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广东省珠海市2013届高三5月综合考试(二)数学(文)试题


珠海市 2013 年 5 月高三综合测试(二) 文科数学试题与参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (复数的计算)复数 z 满足 i ? z ? 1 ? 2i ,则 z ?

A.2 ? i
【解析】 z ?

B. ? 2 ? i

C.1 ? 2i

D.1 ? 2i

1 ? 2i ?1 ? 2i ? ? i 2 ? i ? ? ? ?2 ? i ; i i ?i ?1

2 2. (解不等式)已知集合 A ? {x x ? 1}, B ? {x log 2 x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {x x ? ?1} B. {x x ? 0}

C. {x x ? 1} D. x x ? ?1

【解析】 A ? x x ? ?1或x ? 1 , B ? x x ? 1 ,所以 A ? B ? x x ? 1 ;

? ? ? ? ? 3. (平面向量)已知平面向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, m ? , 且 a // b , 则 b ?
A.

?

?

?

x ? 1?

?

?

?

?

3

B.

5

C. 2 5

D. 2 2

? ? ? , , a / / b , 所 以 1? m ? 2 ? ( ?2 ) 解 得 : m ? ?4 , 所 以 b ? ( ?2 , ? 4 ) 【解析】因为 ? b ? (?2)2 ? (?4)2 ? 2 5 ;
4. (单调性)下列函数在其定义域是增函数的是 ?A y ? tan x . B. y ? ?3
x

C. y ? x
x

3

D. y ? ln x
3

【解析】 y ? tan x 只在其周期内单调递增, y ? ?3 在 R 上单调递减, y ? x 在 R 上单调 递增, y ? ln x 在 ( ??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增; 5. (通项与求和)已知数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列,且 a1 , a 2 , a5 成等比数列,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 A. 20 B. 30 C. 25 D. 40 【解析】由数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列可设首项为 a1 ,则 an ? a1 ? (n ? 1) ? 2 ;又因为

a1 , a 2 , a5 成等比数列,所以 a1 ? a5 ? a22 ,即 a1 ? (a1 ? 8) ? ? a1 ? 2 ? ,解得 a1 ? 1 ;所以
2

S5 ? 5a1 ?

5 ? (5 ? 1) ? d ? 5 ?1 ? 20 ? 25 ; 2

6.(图像平移)将函数 y ? sin(6 x ? 解析式为 A. y ? sin(6 x ?

?
4

) 的图像上各点向右平移

? 个单位,则得到新函数的 8
D. y ? sin(6 x ?

?
2

) B.

y ? sin(6 x ? ) 4 ) 的图像向右平移

?

C. y ? sin(6 x ?

5? ) 8

?
8

)

【解析】 y ? sin(6 x ?

?
4

? sin(6 x ? ) ; 2
7. (线 面关系)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A.若 l ? ? , ? ? ? , 则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? , 则 l ? ? B.若 l // ? , ? // ? , 则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ?

?

? ? ?? ? 个单位后变为 y ? sin ?6( x ? ) ? ? 8 8 4? ?

【解析】A 选项中,还可能 l / / ? ;B 选项中,也可能 l / / ? ;D 中,也可能 l / / ? ; 8. (三视图与直观图)右图是一个几何体的三视图,根据图中数 据,可得该几何体的表面积是 A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π

【解析】由三视图可判断出该几何体为球和圆柱体的组合,其中,圆柱体的表面积

S1 ? ? r 2 ? 2 ? ? d ? h ? ? ?12 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? 8? ;球的表面积 S2 ? 4? r 2 ? 4 ? ? ?12 ? 4? ;
所以几何体的总表面积 S ? S1 ? S2 ? 16? ;

?x ? y ? 1 ? 0 ? 9. (线性规划)如果实数 x, y 满足: ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 ?x ? 1 ? 0 ?
A. 2 B. 3 C.

