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正余弦和正切的和角差角公式的学案


3.1 和角与差角公式的综合应用学案

徐万山 总 2 课时

一. (一)教学目标:1.知识与技能: 2.情感、态度、价值观:①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生 活的哲理;②培养学生观察问题,分析问题的能力.3.过程与方法:通过 本节课的学习,使学生对公式的进一步的记忆与巩固。

(二) . 重难点:重点:1.正弦,余弦,正切的和角与差角的公式
2.辅角公式。3.凑角 难点:正弦,余弦,正切的和角与差角的公式及辅角公式,凑角等综合应 用。

(三)学法与教法:1.学法:通过让学生观察、思考、交流、
加强公式的记忆与巩固;2.教法:探究交流,讲练结合。

二 .【 知 识 点 拨 】 : 1. 正 弦 和 角 与 差 角 公 式 :
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

2. 余弦和角与差角公

式: cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? 3. 正切和角与差 角 公 式 : (1)
tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

(2)

tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? )

4. 辅 角 公

式: a sin? ? b cos? ? a2 ? b2 sin(? ? ? ) ,其中, tan ? ? b a 三.【应用举例】 :例 1:计算:
0 0 0 0 cos ? cos 75 (1)sin 43 cos 13 ? cos 43 sin 13 (2) 15

0

0

(3) tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ?
0 0 0 0

(4)

1 ? tan 45

1 ? tan 45

0 0

(5)

sin 7 ? cos15 sin 8 cos8 ? sin15 sin 8
0 0

0

0

0

0

例 2 (1)已知 cos? ?

12 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos(? ? ) ? 4 13 2
2 5 3 , sin(? ? ? ) ? , 则cos? ? 5 5

(2)若均 ? , ? 为锐角, sin? ?

(3)若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ), ? ? (?? .? ) ,则 ? ? (4)求函数 y ? sin

x x ? 3 cos 的对称轴方程,周期和值域 2 2

例 3 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 4 13 5 1 1 , tan ? ? ? , 2 7

例 4 已知 ? ? (0,

?
4

), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ?

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? .
四.【跟踪练习】

(一) .选择题 1.已知 cos? ? A.
5 2 13

12 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos(? ? ) ? 4 13 2





B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ?
2 5 5 2 5 25

2 5 3 , sin(? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5



A. 3. (cos

B.

C.

2 5 2 5 或 5 25

D. ?

2 5 5

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

) ?(



A.
0

?

3 2
0

B.

?

1 2

C.
0

1 2
0

D.

3 2


4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ? (

A.

3

B.

3 3

C.

?

3 3

D.

? 3

5. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ( A. )

4 , 则这个三角形底角的正弦值为 5

10 10

B. ?

10 10

C.

3 10 10

D. ?

3 10 10


6. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ), ? ? (?? .? ) ,则 ? ? (

A.

?

? 6

B.

? 6

C.

5? 6

D. ?

5? 6
( )

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 11 5? 5? A. x ? ? B. x ? C. x ? ? 3 3 3 (二) .填空题
7. 函数 y ? sin

D. x ? ?

?
3

1.已知 ? , ? 为锐角,且
cos? ? 1 1 , cos? ? , 则? ? ?的值为 10 5


2.在 ?ABC 中,已知 tanA ,tanB 是方程 3x2 ? 7 x ? 2 ? 0 的两个实根,则
. tan C ? ? 3 ? 4 3.若 sin ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5

象限.


4.代数式 sin15o cos 75o ? cos15o sin105o ?

(三) .解答题
3 5 1. (12 分)△ ABC 中,已知 cosA ? , cosB ? , 求sinC的值 . 5 13

2 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 4 13 5

sin(? ? ) 15 4 ,求 3. (12 分)已知 α 为第二象限角,且 sinα= 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
的值.

?

? 1 1 4. (12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 4 2 7

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? .

5. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos 2 2
的值域

(1)求对称轴方程和最小正周期 (2)当

x ?[??, ?]


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