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三棱锥的外接球问题


三棱锥的外接球问题 三棱锥的外接球问题是一类重要的题型,学生往往感到困难,本文 从三棱锥的题型出发,进行归类总结,使学生全面掌握这些方法,提高解决这 类题的能力。 1 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ,球心在公共斜边的中点处 C1.在矩形 ABCD 中, AB =4, BC =3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为 125 125 125 125 ? ? ? ? B. C. D. 12 9 6 3 B2.三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,且 SA ? AC ? SB ? BC ? 2 2 , SC ? 4 ,则该球的 A. 体积为 32 ? C 16? D 64? 3 D3.在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 2,SA ? SC ? 2 ,二面角 S ? AC ? B 的余弦值是 A B 256 ? 3 ? 3 ,若 S , A, B, C 都在同一球面上,则该球的表面积是 3 A. 8 6 B. 6? C. 24? D.6 ? A4.在平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD ,将其沿对角线 BD 折成四面 体 A ? BCD ,使平面 A BD ? 平面 BCD ,若四面体 A ? BCD 顶点都在同一个球面上,则该球的体积 为 ' ' ' 3 2 3? B C D 2? ? ? 2 3 15. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截面圆的半径 ? 16? 分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ,则球 O 的表面积为 . 2 ??? ? ??? ? 2 2 5. 平行四边形 ABCD 中,AB · BD =0, 沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BD-C, 且 2 AB ? BD ? 4 , A 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为( A. ) C. 4? D. ? 2 B. 试题分析: AB ? BD ? 0 , 所以 AB ? BD ,因为 ABCD 为平行四边形, 所以 CD ? BD, AB ? CD .因为 ??? ? ??? ? ? 4 ? 2 ??? ? ??? ? A ? BD ? C 为直二面角,所以 面ABD ? 面CBD ,因为 面ABD ? 面CBD=BD , AB ? 面ABD , AB ? BD ,所以 AB ? 面CBD . 因为 BC ? 面CBD , 所以 AB ? BC . 分析可知三棱锥 A ? BCD 的外接球的球心为 AC 的中 点 . 因 为 A C ? A B? 2 2 B 2C ? 2 A ( B ? 2 C ? D )2 B2 ? D 2 A ?B 2 4 C ?所 D以 AC ? 2 . 则 三 棱 锥 , A ? BCD 的外接球的半径为 1,表面积为 4? .故 C 正确. 题型 等腰四面体的外接球 补成长方体,长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱 1. 在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? 6, AC ? BD ? AD? BC? 5 ,则该三棱锥的外接球的表面积为 ____________ 43? |科| 题型 直角四面体的外接球 补成长方体,长方体对角线长为球的直径 1.已知正三棱锥 P ? ABC ,点

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