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广东省实验中学09-10学年高一上学期期中考试(数学)


广东省实验中学 09-10 学年高一上学期模块一考试


命题:伍毅东


校对:伍毅东

审定:翁之英

本试卷分基础检测与能力检测两部分,共 4 页.满分为 150 分。考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写

在答卷上,并用 2B 铅笔填涂学号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 {?1, 0,1} 的所有真子集个数为( A.8 个 B. 7 个 C. 6 个 )

D. 4 个 ) D. A ? ? )

2.若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? C ? B ,则一定有( A. A ? C
?

B. C ? A

C. A ? C

3.已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集是 ?x | ?3 ? x ? 2?,则 a 的值为( A.

5 6
2 3

B. 5

C. ? )

5 6

D. ? 5

4.下列是 y ? x 的图象的是(

A

B

C

D

5.已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f : y ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ? A, y ? B , 对于集合 B 中的元素 1,下列说法正确的是( A.在 A 中有 1 个原象 C.在 A 中有 3 个原象 6.设函数 f ( x) ? ? A.2 )

B.在 A 中有 2 个原象 D.在 A 中没有原象 ) D.-2 或 16 )

?2 x , x ? (??,2] ,则满足 f ( x) ? 4 的 x 的值是( ?log2 x, x ? (2,??)
B.16 C.2 或 16

7.若 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f (x) 在区间 (?3,1) 上( A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增

8 . 根 据 表 格 中 的 数 据 , 可 以 判 定 方 程 ex ? x ? 2 ? 0 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为

(k , k ? 1)(k ? N ) ,则 k 的值为(
A.-1 C.1 A. a ? b ? c B.0 D.2 B. b ? a ? c



x

-1 0.37 1 )

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

ex
x?2

9.若 a ? log3 π,b ? log7 6,c ? log2 0.8 ,则(

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a )

10.函数 f ( x) ? a x?1 ? 4 (a>0,且 a≠1)的图像过一个定点,则这个定点坐标是( A. (5,1) B. (1,5) C. (1,4) D. (4,1)

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 11.函数 y ?

2 的值域是 x ?1

.

3 x 12.函数 y ? f (x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ? 1 ,则 x ? 0 时

函数的解析式 f (x) ?

.

2 13.已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1(a ? R),若方程 f ( x) ? 0 至少有一正根,则 a 的取值范围

是__

__.

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. (本题满分 12 分)(1)设 loga 2 ? m, loga 3 ? n ,求 a
?lg 5 2
2m?n

的值;

(2)计算: log4 9 ? log2 12 ? 10

15. (本题满分 13 分)已知全集为 R,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为集合 A,集合 B ? {x | x( x ? 1) ? 6} , (1)求 A, B, A ? B, A ? (C R B) ; (2)若 C ? ?x | 1 ? m ? x ? m?, C ? ? A ? (C R B)? ,求实数 m 的取值范围.

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、选择题:本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分. 16.函数 y ? log2 ( x ? 2x ? 3) 的单调递减区间为(
2

) D.(-3,-1)

A. (-∞,-3)

B. (-∞,-1) )

C.(1,+∞)

17.下列函数,值域是 (1,??) 的是( A. y ? ( )

1 3

x ?1

B. y ? x

?

3 4

C. y ? ( ) ? 3( ) ? 1
x x

1 4

1 2

D. y ? log3 ( x 2 ? 2x ? 4)

五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ? 1 ,其中 a ? 0, a ? R . (1)若 a ? 1 ,作函数 f (x) 的图像; (2)设 f (x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式;

19. (本题满分 13 分)若函数 y ? f (x) 对任意 x, y ? R, 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)指出 y ? f (x) 的奇偶性,并给予证明; (2)如果 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,证明 f (x) 的单调性; (3)在(2)的条件下,若对任意实数 x ,恒有 f (kx) ? f (? x ? x ? 2) ? 0 成立,求 k 的
2

取值范围.

