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圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧归纳总结


圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a , 且此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1 F2 时, 轨迹是线段 F 1 F 2 , 当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2

的距离的差的绝对值等于常数

2a , 且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的 “绝对值” 与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。 若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去 掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足
下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF B. PF 1 ? PF 2 ? 4 1 ? PF 2 ?6 C . PF 1 ? PF 2 ? 10 D . PF1
2

? PF2

2

; (2)方程 ? 12 ( 答 : C )

(x ? 6 2 ) ? y2 ?

表示的曲线是 _____(答:双曲线的左支) (x ? 62) ? y 2 ? 8

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线 距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 如 已知点

Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 4

2.圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程) :

x2 y2 x ? a cos ? (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? y ? b sin ? (参数方程, a b y2 x2 其中 ? 为参数) ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax 2 ? By 2 ? C 表示椭圆 a b x2 y2 的充要条件是什么? (ABC≠0, 且 A, B, C 同号, A≠B) 。 如 (1) 已知方程 ? ?1 3? k 2? k 1 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为 ____ (答: (?3, ? ) ? (? , 2) ) ; ( 2 ) 若 x, y ? R ,且 2 2 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 )
(2) 双曲线: 焦点在 x 轴上:

?

x2 y2 y2 x2 y ? ? =1 , 焦点在 轴上: =1 ( a ? 0, b ? 0 ) 。 a2 b2 a2 b2

方程 Ax 2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。如(1) 双曲线的离心率等于

x2 y2 5 , 且与椭圆 ? 则该双曲线的方程_______ (答: ? 1 有公共焦点, 9 4 2

x2 ; (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲 ? y 2 ? 1) 4 线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 ? 6 )
(3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口向
2 2

上时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x ? ?2 py( p ? 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) :
2 2

( 1 ) 椭圆 :由 x

2

,y

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知方程

3 x2 y2 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 则 m 的取值范围是__ (答: ? ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆, 2 m ?1 2 ? m

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(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位 置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大,
2 2 2

2

2

c 2 ? a 2 ? b2 。
4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; a2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四
(1)椭圆(以 个顶点 (? a, 0), (0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? 离心率: e ?

a2 ;⑤ c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。如(1)若椭 a 25 x2 y2 10 圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; (2)以椭圆上一点和椭 ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5 圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )为例) (2)双曲线(以 :①范围: x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两 个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称
为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ?

a2 ; ⑤离心率: c

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大; a b ⑥两条渐近线: y ? ? x 。如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心 a 13 13 2 2 率等于______(答: 或 ) ; (2)双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = 2 3 1 x2 y2 (答:4 或 ) ; (3)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2], 4 a b e?
则两条渐近线夹角θ 的取值范围是________(答: [

, ]) ; 3 2 2 (3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点

? ?

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对 2 p c 称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 2 a

? e ? 1 。如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0,
5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

1 ; )) 16 a

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 a2 b2
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2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1; a b a b 2 x 2 y0 ? ?1 ? 0 a 2 b2

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲 线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线 相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如 2 2 (1) 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是_______

x2 y 2 15 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值 ,-1)) ; (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 5 m 3 x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双 范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞) ) ; (3)过双曲线 1 2
(答:(曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线 与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线 与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线 与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一 a2 b2

点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含 双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线, 共四 条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与 双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与 另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一 点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 (1) 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ; (2)过
2

点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 ______(答: 9 16

? 4 4 5? ? y2 ? ; (3)过双曲线 x 2 ? ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 ?? , ? ?) 3 ? 2 ? 3 ? ?
; (4)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有____条(答:3) 满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l :
2 ; (5)过抛物线 y ? 4 x 的焦 y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离)
2

q, 点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 则
(答:1) ; (6)设双曲线

1 1 ? ? _______ p q

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、 16 9 右支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小 于或等于) (答:等于) ; (7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距
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8 13 ) ; (8)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何 13 值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? (答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ;
离(答:

?

?

