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高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.7知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用

一、学习任务 1. 能够应用定积分解决平面图形的面积等相关问题. 2. 借助图形直观地把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题. 二、知识清单
定积分的应用

三、知识讲解
1.定积分的应用 描

述: 形如 ∑
n

k=1

f (k) < c (c为常数)或 ∑ f (k) < g(n) 的不等式称为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和
k=1

n

高考压轴题中,证明难度较大.其中有些不等式可以利用定积分的几何意义证明.

例题: 已知正整数

n > 1 ,求证

证明:构造函数 y = 1 并作图象如图所示.因函数 y = 1 在 (0, +∞) 上是凹函数,由函数图象可知,在区间
x x [n, 2n] 上的 n 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,

1 1 1 25 . + +?+ < n+1 n+2 2n 36


2n 1 1 1 1 n + +?+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n ? ln n = ln 2, n+1 n+2 2n x n

因为ln 2 ≈ 0.6931 , 25 ≈ 0.6944 ,所以ln 2 < 25 .所以
36 36 1 1 1 25 + +?+ < . n+1 n+2 2n 36

求证:1 + 1 + 1 + ? + 1 < 5 (n ∈ N? ) . 证明:构造函数 y = 1 = x ?3 ,又 (? 1 x ?2 ) ′ = x ?3 ,而函数 y = x ?3 在 (0, +∞) 上是凹函数,由图象知,在 区间 [2, n] 上的 n ? 2 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,
x3 2 23 33 n3 4


1 + 1 +?+
n 1 1 1 1 ∣n < ∫ x ?3 dx = ? , ∣ = ? 3 8 2n 2 n 2x 2 ∣ 2 2

3

3

4

3

所以
1+ 23 1 + 33 1 +?+ 1 9 1 1 5 1 5 < ? + = ? < . 8 2n 2 8 4 2n 2 4 n3 1 . n?1

若 n ∈ N,n ? 2 ,求证: 1 + 1 + ? + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ? +
3 n 2 3 证明:构造函数 y = 1 ,因为 (ln x) ′ = 1 ,作 y = 1 的图象, x x x 2

由图知,在区间 [n ? 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长,以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间,即
n 1 1 1 <∫ dx < , n n?1 n?1 x



n n?1

1 dx = ln x| n n?1 = ln n ? ln(n ? 1), x

故不等式
1 1 < ln n ? ln(n ? 1) < n n?1

成立,从而当 n ? 2 时,
1 < ln 2 ? ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 ? ln 2 < , 3 2 ? 1 1 < ln n ? ln(n ? 1) < , n n?1

由累加法可得 1 + 1 + ? + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ? +
2 3 n 2 3

1 成立. n?1

四、课后作业

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1. 如图中阴影部分的面积是 (

).

A.2√3
答案: C

B.9 ? 2√3

C.

32 3

D.

35 3

解析: 用定积分求曲边梯形的面积

2. 函数 f (x) 满足 f (0) = 0 ,其导函数 f ′ (x) 的图象如下图,则 f (x) 的图象与 x 轴所围成的封闭图 形的面积为 (

)

A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

答案: B

解析: 由图可知

f ′ (x) = 2x + 2,所以 f (x) = x2 + 2x + c ,又 f (0) = 0 ,所以 c = 0 ,所以面积 1 4 0 . S = ? ∫ ?2 (x2 + 2x) dx = ? ( x3 + x2 ) | 0 ?2 = 3 3 )
C.

3. 由曲线 y = x 2 ,y = x 3 围成的封闭图形面积为 ( A.

1 12

B.

1 4

1 3

D.

7 12

答案: A 解析: 题中所表示阴影部分如图:

利用积分即得答案.
1 4. 若函数 f (x) , g (x) 满足 ∫ ?1 f (x) g (x) dx = 0 ,则称 f (x) , g (x) 为区间 [?1, 1] 上的一组正交函

1 1 x, g (x) = cos x ;② f (x) = x + 1, g (x) = x ? 1 ;③ 2 2 f (x) = x, g (x) = x2 .其中为区间 [?1, 1] 的正交函数的组数是 ( )
数,给出三组函数:① f (x) = sin A.0
答案: C

B.1

C.2

D.3

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