7 2

D. 4

【解析】通过作图 可知可行域为一个三角形,三角形三个顶点坐标分别是 (?1,0),(?1,3) 和

1 3 7 ( , ) ,代入可知 z ? 4 x ? y 的最大值为 ; 2 2 2
10. (抽象函数) 已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数, 若对于任意给定的不等实数 x1 、

x2 ,不等式 ( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 恒成立,则不等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集为
A. ?1, ?? ? B. ?? ?,?3? C. ? 0, ?? ? D. ? ??,1?

【解析】由 ( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 可知 f ( x ) 在 R 上也为单调递增函数, f ( x ? 1) 是由 f ( x ) 向右平移一个单位得到的, 平移不改变 f ( x ) 在 R 上的单调递增, 又因为 f ( x ? 1) 为奇函数, 所以 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 ( ??, 0) , 又因为 f ( x ? 2) 可以由 f ( x ? 1) 向左平移 3 三个单位得到,所以 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 (??, ?3) ; 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.程序框图(如图)的运算结果为 . 24 【解析】由分析可知,本程序是计算 4! 的值,即

4! ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 ;
12. (分段函数指数对数)已知函数

?(a ? 1) x ? 1, x ? 1 1 若 f (1) ? ,则 f ( x) ? ? x ?1 2 ? a ,x ?1
f (3) ?


1 4 1 1 ,所以 a ? ; 2 2

【解析】因为 f (1) ? (a ? 1) ? 1 ? 1 ?

?1? 则 f (3) ? ? ? ? 2?

3?1

?

1 ; 4

13. 圆锥曲线的定义)已知两定点 M (?1,0) , N (1,0) , ( 若直线上存在点 P ,使得 PM ? PN ? 4 ,则该直线 为“ A 型直线” .给出下列直线,其中是“ A 型直线”的是 ① y ? x ?1 ① ④ (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如 图 , 圆 内 的 两 条 弦 AB , CD 相 交 于 圆 内 一 点 P , 已 知 PA ? 4 , PB ? 2 , ②y?2 ③ y ? ? x ? 3 ④ y ? ?2 x ? 3 .

4 PC ? PD ,则 CD 的长为

. 5 2

x 所以 2 ? 4 ? 4x 2 , 【解析】 根据相交线定理:PA ? PB ? PC ? PD , P ? , P ? 4 , 设 C x 则 D
解得 x ?

2 ,因此 CD ? PC ? PD ? 5x ? 5 2 ;

15. (坐标系与参数方程选做题) 已知在极坐标系下, A( 2, 点 【解析】

?
6

) ,B ( 4,

2? ) ,O 是极点,则 ?AOB 的面积等于 3

4 .

; 1 ? 2? ? ? S ? AOB ? ? 2 ? 4 ? sin ? ? ??4 2 ? 3 6?
[来源:学科网]

16. (本小题满分 12 分)

已知函 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示: (1)求 ? , ? 的值; (2)设 g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ? 值域。 解:(1)由图象知: T ? 4(

x 2

x ? ? ) ? 1 ,当 x ? [0, ] 时,求函数 g ( x) 的 2 8 2

?

? 2? ? ) ? ? ,则: ? ? ? 2 ,?2 分 2 4 T

由 f (0) ? ?1 得: sin ? ? ?1 ,即:? ? 2k? ? ∵ | ? |? ? ∴

?

2

(k ? z ) ,???4 分

? ??

?
2



???????????????6 分

(2)由(1)知: f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

) ? ? cos 2 x ,???????????7 分

∴ g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x ? ? ) ? 1 ? 2 2( ? cos x)[ ? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

? 2 2 cos x[

2 (cos x ? sin x)] ? 1 ? 2 cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 2

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,???????????????10 分 4
当 x ? [0,

?

?
2

] 时, 2 x ?

?

? 2 ? 5? ,1] , ? [ , ] ,则 sin(2 x ? ) ? [? 4 2 4 4 4

∴ g ( x) 的值域为 [?1, 2] 。??????????????????12 分

17. (本小题满分 14 分) 通过随机询问某校 100 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表: (1)从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问 样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从(1)中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明 的女生各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关?

