)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,保送大学不再是幻想兰州...

2013高中数学奥数培训资料之组合数学选讲

2013高中数学奥数培训资料之组合数学选讲_数学_高中教育_教育专区。2013年最新高中...? q ? 注:构造母函数法,是证明组合问题重要方法之一,但如何找到母函数,是...

2013高中数学奥数培训资料之数列

2013高中数学奥数培训资料之数列_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数...可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。 三.等差数列与等比...

2013高中数学奥数培训资料之平面几何名定理

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §21 平面几何名定理四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有...

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(2)

2013高中数学奥数培训资料之二次函数(2)_数学_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,保送大学不再是幻想兰州...

2013高中数学奥数培训资料之容斥原理

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §24 容斥原理相对补集:称属于 A 而不属于 B 的全体元素,组成的集合为 B 对 A 的相对补集或差集,记作 A-B...

2013高中数学奥数培训资料之整除

2013高中数学奥数培训资料... 8页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

2013高中数学奥数培训资料之向量与向量方法

2013高中数学奥数培训资... 12页 免费2​0​1...兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)§10 ...(3)求函数 y ? 变题 x ? x ?1 ? 2 x ?...

2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理

2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年最新高中奥数培训教材兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)平面几何的几个重要定理-...
更多相关标签:
高斯数学和奥数的区别 | 高斯奥数 | 四年级奥数高斯求和 | 高斯奥数课本 | 高斯奥数教材 | 高斯函数 | 高斯核函数 | 高斯分布函数 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com