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第二章立体几何


第二章

立体几何

第一节 认识空间几何体
一、认识多面体与旋转体
1、认识多面体

15

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体的面数是几, 我们就说它是 几面体.

四面体

六面体

八面体

>
十二面体

二十面体

多面体上两个面的公共边叫做多面体的棱, 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点. 连 结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.

面 顶点



16

2、认识旋转体

17

一条平面曲线绕其所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面.封闭 的旋转面围成的几何体叫旋转体 .这条定直线叫做旋转体的轴, 那条曲线叫做旋转体的 母线.

一般地,怎样定义旋转体? 一般地,由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体 .



18

作业: 手工制作:本节课课本上出现的几何体或自由制作。 要求: a:每人至少一个,可以合作完成,最好不重复。 b:模型大小:拿在手中,站在讲台上,所有同学都能看清

二、棱柱、棱锥、棱台

上图中的物体具有什么样的共同的结构特征? (一)棱柱 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的公共边都平行, 由这些面所围成的几何体叫棱柱.

19

E′ F′A′

D′ C′ B′
侧 面

E
侧棱

D C B
顶点 底面

F A

棱柱的结构特点: (1)底面互相平行. (2)侧面都是平行四边形. (3)侧棱平行且相等. 棱柱的分类:棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 ?? 我们把这样的 棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、?? 棱柱的表示方法:用表示底面各顶点的字母表示,如四棱柱 ABCD-A’B’C’D’.

20

三棱柱

四棱柱

五棱柱

观察

下面的几何体,哪些是棱柱?

21

(二)棱锥 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 多面体叫棱锥.

22

S

顶点

侧面 D C 底面 B

侧棱 A

S A B
棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、??(其中三棱锥又称 四面体) 棱锥的表示方法: 用表示顶点和底面的字母表示,如四棱锥 S-ABCD。

C

D

试一试:用符号表示以下几何体

23

S D C S C A D C A S A
动脑想一想

E F

B

B

B

1: 一个棱锥至少有几个面?一个 N 棱锥有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多 少个顶点? 2:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的形状关系如何? (三)棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分形成另一个多面 体,这样的多面体叫做棱台.

24

思考 1:棱台有哪些结构特征? 1、有两个面是互相平行的相似多边形, 2、其余各面都是梯形, 3、每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点.

思考 2:参照棱柱的说法,棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?

上底面

顶点 侧面

侧棱

下底面

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面, 其余各面叫做棱台的侧面, 相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.

例 1 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?

25

C1 A1

B1 C1 A1

B1

C

B C

B

A

A

三、圆柱、圆锥、圆台、球
(一) 、 圆柱

O1

矩形
O

26

A’

O
B’

A

O1
B

侧面 轴
圆柱. (1)旋转轴叫做圆柱的轴.

母线 底面

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做

(2)垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面. (3)平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面. (4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线. 圆柱的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆柱 OO1. (二) 、 圆锥

S

直角三角形

O

A

27

S

A

O B

S

轴 侧面 母线
B O A

底面

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的面所围成的 旋转体叫做圆锥.

28

(1)旋转轴叫做圆锥的轴 (2) 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面. (3)不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面. (4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线. 圆锥的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆锥 SO. (三)圆台

O' O
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.

29

O


上底面 母线 侧面 下底面

' O

圆台的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆台 OO′. (四)球 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫做球体.

30

A O

半径 球心

B
球的表示法:用表示球心的字母表示,如球 O 思考:用一个平面去截一个球,截面是什么?

31

用一个截面去截一个球,截面是圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆. 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆.

柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系?圆柱、圆锥、圆台之间呢?柱、锥、台体之 间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

上底扩大

上底缩小

32

练习
1、将下列平面图形绕直线 AB 旋转一周,所得的几何体分别是什么?

