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高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的数字特征

一、学习任务 了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差以及标准差,并解 决一些相关的实际问题. 二、知识清单
离散型随机变量的数字特征

三、知识讲解

r />1.离散型随机变量的数字特征 描述: 离散型随机变量的均值 ①一般地,若离散型随机变量的分布列为

X P
则称

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? xn ? pn

E(X) = x1 p 1 + x2 p 2 + ? + xi p i + ? + xn p n
为随机变量 X 的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation).它反映了离散型随机变量取值的平均水平. ②若 Y = aX + b ,其中 a ,b 为常数,则 Y 也是随机变量.因为

P (Y = axi + b) = P (X = xi ), i = 1, 2, ? , n,
所以,Y 的分布列为

Y P
于是,

ax 1 + b p1

ax 2 + b ? ? p2

ax i + b pi

? ?

ax n + b pn

E(X) = (ax1 + b)p 1 + (ax2 + b)p 2 + ? + (axi + b)p i + ? + (axn + b)p n = a( x 1 p 1 + x 2 p 2 + ? + x i p i + ? + x n p n ) + b( p 1 + p 2 + ? + p n ) . = aE(X) + b


E(aX + b) = aE(X) + b.
③一般地,如果随机变量 X 服从两点分布,那么 E(X) = p;如果 X ? B(n, p),那么 E(X) = np. 离散型随机变量的方差 ① 设离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? xn ? pn

则 (xi ? E(X))2 描述了 xi (i = 1 ,2 ,?,n)相对于均值 E(X) 的偏离程度.而

D(X) = ∑(xi ? E(X))2 p i
i=1

n

为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的平均偏离程度.我们称 D(X) 为随机变量 X 的方 ? ? ? ? 差(variance),并称其算术平方根 √? D ( X ) 为随机变量 X 的标准差(standard deviation).随机变量的方差和标准差 都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小. ② 若 X 服从两点分布,则 D(X) = p(1 ? p);若 X ? B(n, p),则 D(X) = np(1 ? p). ③ D(aX + b) = a2 D(X). 例题: 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,据统计,随机变量 ξ 的概率分布如下:

ξ P

0 1 2 0.1 0.3 2a

3 a

则 a 的值和 ξ 的数学期望分别是( ) A.0.2,1.8 B.0.2,1.7 C.0.1,1.8 D.0.1,1.7 解:B 由概率分布可知:0.1 + 0.3 + 2a + a = 1 ,解得 a = 0.2 ,所以 E(ξ) = 0 × 0.1 + 1 × 0.3 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.7. 从饭店到火车站途中有 6 个交通岗,一出租车司机,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了 2 个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的数学期望. 解:(1)因为这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以

1 . 3

P = (1 ? 1 1 ),所以 E(ξ) = 6 × = 2. 3 3

1 1 1 4 ) × (1 ? ) × = . 3 3 3 27

(2)因为 ξ ? B(6,

已知随机变量 ξ 的分布列为:

ξ P

0 1 2 0.1 0.15 0.25

3 0.25

4 0.15

5 0.1

求D(ξ). 解:Eξ = 0.1 × 0 + 0.15 × 1 + 0.25 × 2 + 0.25 × 3 + 0.15 × 4 + 0.1 × 5 = 2.5 ,所以

D(ξ) = (0 ? 2.5)2 × 0.1 + (1 ? 2.5)2 × 0.15 + (2 ? 2.5)2 × 0.25 + (3 ? 2.5)2 × 0.25 + (4 ? 2.5)2 × 0.15 + (5 ? 2.5)2 × 0.1 = 2.05
如果 ξ 是离散型随机变量,且 η = 3ξ + 2,那么( A.E(η) = 3E(ξ) + 2,D(η) = 9D(ξ) B.E(η) = 3E(ξ),D(η) = 3D(ξ) + 2 C.E(η) = 3E(ξ) + 2,D(η) = 9D(ξ) + 4 D.E(η) = 3E(ξ) + 4,D(η) = 3D(ξ) + 2 解:A 由随机变量的均值与方差的性质可得答案. 某人投弹击中目标的概率为 p = 0.8. (1)求投弹一次,击中次数 X 的均值和方差; (2)求重复投弹 10 次,击中次数 Y 的均值和方差. 解:(1)由题意可知 X 服从两点分布,其分布列为 )

X P
所以

0 1 0.2 0.8

E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.8 = 0.8, D(X) = (0 ? 0.8)2 × 0.2 + (1 ? 0.8)2 × 0.8 = 0.16.
(2)由题意可知击中次数 Y 服从二项分布,即 Y ? B(10, 0.8),所以

E(Y ) = np = 10 × 0.8 = 8, D(Y ) = 10 × 0.8 × 0.2 = 1.6.
甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相同,所得次品数分别为 X 、Y ,X 和 Y 的分布列如表.试对这两

名工人的技术水平进行比较.

X P Y P

0 6 10 0 5 10

1 1 10 1 3 10

2 3 10 2 2 10

解:工人甲生产出次品数 X 的数学期望和方差分别为

6 1 3 +1× +2× = 0.7, 10 10 10 6 1 3 D(X) = (0 ? 0.7)2 × + (1 ? 0.7)2 × + (2 ? 0.7)2 × = 0.81. 10 10 10 E(X) = 0 ×
工人乙生产出次品数 Y 的数学期望和方差分别为

5 3 2 +1× +2× = 0.7, 10 10 10 5 3 2 D(Y ) = (0 ? 0.7)2 × + (1 ? 0.7)2 × + (2 ? 0.7)2 × = 0.61 10 10 10 E(Y ) = 0 ×
由 E(X) = E(Y ) 知,两人生产出次品的平均数相同,技术水平相当,但 D(X) > D(Y ),可见乙的技术水平比较稳定.

四、课后作业

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1. 设随机变量 ξ 的概率分布为 P (ξ = k) = p k ? (1 ? p)1?k (k = 0, 1) ,则 Eξ , Dξ 的值分别是 ( A.0 和 1
答案: D 解析: 随机变量

)

C.p 和 1 ? p

B.p 和 p 2

D.p 和 (1 ? p) p

ξ 服从两点分布. )
D.100 和 0.8

2. 已知 X ? B (n, p),E (X) = 8,D (X) = 1.6,则 n 与 p 的值分别为 ( A.10 和 0.8
答案: A 解析:

B.20 和 0.4

C.10 和 0.2

E (X) = np = 8,D (X) = np (1 ? p) = 1.6,解得 p = 0.8,n = 10 .

3. 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆 面数为 X ,则 X 的均值 E (X) = (

)

A.

126 125 25 × 6 6 = . 125 5

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

答案: B 解析: 期望实际上就是反映平均水平的量,首先总共

125 个小正方体,而总共有 25 × 6 个,所以每个小正方体上涂漆面的均值就是

4. 随机变量 ξ 的取值为 0, 1, 2 ,若 P (ξ = 0) =
答案:

2 5

1 , E (ξ) = 1 ,则 D (ξ) = 5 ( )



解析:

1 1 3 , + 1 × p + 2 × (1 ? p ? ) = 1 , 解得 p = 5 5 5 1 3 1 2 故 D (ξ) = (0 ? 1)2 × + (1 ? 1)2 × + (2 ? 1)2 × = . 5 5 5 5
设 ξ = 1 时的概率为 p ,则 E (ξ) = 0 ×

5

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