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定 义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆 ____(答:

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为 25 16

35 ) ; (2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5, 3 则它到抛物线的焦点的距离等于____; ( 3) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, 则点 M 2 2 x y 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) ) ; (4)点 P 在椭圆 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它 25 9 25 2 到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______(答: ) ; (5)抛物线 y ? 2 x 上的两 12 点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______(答:2) ; (6)椭
x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值 4 3 2 6 最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( ; ,?1) ) 3
圆 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一 定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分

S ,则在椭圆 别为 r 1, r 2 ,焦点 ?F 1PF 2 的面积为
P 为短轴端点时, ? 最大为 ? 且当 r 1 ?r 2即

x2 y2 2b 2 ? ? ? 1 中, ① = arccos( ? 1) , a2 b2 r1r2

? b2 ? c2 2 ; ② S ? b tan ? c | y0 | , 2 2 a 2 2 x y 当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦点三角形 a b 2 ? 2b ? 1 ? 2 有:① ? ? arccos ? ?1 ? r r ? ? ;② S ? 2 r1 r2 sin ? ? b cot 2 。如(1)短轴长为 5 ,离心 1 2 ? ?
max = arccos

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为 3 ________(答:6) ; (2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右
率e ? 焦点,若 PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (3)椭圆 (答: x2 ? y 2 ? 4 ) ;

x2 y 2 → → ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF 2 ·PF1 <0 时,点 P 的 9 4 3 5 3 5 6 (? , )) 横坐标的取值范围是 (答: ; (4) 双曲线的虚轴长为 4, 离心率 e= , 5 5 2 F1、 F2 是它的左右焦点, 若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 B 两点, 且 AB 是 AF2 与 BF2
等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 ) ; (5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左 右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 , S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程
?

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(答:

x2 y 2 ? ?1) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准 线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦 点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的 延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点, 则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的 横 坐 标 , 则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 , 若 y1 , y2 分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 , 则 AB =

1?

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。特 2 k

别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点 弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交 抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2) 过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y2 在 椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 a b a y0 b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 中 , 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 ;在抛物线 a 2 b2 a y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。如(1)如果椭圆 y0
x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A ( 4 , 2 )平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答: 36 9 x2 y 2 x ? 2y ?8 ? 0 ) ; (2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点, a b 2 且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; (3) 2 x2 y2 试确定 m 的取值范围, 使得椭圆 (答: ? ? 1 上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 4 3 ? 2 13 2 13 ? ; ? ? ? 13 , 13 ? ?) ? ?
特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2

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(2)以 y ? ?

b x2 y2 x 为渐近线(即与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a b

x2 y2 x2 y2 为参数,? ≠0)。如与双曲线 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 ? ? ? ( ? 9 16 a2 b2
的双曲线方程为_______(答:

3)

4 x2 y 2 ? ? 1) 9 4

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 应准线的距离)为

2b 2 ,焦准距(焦点到相 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ① | AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ? 4 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答: y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或

y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) );
② 待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、 B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程 为 (答: y 2 ? 2 x ) ; ③定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点
2 2
0

的轨迹方程; 如(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、 PB, 切点分别为 A、 B, ∠APB=60 , 则动点 P 的轨迹方程为
2 2

(答: x ? y ? 4 ); (2)点 M 与点 F(4,0)
2 2 2

的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1, 则点 M 的轨迹方程是_______ (答:y ? 16 x ) ; (3) 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的 轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 )
2 2

又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的 轨迹方程;如动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比 1 为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1) AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P , 使 | OP |?| MN | , 求点 P 的轨迹。 (答:x ? y ? a | y | ) ; (2) 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x ? y ? 1
2 2
? ??

2

2

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上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____(答: y ? 2 x ? 1(| x |?
2

1 ) );(3)过抛 2

物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ (答: x2 ? 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向 量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴 子”转化。如已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a2 b2

别是 F1 (-c, 0) 、 F2 (c, 0) , Q 是椭圆外的动点, 满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ( 1 ) 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明
c x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 a T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若 b2 b2 2 2 2 ? a 时不存在;当 ? a 不存在,请说明理由. (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当 c c | F1 P |? a ?
时存在,此时∠F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的 双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分 类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为 桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ?, 使AB ? ? AC ;③若存在实数

?

?

?

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
OA ? ? OB ? 为定比, , 等于已知 P 是 AB 的定比分点, 即 AP ? ? PB 1? ? ( 7 ) 给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 , 给 出 MA ? MB ? m ? 0 , 等于已知 ?AMB 是钝角 , 给出 MA ? MB ? m ? 0 , 等于已知 ?AMB 是
(6)给出 OP ? 锐角,

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是
菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是

??? ? ????

??? ? ????

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矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形 外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ( 14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC | ?ABC 的内心; (15) 在 ?ABC 中, 给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心 (三
(16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ;

????

? ???? 1 ??? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中 2

?

?

线;

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