B

B A

A
图2 图1

B A
图3 2、如图,AB 为圆弧 BC 所在圆的直径,将这个平面图形绕直线 AB 旋转一周,得到 一个组合体,试说明这个组合体的结构特征

A C B
33

3、将这个平面图形绕轴线旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构 特征

34

第二节 空间几何体的表面积与体积
一、空间几何体的表面积
(一)多面体的表面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道正方体和长方体的展开图与 其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积

空间问题

平面问题

正方体、长方体是由多个平面围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的

35

和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形 的表面积。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是什么?如 何计算它们的表面积? 1、棱柱的展开图 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

正棱柱的侧面展开图

2、棱锥的展开图 棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

36

正棱锥的侧面展开图

h'

h'
3、棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h'

h'

37

4、棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图还是平 面图形,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

练习
已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积 (分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. )

S

A B D C
38

(二)旋转体的表面积 1、圆柱的表面积

r

O?

l
O
圆柱的侧面展开图是矩形

2?r

S圆柱表面积 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2、圆锥的表面积

圆锥的侧面展开图是扇形

39

2?r

l

r

O

S圆锥表面积 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r (r ? l )

3、圆台的表面积

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象 圆台的侧面展开图是什么?

40

2?r '

r 'O

r
l

2?r

O
圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
r

O?
l

r 'O
r’=r
上底扩大
r

’ O

l

r’= 0
上底缩小

l

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

S 锥 ? ?r (r ? l )

41

例 1 如图,一个圆台形花盆盆口直径 20 cm,盆底直径为 15cm,底部渗水圆孔
直径为 1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取 3.14,结果精 确到 1)?

20cm
15cm 15cm

解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

? 999 (cm2 )
答:花盆的表面积约是 999

二、空间几何体的体积
1、柱体体积 以前学过特殊的棱柱——正方体、 长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可 以统一为:

V ? Sh (S为底面面积,h为高) .
42

一般棱柱体积也是

: V ? Sh .

其中S为底面面积,h为棱柱的高
2、圆锥体积

圆锥的体积公式为:

43

圆锥的体积公式:

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3
3、锥体体积 经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积:
1 3



1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积 公式类似,都是等于底面面积乘高的
1 3



4、台体体积 根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的,因此可以利用两个锥体的体积差.得到

44

圆台(棱台)的体积公式(过程略).

V ? VP ? ABCD ? VP ? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

P

A?
S?

D?
C?

B?
h

D

A

S
C

B

台体体积 棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
其中 S’, S 分别为上、下底面面积,h 为圆台(棱台)的高.

45

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

球的表面积及体积

S 球表 = 4πR2
V球 = 4 3 πR 3
46

第三节

空间几何体的三视图与直观图

一、中心投影和平行投影
(一)中心投影 我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影. 注意:投射线交于一点.

A B C B’ C’
(二)平行投影 太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形形状的窗框投射到地板上,变 成了什么图形?

D D’

A
F

M P

B

D D’

C C’ B’

P’
?

F’

A’

M’
47

窗框的投影图形与原窗框图比较,哪些几何关系或几何量发生了变化?哪些没有 发生变化? 我们把一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影,投影线正对着投影面时叫 正投影,否则叫斜投影.

平行斜投影

平行正投影

应用正投影法,能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小,且与物体到投 影面的距离无关,因而作图方便,故得到广泛的应用。 (三)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影具有下列性质: 1) 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. 3)在同一直线或平行直线上,两条线段的平行投影线段的长度比等于这两条线段 的长度比. 4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等. 5)平行于投射面的线段,它的平行投影与这条线段平行且等长.

48

F

?

F’

练习:
下列说法是否正确? 1)正方形的平行投影可能是梯形. 2) 两条相交直线的平行投影可能平行. 3)互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂直. 4)等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.

二、空间几何体的三视图
视图角度

49

(一)基本几何体的三视图 回忆已经学过的正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图.