性别与看营养说明列联表

单位: 名


ZXXK]

[来源:学科网



总计

看营养说明 不看营养说明 总计 统计量 K 2 ? 概率表

40 10 50

30 20 50

70 30 100

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.15
2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

解: (1)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的女生有

30 ? 5 ? 3 名,样本中不看营养说 50

明的女生有

20 ? 5 ? 2 名;??????????2 分 50

(2)记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1 , a2 , a3 ,不看营养说明的 2 名女生为 b1 , b2 ,从 这 5 名女生中随机选取两名, 共有 10 个等可能的基本 事件为:a1 , a2 ;a1 , a3 ;a1 , b1 ;

a1 , b2 ; a2 , a3 ; a2 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 ; b1 , b2 .??????5 分
其中事件 A “选到看与不看营养说明的女生各一名 ”包含了 6 个的基本事件:

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a2 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b1 ; a3 , b2 .?????????7 分
所以所求的概率为 P ( A) ?

6 3 ? . ???????????????9 分 10 5
2

(3) 假设 H 0 :该校高中学生性 别与在购买食物时看营养说明无关,则 K 应该很小.

100 ? (40 ? 20 ? 30 ?10) 2 100 根据题中的列联表得 k ? ? ? 4.762 70 ? 30 ? 50 ? 50 21
由 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 可知

???11 分

有 95 %的把握认为该校 高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关? ?????????????????????????????????13 分 18. (本题满分 14 分)如图: C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 ,

AC ? BC ,F 是 AB 上一点, AF ? 且
的射影 E 在 BD 上,已知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

1 使点 C 在平面 ABD AB ,将圆沿直径 AB 折起, 3

18 解: (1)证明:依题意: AD ? BD ??????????2 分 ∴ CE ? AD ?????2 分 ? CE ? 平面 ABD

? BD ? CE ? E ∴ AD ? 平面 BCE . ???????????5 分 (2)证明: Rt?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2 ????????????6 分 Rt?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3

∴ BD ? 3 . ??????????????????????????7 分



BF BE 2 . ??????????????????????8 分 ? ? BA BD 3

∴ AD // EF ? AD 在平面 CEF 外 ∴ AD // 平面 CEF . ??????????????????????10 分 (3)解:由题设知 AF ?

? 1 2 3 , AD ? 3 , ?BAD ? ?????11 分 AB ? 3 3 3 1 1 2 3 ? 3 ∴ S? FAD ? AF ? AD ? sin ?BAD ? ? ???12 分 ? 3 ? sin ? 2 2 3 3 2

? CE ? 平面 ABD 1 1 3 6 ∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? ? S ?FAD ? CE ? ? . ?????14 分 ? 2? 3 3 2 6
19、 (本小题满分 14 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前 5 项和 S 5 ? 35 , a1 ? 1, a3 ? 1, a7 ? 1成等比 又 数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 {

? n 1 n ? } 的前 n 项和,问是否存在常数 m ,使 Tn ? m ? ? ? ?, Sn ? n ? 1 2(n ? 2) ?

若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由.

解: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,由已知得 a1 ? 2d ? 7 ,

??????????2 分

又 a1 ? 1, a3 ? 1, a7 ? 1成等比数列,所以 (7 ? 1) 2 ? (a1 ? 1)(a1 ? 6d ? 1) ????????????4 分 解得: a1 ? 3, d ? 2 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (2)? S n ? ??????????? 6 分

n(a1 ? a n ) ? n(n ? 2) 2

??????????? 8 分

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) S n n(n ? 2) 2 n n ? 2

???????????10 分

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ) ???????????12 分 2 1 2 n ?1 n ? 2

?

1? n n ? ? n ? 1 ? 2(n ? 2) ? 2? ?
1 2

???????????13 分

故存在常数 m ?

