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重新认识“钟面角”


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重新认识“钟面角 重新认识 钟面角” 钟面角
日常生活中,我们几乎每天都要看钟表,然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角(即 “钟面角”)问题可能并没有在意.其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识,我们一起来探究一下“钟面 角”问题吧

. 一、认识“钟面角” 认识“钟面角” 要分析钟面角,我们首先要结合其图形特点,寻找并发现它们的变化规律. ⑴钟表的表面特点:钟表的表面都是一个圆形,共有12个大格,每个大格间有5个小格.圆形的表面 : 恰好对应着一个周角360°,每个大格对应30°角,每个小格对应6°角.表面一般有时针、分针、秒针 三根指针. ⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况:时针每小时转1大格,每12分钟转1小格,每12个小时转1个圆 : 周;分针每5分钟转一大格,每1分钟转1小格,每小时转1个圆周;秒针5秒钟转1大格,每1秒钟转1小格, 每1分钟转一个圆周. ⑶时针、分针、秒针的转速:有了以上的认识,我们很容易计算出相应指针的转速:①钟表的时针 : 转速为:30°/小时或0.5°/分钟;②分针的转速为:6°/分钟或0.1°/秒钟;③秒针的转速为:6°/秒. 有了这些对钟面角的基本认识,我们就可以探究与钟面角有关的问题了. 二、解决与钟面角有关的数学问题 ⒈计算从某一时刻到另一时刻,时针(分针)转过的角度 计算从某一时刻到另一时刻,时针(分针) 时刻到另一时刻 ⑴公式法:时(分)针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时(分)针转过的时间×时(分)针的转 速(注意统一单位) . ⑵观察法:若时(分)针转过了 a 大格 b 小格,则时(分)针从某一时刻到另一时刻转过的角度为: 30a+6b°. 例1.⑴从3:15到7:45,时针转过 ⑵从1:45到2:05,分针转过 (或270×0.5°=135°) 或用观察法:时针共走了4大格2.5小格,∴时针转过的角度为:4×30+2.5×6=135°. ⑵从1:45到2:05,分钟走过的时间为20分钟,∴分针转过的角度为:20×6°=120°. 或用观察法:分针共走了4个大格(或20小格)∴分针转过的角度为:4×30°=120°(或: 20×6°=120°) . ⒉计算某一时刻时针(分针)与分针(秒针)之间的夹角 计算某一时刻时针(分针)与分针(秒针) ⑴求差法:以0点(12时)为基准到某一时刻止,时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度 差,即时针、分针之间的夹角. ⑵观察法:某一时刻时针、分针相差 a 个大格 b 个小格,时针分针的钟面角=30a+6b°. 例2.⑴4:00点整,时针、分针的夹角为 ⑵11:40,时针、分针的夹角为 ⑵①作差法:11:40,以0点(12时)为基准 . . 度. 度.

分析:⑴从3:15到7:45,时针走过的时间为4.5小时(270分钟) ,∴时针转过的角度为:4.5×30°=135°

分析:⑴4:00整,时针、分针相差4个大格,夹角为:4×30°=120°.

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时针转过的角度为:11

×30°=350°

分针转过的角度为:40×6°=240° ∴时针、分针的夹角为:350°-240°=110°

②观察法:11:40分针、时针相隔3

个大格,∴时针、分针的夹角为:3

×30°=110°

⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间 求时针、 方程思想:时针、分针成特殊角时对应的时间问题,通常以0点(12时)为基准将时针、分针所转过 的角度可看成一个追及问题,从而借助方程进行求解. 相等关系:①整点后分针转过的角度-整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角(分针需追 赶的角度)+a 时 x 分分针与指针的夹角(分针应多转的角度) ②或:分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角 例3.你能用一元一次方程解决下面的问题吗?(课本习题 P114页第8题) 在3时和4时之间的哪个时刻,钟的分针与时针:⑴重合;⑵成平角;⑶成直角.

分析:⑴重合:设3时 x 分时针、分针重合.3时整,时针、分针的夹角为90°.即在后 x 分钟,分 针要比时针多走90°,分针才能追及时针重合. 从3时整到3时 x 分,分针走过6x 度角,时针走过0.5x 度角.依题意有 6x-0.5x=90 解得:x≈16 ⑵分针与时针成平角:设3时 x 分时针、分针成平角,即在后 x 分钟,分针先要多走90°追及时针,然后 还要比时针多走180°.依题意有 6x-0.5x=90+180 解得:x≈49 ⑶分针与时针成直角:应分两种情况讨论. ①分针在时针的顺时针方向垂直.此时钟面角为90°.即在后 x 分钟,分针先要多走90°追及时针,然 后还要比时针多走90°.依题意有 6x-0.5x=90+90180 解得:x≈33 ②分针在时针的逆时针方向垂直.此时钟面角为270°.即在后 x 分钟,分针先要多走90°追及时针,然 后还要比时针多走270°.依题意有 6x-0.5x=90+90180 ⒋钟面角的综合应用 例4.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒钟,OB 表示分钟(O 为两针的旋转中心) .若现在时间恰好 是12点整,问经过多少秒后,△OAB 的面积第一次达到最大? 分析:△OAB 的面积最大,设 OA 边上的高为 h,则 h 总小于等于 OB,只有当 OA⊥OB 时,h=OB, 此时△OAB 的面积最大. 解得:x≈65(不合题意,舍去)

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12点整,分针、秒针重合,设经过 x 秒,分针、秒针第一次垂直,△OAB 的面积第一次达到最大.此 时秒针走过角度为6x,分针走过的角度为0.1x.依题意有

6x—0.1x=90

解得 x=15

即经过15

秒后,△OAB 的面积第一次达到最大.

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