1、正方体的三视图







50

2、长方体的三视图





长方体



3、圆柱的三视图





圆柱



51

4、圆锥的三视图







圆锥

5、球的三视图





球体
(二)三视图的有关概念
52



“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线从几何体的前面向后面正投影,所得的投影图称为“正视图” ,自左向右投 影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (三)三视图的形成

53

正 视 图

侧视图

俯视图
(四)三视图的特点

长对正 高平齐

宽相等

54

(五)三视图表达的意义 从前向后正对着物体观察, 画出正视图, 正视图反映了物体的长和高及前后两个面 的实形. 从上向下正对着物体观察, 画出俯视图, 俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面 的实形. 从左向右正对着物体观察, 画出侧视图, 左视图反映了物体的宽和高及左右两个面 的实形. 三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.

思考: 棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三视图是怎样的?

1、棱柱的三视图

55

2、棱锥的三视图

56

3、棱台的三视图

4、圆台的三视图

57

由三视图想象几何体

下面是一些立体图形的三视图,请根据视图说出立体图形的名称:

58

四棱锥
三、空间几何体的直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时,一个空间图形 在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间图形。像这样用来表示空 间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图。

先观察一个正方形,如何把它画成水平放置的直观图呢?

y
Y’

x o
O’

X’

59

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
作图步骤:(1)在六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在的直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直 线为 y 轴, 两轴交于点 O. 画对应的 x’, y’轴, 两轴相交于点 O’, 使∠x’O’y’=45°.

y

F A

M

E D
O'

y'

O

x
B N C

x'

60

61

例 2. 画水平放置的正三角形的直观图

例3

作一个底面边长为 5cm,高为 11.5cm 的正五棱锥直观图。

62

63

第四节
一、平 面

空间点、直线、平面之间的位置关系

(一)构成图形的基本元素-----点、线、面

D′ A′ D A
(二)平面 1、平面的直观认识

C′ B′ C B

注意:点无大小,线无粗细,面无厚薄

64

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉的.象这些桌面、平静的湖面、镜面、 黑板面等都给我们以平面的印象. 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。 2、平面的特征 平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延伸的。 3、平面的表示方法 (1)平面的画法 一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如图一; 在画立体图时,为了增强立 体感, 常常把平面画成平行四边形,如图二就是按照斜二测画法得到的平面的水平直 观图.

图一
水平放置的平面

图二

α

65

垂直放置的平面

?

一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图。 (2)平面的符号表示

D

C

?
A B
通常用希腊字母 ? ,? ,? 等来表示,如:平面 ?, 平面 ?,平面 ?。 用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如:平面 AC 。 (三)用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系 1、点与直线的位置关系 点 A 在直线 a 上,记为:A∈a 点 B 不在直线 a 上,记为:B∈a 也可

α

A

B

66

2、点与平面的位置关系 点 A 在平面α 内,记为:A∈α 点 B 不在平面α 上,记为:B∈ α 3、直线与平面的位置关系

B
α

A

直线 a 上的所有点都在平面α 上,称直线 a 在平面α 内,或称平面α 通过直线 a。 记为 a ? ? 直线 a 与平面α 只有一个公共点 A 时,称直线 a 与平面α 相交。 记为:a∩α =A

a

α

a

α

A

(四)平面的基本性质

思考:如果把桌面看作一个平面,把笔看作是
一条直线的话,你觉得在什么情况下,才能使 笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上?

观察下列图形,你能得到什么结论?

B
桌面α

A

67

公理 1.如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个 平面内(即直线在平面内) 。

l
α

A

B

符号表示: A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ? ? ? l ? ?

若A ? ? , B ? ? ? 直线AB ? ?
公理 1 的作用有三: 1、可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线 上两个点在平面内即可. 2、可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,则点在平面内. 3、表明平面是“平的”. 思考: 用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置, 至少需要几个手指头?手指的位置需要满足什么 条件?

公理 2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.

B
α

A
68

C

符号表示:
A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?

公理 2 的作用: 1、确定平面的依据 2、判定点或线的共面

观察下列图形,你能得到什么结论?