???????????14 分

20.已知椭圆

x2 y 2 15 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P( a, a) 在椭圆上. 2 a b 5 2

(1)求椭圆的离心率; (2) A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点, Q 在椭圆上且满足 AQ ? AO 求直线 OQ 的 设 若 斜率的值.
[来源:学#科#网]

15 2 1 2 a a 15 1 25 ? 4 解:(1) 点 P( a, a) 在椭圆上 ? ? 1 (2 分) 5 2 a2 b2
? b2 5 b2 3 6 (5 分) ? ? e2 ? 1 ? 2 ? ? e ? 2 8 8 4 a a

x2 8y2 ? 1 , 分) (2) 法一:由(Ⅰ)得, A(a,0) ,椭圆方程为: 2 ? (6 a 5a 2

x 8y 设 Q( x0 , y0 ) 满足条件,则: 02 ? 02 ? 1 ?????① (7 分) a 5a
由 AQ ? AO 得: ( x0 ? a) ? y 0 ? a ?????②(8 分)
2 2

2

2

由①②得: 3x0 ? 16ax0 ? 5a 2 ? 0 , (10 分)
2

解得: x0 ? 5a (舍) ,

x0 ?

1 5 a, 故 y0 ? ? a, (13 分) 3 3

直线 OQ 的斜率 k OQ ?

y0 ? ? 5 (14 分) x0

法二:设 Q(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ; 分) (6 则 A(a, 0) (8 分)

AQ ? AO ? a 2 (1 ? cos? ) 2 ? b 2 sin 2 ? ? a 2
1 (12 分) 3

3 cos2 ? ? 16cos? ? 5 ? 0 (10 分) cos ? ? ,
直线 OQ 的斜率 kOQ ?

b sin ? ?? 5 a cos ? (14 分)

[来源:Z.xx.k.Com][来源:Z&xx&k.Com]

21.(本小题满分 14 分)

? x 2 ? ax ? 1, x ? a, ? 已知函数 f ? x ? ? ? x x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a ?
(1) 若 x ? a 时, f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? ?4 时,函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.
解:

(1) 因为 x ? a 时, f ? x ? ? 4x ? 4 ? 2x ?a ,所以令 t ? 2 ,则有 0 ? t ? 2 ,
x
a

f ? x ? ? 1 当 x ? a 时恒成立,转化为 t 2 ? 4 ?


t ? 1, 2a

4 1 ? t ? 在 t ? ? 0, 2a ? 上恒成立, a 2 t

???????????????????2 分

1 1 1 a a 令 p (t)=t- , t ? 0, 2 ,则 p? ? t ? ? 1 ? 2 ? 0 ,所以 p (t)=t- 在 0, 2 上单调递增, t t t

?

?

?

?

所以

4 1 ? 2a ? a ,所以 2a ? 5 ,解得 a ? log2 5 . a 2 2
2

???????6 分

a? a2 ? (2) 当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? ax ?1 ,即 f ? x ? ? ? x ? ? ? 1 ? ,???7 分 2? 4 ?
2



a ? a 时,即 a ? 0 时, f ? x ?min ? f (a) ? 1 ; 2 a a a2 ? a 时,即 ?4 ? a ? 0 , f min ( x) ? f ( ) ? 1 ? ;???????8 分 2 2 4
x x ?a
a x ,令 t ? 2 , t ? 0, 2 ,则



当 x ? a 时, f ? x ? ? 4 ? 4 ? 2
2 2

?

?

4 2? 4 ? h ? t ? ? t ? a t ? ? t ? a ? ? a ,????10 分 2 ? 2 ? 4


2 1 2 4 ? 2a ,即 a ? 时, hmin (t ) ? h( a ) ? ? a ; a 2 2 2 4 2 1 ? 2a ,即 a ? 时, h(t ) 在开区间 t ? ? 0, 2a ? 上单调递减, h(t ) ? (4a ? 4,0) , a 2 2



无最小值;????????????????????12 分 综合 x ? a 与 x ? a ,所以当 a ? 当0 ? a ?

1 4 4 时,即 1 ? ? a ,函数 f ? x ? min ? ? a ; 2 4 4

1 a 时, 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ? x ? 无最小值; 2
a

当 ?4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ? 综上所述,当 a ?

a2 ,函数 f ? x ? 无最小值.???????13 分 4

1 4 1 时,函数 f ? x ? 有最小值为 ? a ;当 ?4 ? a ? 时,函数 f ? x ? 无最小 2 4 2

值?????14 分.


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