20. 本题满分 13 分) ( 已知函数 y ? x ?

t 有如下性质: 如果常数 t ? 0 , 那么该函数在 (0, t ] x

上是减函数,在 [ t ,??) 上是增函数. (1)已知 f ( x) ? 值域; (2)当 a ? 1 时,对于(1)中的函数 f (x) 和函数 g ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a ,若对任意

4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? [0,1] ,利用上述性质,求函数 f (x) 的单调区间和 2x ? 1

x1 ? [0,1] ,总存在 x2 ? [0,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

广东实验中学 2009—2010 学年高一级模块 1 考试

数学参考答案 第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分 1 2 3 4 5 6 题号 B A D B D C 答案 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
3 ?x 11. ?0,2? ; 12. x ? 2 ? 1 ; 13. a ? 0 . 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.

7 C

8 C

9 A

10 B

14、 (本题满分 12 分)(1)设 loga 2 ? m, loga 3 ? n ,求 a
?lg 5 2

2m?n

的值;

(2)计算: log4 9 ? log2 12 ? 10

解: (1)? loga 2 ? m, loga 3 ? n ,? a m ? 2, a n ? 3

……2 分 ……4 分 ……6 分

? a 2 m ? n ? a 2 m ? a n ? (a m ) 2 ? a n
? 2 2 ? 3 ? 12
(2)原式= log2 3 ? (log2 3 ? log2 4) ? 10 = log 2 3 ? log 2 3 ? 2 ?
lg 2 5

……3 分 ……6 分

2 8 ?? 5 5

15、 (本题满分 13 分)已知全集为 R,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为集合 A,集合 B ? {x | x( x ? 1) ? 6} , (1)求 A, B, A ? B, A ? (C R B) ; (2)若 C ? ?x | 1 ? m ? x ? m?, C ? ? A ? (C R B)? ,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 1 ? x ? 0 得,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域 A ? ?x | x ? 1? ……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 B ? {x | x ? 3或x ? ?2}
∴ A ? B ? ?x | x ? 1或x ? 3?,

CR B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,? A ? (C R B) ? ?x | ?2 ? x ? 1?
(2) ? C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,

1 ; 2 ?1 ? m ? m ? ② C ? ? 时,要 C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 ?1 ? m ? ?2 , 当 ?m ? 1 ? 1 解得 ? m ? 1 ; 2 由①得, m ? 1 ②
① C ? ? 时,满足要求,此时 1 ? m ? m ,得 m ? 当

……8 分

……10 分

……12 分 ……13 分

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、选择题:本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分. 16、A 17、C 五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ? 1 ,其中 a ? 0, a ? R . (1)若 a ? 1 ,作函数 f (x) 的图像; (2)设 f (x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 y

?x 2 ? x ? 1 , x ? 0 ? ?? 2 . ?x ? x ? 1 , x ? 0 ?
作图(如右所示)
2

10

……1 分; ……3 分

5

(2)当 x ? [1 , 2] 时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 . 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ? x ? 1 在区间 [1 , 2] 上是减函数,
1 -3 -2 -1 O 1 2 3

g (a) ? f (2) ? ?3 .
若 a ? 0 ,则 f ( x) ? a? x ? 当0 ?

x

……5 分

? ?

1 1 ? 1 . ? 1 , f (x) 图像的对称轴是直线 x ? ? ? 2a ? 2a 2a ? 4a

2

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, f (x) 在区间 [1 , 2] 上是增函数, 2a 2 g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 . 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 时, g (a) ? f ? ? ? 2a ? 当1 ? ? 1, 2a 4 2 4a ? 2a ? 1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f (x) 在区间 [1 , 2] 上是减函数, 当 2a 4 g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 .

……7 分 ……9 分

……11 分

1 ? 当0 ? a ? ?6a ? 3 , 4 ? 1 1 1 ? ? 1, 当 ? a ? 综上可得 g ( a ) ? ?2a ? . 4a 4 2 ? 1 ? 当a ? ?3a ? 2 , 2 ?