天花板α

墙面γ

P

墙面β

公理 3.如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的 公共直线

β

α

P

l

69

符号语言

P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l P???
如果两个平面有一条公共直线, 则称这两个平面相交, 这条公共直线叫做这两个平 面的交线. 公理 3 的作用有三: 1、判定两个平面相交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交. 2、判定点在直线上,即点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的 交线上. 3、两平面两个公共点的连线就是它们的交线.

例 1 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,画出平面 A1C1D 与平面 B1D1D 的交线.

D1

O
A
1

C1

B1 D C B

A

例2 如图画出平面α 与平面ADE的交线,画出DE与平面α 的交点
70

A

?

B D
探究:

C E

P

根据公理 1 探究直线与平面的各种位置关系. 根据公理 2 探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性. 根据公理 3 探究平面与平面的各种位置关系.

(五)平面基本性质的推论 推论 1. 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面

A β B
71

a C

符号语言:

A ? 直线a ? 有且只有一个平面?, 使得A ? ?,a ? ? .
推论 2. 两条相交直线唯一确定一个平面.

a β
符号语言:

b

C

直线a ? b ? C ? 有且只有一个平面?, 使得a ? ?,b ? ? .
推论 3. 两条平行直线唯一确定一个平面。

β
符号语言:

A

B b

a C

直线a // b ? 有且只有一个平面?, 使得a ? ?,b ? ? .

72

练习
1.已知下列四个说法: ①很平的桌面是一个平面 ②平面 ABCD 的面积为 10cm2 ③平面是矩形或平行四边形 ④空间图形中,后引的辅助线是虚线 其中正确的命题有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

2.判断下列命题是否 正确: (1)经过三点确定一个平面。 (2)经过同一点的三 条直线确定一个平面。 (3)若点A? 直线a,点A? 平面α,则a?α. (4)平面α与平面β 相交,它们只有有限 个公共点。
3.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ?? (2)l ? ? , m ? ? (3)? ? ? ? l
(4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ??
4. 思考与讨论 (1)两个平面能将空间分成几部分? (2) 三个平面能将空间分成几部分?

73

5.如图找平面 BA1C1 与平面 B1AC 的交线

D B A

C

D1

C1 B1

A1

二、空间中直线与直线之间的位置关系
思考 1:同一平面内两条直线有几种位置关系?空间中的两条直线呢?

b
C

a
74

思考 2: 1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何? 2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何?

(一)异面直线 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

a
b
异面直线的图示 讨论 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线;

a

b

75

E. 不同在任何一个平面内的两条直线. (二)两条直线的位置关系 观察 如图, 长方体 ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B 所在直线分别与线段 CD′所在直线,线段 BC 所在直线,线段 CD 所在直线的位置关系如何?

D' A' D A B B'

C'

C

空间中的直线与直线之间有三种位置关系:

相交直线: 同一平面内,有且只有一个公共点 共面直线 平行直线:
同一平面内,没有公共点

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

76

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?

C G

A D B

H

E F

解:

A H G C E B F

D

3 对,直线 EF 和直线 HG ,直线 AB 和直线 HG

,直线 AB 和直线 CD

77

(三)平行直线 观察 如图, 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么 BB′与 DD′平行吗 ?

D' A' D A
公理 4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

C' B' C B

如果 a//b,b//c,那么 a//c 。 (空间中的平行线具有传递性)

C

F

D

B

E
三条平行线共面

A

78

D F

A B

C E
三条平行线不共面

例 3 如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点.
求证:四边形 EFGH 是平行四边形

证明:连接 BD,
因为 所以 同理

A

EH 是

?ABD 的中位线,
,且

EH // BD

1 BD 2 因 EH // FG ,且 EH ? FG

1 EH ? BD 2

H
E D G

FG // BD

,且 FG ?

所以

, 四边形EFGH 是平行四边形.

