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第六届北方数学奥林匹克邀请赛模拟试卷


第六届北方数学奥林匹克邀请赛模拟试卷 第 一 天 注:本试卷共四道题,每题 25 分,满分 100 分. 一、(25 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 22 n an ?1 ? n ? 2n ? n ? 2 ? , 求通项 an . 2 二、 分)如图,PA 、PB 是 ⊙O 的切线, (25 切点分别是 A 、B , 过点 P 的割线与 ⊙O 交于 C、D 两点,过点 C 作 PA 的平行线,分别交弦 AB 、 AD 于点 E 、 F .求证: CE ? EF . A 三、(25 分)求所有的正整数组 ( x, y, z ) ,使得 1 ? 2 ? 3 ? 5 成立. x y z P C E F ? O D B 四、(25 分)如图,在 7 ? 7 的方格表的 64 个网格线交点处放置棋子,每点至多放 1 枚,一共 放了 k 枚棋子.若无论怎样放,总存在 4 枚棋子,它们所在网格点构成一个矩形(矩形的边平 行于网格线)的四个顶点. 试求 k 的最小值. 第 二 天 注:本试卷共四道题,每题 25 分,满分 100 分. 五、(25 分) 设正实数 a, b, c 满足 (a ? 2b) (b ? 2c) ? 9 ,求证: 六、(25 分) 如图, ? O 是 ?ABC 的内切圆, D 、 a 2 ? b2 b3 ? c 3 ?2 ? 3. 2 2 3 E 、 N 是切点,连 NO 并延长交 DE 于 K ,连 AK 并延长交 BC 于 M .求证: M 是 BC 的中点. A D K ? O E 七、(25 分) 求满足条件 ? x, y , z ? ? ? x , y ? ? ? y , z ? ? ? z , x ? ? x, y , z ? ? 1 , x? y?z , B M N C 的所有正整数组 x, y, z . 其中记号 ? m , n ? 、 ? m , n ? 分别表示正整数 m 、 n 的最小公倍数和最大公约数. 八、(25 分) 设 x, y, z ? ? 0,1? , 且 x ? y ? 1 1 1 , y?z ? , z ? x ? ,求 2 2 2 W ? x ? y ? z ? xy ? yz ? zx 的最小值和最大值.

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