……12 分

19、 (本题满分 13 分)若函数 y ? f (x) 对任意 x, y ? R, 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)指出 y ? f (x) 的奇偶性,并给予证明; (2)如果 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,证明 f (x) 的单调性; (3)在(2)的条件下,若对任意实数 x ,恒有 f (kx) ? f (? x 2 ? x ? 2) ? 0 成立,求 k 的 取值范围. 解: (1)令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,? f (0) ? 0 . 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,? f ( x) ? f (? x) ? 0 , 即 f ( x) ? ? f (? x) ,所以 y ? f (x) 是奇函数. ……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分

(2)令 x ? y ? x1 , x ? x2 ,则 y ? x1 ? x2 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 设 x1 ? x 2 ,? x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,? f ( x1 ? x2 ) ? 0 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 y ? f (x) 为 R 上的减函数. (3)由 f (kx) ? f (? x 2 ? x ? 2) ? 0 ,得 f (kx) ? ? f (? x 2 ? x ? 2) ,

……7 分

? f (x) 是奇函数,有 f (kx) ? f ( x 2 ? x ? 2) ,
又? f (x) 是 R 上的减函数,? kx ? x ? x ? 2 ,
2

……9 分 ……10 分 ……11 分 ……12 分 ……13 分

即 x ? (k ? 1) x ? 2 ? 0 对于 x ? R 恒成立,
2

由 ? ? (k ? 1) ? 4 ? 2 ? 0 ,
2

解得 ? 2 2 ? 1 ? k ? 2 2 ? 1

20、 本题满分 13 分) ( 已知函数 y ? x ? 上是减函数,在

? t ,???上是增函数.

t 有如下性质: 如果常数 t ? 0 , 那么该函数在 0, t x

?

?

(1)已知 f ( x) ? 值域;

4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? [0,1] ,利用上述性质,求函数 f (x) 的单调区间和 2x ? 1

(2)当 a ? 1 时,对于(1)中的函数 f (x) 和函数 g ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a ,若对任意

x1 ? [0,1] ,总存在 x2 ? [0,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
4 4 x 2 ? 12x ? 3 ? 2x ? 1 ? ?8 , 2x ? 1 2x ? 1 4 设 u ? 2 x ? 1 , 1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? ? 8 , u ? [1,3] u
解:(1) y ? f ( x) ? 由已知性质得, ……2 分 ……3 分

1 ? 1? 时, f (x) 单调递减;所以减区间为 ?0, ? 2 ? 2? 1 ?1 ? 当 2 ? u ? 3 ,即 ? x ? 1 时, f (x) 单调递增;所有增区间为 ? ,1? 2 ?2 ? 1 11 由 f (0) ? ?3 , f ( ) ? ?4 , f (1) ? ? ,得 f (x) 的值域为 ?? 4,?3? . 2 3 (2)设 x1 , x2 ? ?0,1?,且 x1 ? x 2 ,
当 1 ? u ? 2 ,即 0 ? x ?
3 3 2 2 2 2

……4 分 ……5 分 ……6 分

则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 3a ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3a ) (*)

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 ; 2 2 a 3 2 又? 0 ? x1 ? x2 ? 1 , ? 1 , x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3 , a ? 3 , x1 ? x1 x2 ? x2 ? 2 ? 2 所以(*)式 ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 g (x) 单调递减 2 对于 x ? [0,1] , g (1) ? g ( x) ? g (0) ,所以 g ( x) ? 1 ? 3a ? 2a,?2a 由题意,即要 f (x) 的值域是 g (x) 的值域的子集,

? 3a 2 ? 0
……8 分 ……9 分 ……10 分 ……11 分 ……13 分

?

?

所以只需:1 ? 3a ? 2a ? ?4 ? ?3 ? ?2a ,
2

解得 1 ? a ?

3 . 2


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