B

F

C

探究 在上例中,如果再加上条件 AC=BD,那么四边形 EFGH 是什么图形?

79

(四)异面直线所成的角 思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角, 常取较小的一组角来度量这两条直线的位 置关系,这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢?

a b
平面内两条相交直线

a

b
空间中两条异面直线

1、异面直线所成的角 已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线

a? // a, ?b? // b,把 a?与

b? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角.

80

b
?
a

b?

a?

O

思考 我们规定两条平行直线的夹角为 0°, 那么两条异面直线所成的角的取值范围是什 么?

? ?? ? 0, ? ? 2?

b
a

?

如果两条异面直线所成角为 90°,那么这两条直线垂直. 记直线 a 垂直于 b 为:a?b

思考 (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与 这条直线垂直?

81

(2)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

例4

已知正方体

ABCD ? A?B?C?D?

(1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA? 和 CC ? 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线

AA? 垂直?

解:(1)由异面直线的定义可知,
棱 AD, ? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C?所在的 直线分别与直线

D?

C?
B?

BA? 是异面直线.

A?
D

(2)由 BB? // CC?可知,?B?BA? 为异面 直线

?B?BA? ? 45 , BA? 与 CC ? 的夹角,
?

C
B

所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 (3)直线

45

?

.

A

AB, ? BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A?

分别与直线

AA? 垂直。

练习
在如图所示的长方体中,AB=

3 ,且 AA =1,求直线 BA 和 CD 所成角的度数.
1 1

82

三、空间中直线与平面之间的位置关系
思考 1、一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有几种关系?

2、 如图, 线段 A’B 所在直线与长方体 ABCD-A’B’C’D’的六个面所在平面有几 种位置关系?

D' B'

C'

A'

D A B

C

结论: 直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

83

a ?
记为:a ? ? 有且只有一个公共点

(2)直线与平面相交

a

?

A

记为:a ? ? = A (3)直线与平面平行 没有公共点

a

?
记为:a//? 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 记为:a ? ?

84

a//? a

a??=A
a


A ?
)

?
例 5. 下列命题中正确的个数是 (

1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

四、平面与平面之间的位置关系
思考 1、拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有 几种? 2、如图,围成长方体 ABCD-A′B′C′D′的六个面,两两之间的位置关系有几种?

D' A'

C' B'

D
A
85

C
B

结论: 1、两个平面的位置关系有且只有两种: ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 讨论: 分类的依据是什么? 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过该点的公 共直线. 2、两个平面平行或相交的画法及表示

? ? ? ? m

?//?

???=m

练习:
1、已知平面

?、 ?

,直线 a、b,且 ?//?,a??,b??,则直线 a 与直线 b 具有

86

怎样的位置关系?

a ? b

?

2、如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论

87

第五节

直线、平面平行的判定及其性质

一、直线与平面平行的判定
知识回顾: 直线和平面的位置关系 有几种? 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种: (1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.



线在平面内



线与平面相交



线与平面平行

88

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线 l 与桌面所在 的平面具有怎样的位置关系?

l

思考 如图,设直线 b 在平面α 内,直线 a 在平面α 外,猜想在什么条件下直线 a 与平 面α 平行?

a

α

b

89

直线与平面平行的判定定理 平行,那么这条直线和这个平面平行.

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线

a
b

?
符号语言: 如果 则

a ?? a // ?

, 。

, b ? ? , a // b

例 1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面.
已知:空间四边形 ABCD 中, E、F 分别为 求证:

AB、AD

的中点

EF //

平面

BCD 。

证明:连接

BD

AE ? EB ? ? AF ? FD ?
? EF // BD ? ? 又EF ? 平面BCD? BD ? 平面BCD ? ?

? EF // 平面BCD

90

通过直线间的平行, 推证直线与平面平行, 即将直线与平面的平行关系 (空间问题) 转化为直线间的平行关系(平面问题).

