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卓越联盟2012数学真题(无答案)


卓越人才培养合作高校 2012 年自主选拔学业能力测试 数学
本卷共 100 分,考试用时 90 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上,并在规定位置粘 贴考试用条形码 2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在卷上的无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5

分,共 30 分。 (1)若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形,则椭圆的 离心率为 ____ 。 (2)函数 f (? ) ?
sin ? (? ? R) 的值域为 2 ? cos?



(3)设 0 ? a ? 1 , 0 ? ? ? __________。

π , x ? (sin ? )loga sin? , y ? (cos? )loga tan? ,则 x , y 的大小关系为 4

??? ? ??? ? (4)已知 ?ABC 中,?A ? 90o , BC ? 4 ,点 A 是线段 EF 的中点, EF ? 2 ,若 EF 与 BC 的 ??? ??? ? ? 夹角为 60o ,则 BE? = 。 CF
{ { T 若 (5) {an } 是等差数列, bn } 是等比数列, {an } , bn } 的前 n 项和分别为 S n , n 。 a3 ? b3 , 设 记

a4 ? b4 ,且

S5 ? S3 a ? a3 ? 5 ,则 5 ? T4 ? T2 b5 ? b3



(6)设函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,? ? R ,若在常数 T (T ? 0) ,使对任意 x ? R 有
f ? x ? T ? ? Tf ? x ? ,则 ? 可取到的最小值为



二、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (7) (本小题满分 10 分) 试 a , b 是从集合 {1,2,3,4,5}中随机选取的数 (Ⅰ)求直线 y ? ax ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 2 有公共点的概率 (Ⅱ)设 X 为直线 y ? ax ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的公共点的个数,求随机变量 X 的分布列及数 学期望 E( X ) 。

(8) (本小题满分 10 分) E AB CD 如图,AB 是 ? O 的直径, CD 垂直 AB 于点 M , 是 CD 延长线上一点, ? 10 , ? 8 , 弦 3ED ? 4OM , EF ? O 的切线, F 是切点, BF 与 CD 相交于点 G , (Ⅰ)求线段 EG 的长; (Ⅱ)连线 DF ,判断 DF 是否平行于 AB ,并证明你的结论。 (注:根据解题需要,须将图 形自行画在大题卡上。 )
A F O

C

M G B

D

E

(9) (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC , AB ? BC ,侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 1 , BC ? 2 。 (Ⅰ)证明平面 PBC ? 平面 PDC ; (Ⅱ)若 ?PAB ? 120o ,求二面角 B ? PD ? C 的正切值。 (注:根据解题需要,须将图形自 行画在答题卡上)
P

A D C

B

(10) (本小题满分 10 分) 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点是 F , A , B 是抛物线上互异的两点,直线 AB 与 x 轴不垂 直,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D(a,0) ,记 m ?| AF | ? | BF | 。 (Ⅰ)证明 a 是 p 与 m 的等差中项 (Ⅱ)设 m ? 3 p ,直线 l 平行 y 轴,且 l 被以 AD 为直径的动圆截得的弦长恒为定值,求直 线 l 方程。

(11) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ?
ax 2 ? 1 ,其中 a 是非零实数, b ? 0 。 bx

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间 (Ⅱ)若 a ? 0 ,设 | xi |?
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 1 a

, i ? 1 , 2 , 3 ,且 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 。证明:

2 a ; b

(Ⅲ)若 f ? x ? 有极小值 f min ,且 f min ? f (1) ? 2 ,证明 | f ? x ? |n ? | f ? xn ? |? 2n ? 2 ? n ? N * ? 。

(12) (本小题满分 15 分)
a vS 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 1 ? 0 , n ?1 ? uSn ? a1v , 其中 u , 是正整数, u ? v , ? N* 。 且 v n

(Ⅰ)证明 {an } 为等比数列; (Ⅱ)设 a1 , a p 两项均为正整数,其中 p ? 3 。 (ⅰ)若 p ? a1 ,证明 v 整除 u ; (ⅱ)若存在正整数 m ,使得 a1 ? m p ?1 , a p ? ? m ? 1?
p ?1

,证明 S p ? ? m ? 1? ? m p 。
p


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