练习:
在长方体 ABCD-A′B′C′D′六个面所在平面中 (1)与直线 AB 平行的平面是 (2)与直线 AA′平行的平面是 (3)与直线 AD 平行的平面是

D' A' D A B B'

C'

C

二、直线与平面平行的性质
思考 1 如果直线 a 与平面α 平行,那么直线 a 与平面α 内的直线有哪些位置关系?

a

α

91

思考 2 若直线 a 与平面α 平行, 那么在平面α 内与直线 a 平行的直线有多少条?这些直线 的位置关系如何?

a
α
思考 3 教室内日光灯管所在的直线与地面平行, 如何在地面上作一条直线与灯管所在的直 线平行?

a

α
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的

平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

符号表示: 如果 则

a // ?

,?

? ?, ? ? ? ? b

a // b 。

92

例 2 在图中所示的一块木料中,棱 BC 平行于平面 A’C’ .
(1)要经过平面

A?C ? 内的一点 P

和棱 BC 将木料据开,应怎样画线?

(2)所画的线和平面 AC 是什么位置关系?

D′ A′ D A
解:

P B′ C B

C′

D′ A′ D A B P B′ C C′

93

三、平面与平面平行的判定
两个平面的位置关系是 平行或相交 .

? ?
思考 1.三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗?

A
2. 三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,三角板所在平面与桌面平行吗?

A

思考 1.一般地,如果平面α 内有一条直线平行于平面β ,那么平面α 与平面β 一定平行

94

吗? 2. 如果平面α 内有两条直线平行于平面β ,那么平面α 与平面β 一定平行吗?

α β

平面与平面平行的判定定理 个平面,那么这两个平面平行.

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一

95

例3

已知:在正方体 ABCD-A′B′C′D′中.

求证:平面 AB′D′∥平面 BC′D.

D


B

C



A


D


C

A

B

分析: 只要证明一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条直线分别平行
即可.

证明:由正方体 ABCD- A′B′C′D′可知
D′C′∥A′B′∥AB ,D′C′= A′B′= AB , 所以 AB C′D′是平行四边形,从而 A D′∥ 同理 B′D′∥BD . B C′.

又因为 A D′∩

B′D′= D′ ,

所以平面 AB′D′∥平面 BC′D.

96

练习
已知:直线AA'、BB'、CC', 交与点

O, AA=A' O,

'

BB ' ? B' O,

CC ' ? C ' O,
求证:平面 ABC ?? 平面 A' B' C'

四、平面与平面平行的性质
思考 若

? // ? , l ? ?

,则直线 l 与平面β 的位置关系如何?

?

l

?

结论:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

思考 若 ?//? ,平面α 、β 分别与平面γ 相交于直线 a、b,那么直线 a、b 的位置关系 如何?为什么?

97

α

a

β

?

b

两个平面平行的性质定理 们的交线平行.

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它

符号表示:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

这个定理是判定两直线平行的依据之一. 注意: 思想方法:面面平行 线面平行或线线平行

练习 如果三个平面两两相交,那么它们的交线位置如何?

98

第六节

直线、平面垂直的判定及其性质

一、直线与平面垂直的判定
思考 1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何?

思考 2 将一本书打开直立在桌面上,观察书脊(想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什 么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何?

99

思考 3

特征:直线垂直于平面 内任意一条直线.

一条直线与一平面垂直的特征是什么?

A

?

C? C

B? B

(一)直线和平面垂直的判定 如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂 直.

记为l ? ?

平面? 的垂线 垂足
l

直线 l 的垂面
P

?

平面内任意一条直线

100

思考 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂 直?

l

α

探究 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验

A

A
D
B

C

?
B
D

C

过 ?ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD,

DC 于桌面接触) .
(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 ? 垂直.

101

A

A

C

D
B

?
B
D
C

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面α 垂直.

思考 (1)有人说,折痕 AD 所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直,就可以判断

AD 垂直平面 ,你同意他的说法吗?
(2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关系不变, AD ? CD ,

AD ? BD 。由此你能得到什么结论?
A

A

C

D
B

?
B
D
C

102

直线和平面垂直的判定定理 则该直线与此平面垂直.

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,

l
b

?
符号表示:

A

a

? ? l ?b ? a ?? ?? l ?? ? b ?? ? a ?b ? A ?
例 1:已知:正方体中,AC 是面对角线,BD'是与 AC 异面的体对角线.
求证:AC⊥BD'

l?a

D′ A′ B′

C′

D A
103

C B

证明:连接 BD
因为正方体 ABCD-A'B'C'D' 所以 DD‘⊥平面 ABCD 又因为 AC ? 平面ABCD 所以 AC ? DD ' 因为 AC、BD 为对角线 所以 AC⊥BD 因为 DD'∩BD=D 所以 AC⊥平面 D'DB 所以 AC⊥BD'

思想方法 通过直线间的垂直, 推证直线与平面垂直, 即将直线与平面的垂直关系 (空间问题) 转化为直线间的垂直关系(平面问题)

104

(二)直线与平面所成的角

平面的垂线 平面的斜线

P

l
斜足A

垂足B

α
斜线PA在平面内的射影

A

B

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角 2.平面的垂线与平面所成的角为直角。

(0,90 0 )。

3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00 角 一条直线与平面所成的角的取值范围是[0,90 0 ]

练习
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求直线 A1B 和平面 ABCD 所成的角;

105

(2)求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

D1 A1 B1

C1

O D A B C

注意:求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.

思考 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形? 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形? 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

二、直线与平面垂直的性质
思考 1 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面 ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?

106

C1 B1 C B
思考 2

D1 A1 D A

如果直线 a,b 都垂直于同一条直线 l,那么直线 a,b 的位置关系如何?

l

l a b
平行

b a
异面

l l

a

b
相交

直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行
a

b

107

符号表示:

a ??? ? ? a // b b ???

线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法, 也提供了作平 行线的一种方法.

三、平面与平面垂直的判定
(一)二面角 直线上的一点将直线分割成两部分, 每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平 面分割成两部分,每一部分叫半平面.

射线

射线

半平面

半平面

从一点出发的两条射线,构成平面角. 记作 ?AOB

A O B
108

同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 .这条直线叫做二面 角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

?

m

?

记为:二面角 ?-m-? 二面角的图示

二面角的记号 (1)以直线 l 为棱,以

?, ?

为半平面的二面角记为 为半平面的二面角记为

? ?l ? ?

(2)以直线 AB 为棱,以

?, ?

? ? AB ? ?

109

?

?
B

l

?
A

?

二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.

∠AOB 即为二面角α -AB-β 的平面角 注意 二面角的平面角必须满足 (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

110

二面角的取值范围

?0 ,180 ?或 [0,? ]
0 0

β α

l
0 度角 0°~180°

180 度角

例 2. 在正方体中,找出二面角 C1-AB-C 的平面角,并指出大小.
D1 B1 C1

A1

N M D C

A

B

(二)平面与平面垂直的判定 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直。记为 ???

111

β a A α b

α

β

平面与平面垂直的判定定理 面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的垂线, 则这两个平

β a α A

符号表示:

a??
a ? 面?

? ? ??

112

四、平面与平面垂直的性质
思考 1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直?若存 在,怎样画线?

α

β

2. 设 ? ? ? , ? ? ? ? CD , AB ? ? , AB ? CD ,垂足为 B, 那么直线 AB 与平 面 ? 的位置关系如何?为什么?

β E D B C A

α

113

平面与平面垂直的性质定理 线与另一个平面垂直.

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直

β a l α A

符号表示:

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ? a?? ?
a?l ? ?

? a ??

练习
如图,已知α 明理由.

⊥β ,a⊥β ,a??

,试判断直线 l 与平面α 的位置关系,并说

α b l β A
114

a


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