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2014届高三数学一轮复习《合情推理与演绎推理》理 新人教B版


[第 67 讲

合情推理 与演绎推理]

(时间:4 5 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013·太原检测] 下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截 得的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所 有班人数超过 50 人 C.由平面正三角形的性质,推测空间正四面体的性质 1 ? 1? D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+an-1?(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2? ? 1x x 2. [2013·洛阳检测] “因为指数函数 y=a 是增函数(大前提), 而 y= 是指数函数(小 3 1x 前提),所以 y= 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( ) 3 A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提 都错导致结论错 * 3.把正整数 按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设 aij(i,j∈N )是位于这个 三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2 009,则 i 与 j 的和为( ) 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 A.105 B.106 C.107 D.108 4. [2013·山西五校联考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量, 在 平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-3,4),且法向量为 n =(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得 x-2y+11= 0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(1,2,3),且法向量为 n=(-1,-2, 1)的平面的方程为( ) A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z +2=0

能力提升 5 6 7 5.[2013·哈尔滨模拟] 观察下列各 式:5 =3 125,5 =15 625,5 =78 125,?,则

5

的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125 6.在等差数列{an}中,若 an>0,公差 d>0,则有 a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比 数列{bn}中,若 bn>0,公比 q>1,则 b4,b5,b7,b 8 的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8<b5+b7 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b7<b5+b8 7.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn(x)=fn-1′(x),n∈N, 则 f2 013(x)=( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 2 2 3 3 4 4 5 8.[2013·江西卷] 观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a + b5=11,?,则 a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 9.[2013·太原模拟] 四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在 1、2、3、 4 号位置上(如图 K67- 1),第一次前后排动物互换位置,第二次左右列互换座位,?,这 样交替进行下去,那么第 2014 次互换座位后,小兔的位置对应的是( )

2 011

图 K67-1 A.编号 1 B.编号 2 C.编号 3 D.编号 4 10.[2013·郑州模拟] 设函数 f(x)=

x

x+2

(x>0),观察:

x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)= f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16
?? 根据以上事实,由归纳推理可得: * 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

图 K67-2 11.[2013·大连检测] 现有一个关于平面图形的命题:如图 K67-2 所示,同一个平面 内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部 分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的 4 中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________. 12.观察下列等式: 1 5 3 C5+C5=2 -2, 1 5 9 7 3 C9+C9+C9=2 +2 , 1 5 9 13 11 5 C13+C13+C13+C13=2 -2 , 1 5 9 13 17 15 7 C17+C17+C17+C17+C17=2 +2 ,

a2

?? 由以上等式推测到一个一般的结论: * 1 5 9 4n+1 对于 n∈N ,C4n+1+C4n+1+C4n+1+?+C4n+1=________. 13.[2013·郑州模拟] (1)已知等差数列的定义为:在一个数列中,从第二项起,如果 每一项与它的前一项的差都为同一个常数, 那么这个数列叫做等差数列, 这个常数叫做该数 列 的 公 差 . 类 比 等 差 数 列 的 定 义 给 出 “ 等 和 数 列 ” 的 定 义 为 ________________________________________________________ ________________. (2)已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为________.这个数列 的前 n 项和 Sn 的计算公式为________. 1 1 1 a 14. (10 分)[2013·洛阳模拟] 若不等式 + +?+ > 对一切正整数 n 都 n+1 n+2 3n+1 24 成立,求正整数 a 的最大值,并证明结论.

15.(13 分)(1)已知:a,b,x 均是正数,且 a>b,求证:1<

a+x a < ; b+x b

(2)当 a,b,x 均是正数,且 a<b 时,对真分数 ,给出类似上小题的结论,并予以证明; sinA sinB sinC (3)证明:△ABC 中, + + <2;(可直接应用第(1)、 sinB+sinC sinC+sinA sinA+sinB (2)小题结论) (4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题,不要求写出证明过 程.

a b

难点突破 16. (12 分)点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM⊥BB1 交 AA1 于点 M, PN⊥BB1 交 CC1 于点 N. (1)求证:CC1⊥MN; 2 2 2 (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE =DF +EF -2DF·EF·cos∠DFE. 拓展到空间, 类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所 成的二面角之间的关系式,并予以证明.

课时作业(六十七) 【基础热身】 1.A [解析] 两条直线平行,同旁内角互补——大前提,∠A,∠B 是两条平行直线被 第三条直线所截得的同旁内角——小前提,∠A+∠B=180°——结论. 故 A 是演绎推理,而 B,D 是归纳推理,C 是类比推理.故选 A. x 2.A [解析] y=a 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错. 3. C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列, 偶数行为偶数列, 2 009=2×1 005-1,所以 2 009 为第 1 005 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961,前 32 个 奇数行内数的个数的和为 1 024,故 2 009 在第 32 个奇数行内,所以 i=63,因为第 63 行 的第 一个数为 2×962-1=1 923,2 009=1 923+2(m-1),所以 m=44,即 j=44,所以 i+j=107. 4. A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z -3)=0,即 x+2y-z-2=0. 【能力提升】 5 6 7 8 9 5.D [解析] ∵5 =3 125,5 =15 625,5 =78 125,5 =390 625,5 =1 953 125, 10 5 =9 765 625,?, n ∴5 (n∈Z 且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为 4, n 记 5 (n∈Z 且 n≥5)的末四位数为 f(n),则 f(2 011)=f(501×4+7)=f(7), 2 011 7 ∴5 与 5 的末四位数相同,均为 8 125.故选 D. 6.A [解析] 在等差数列{an}中,由于 4+6=3+7 时有 a4·a6>a3·a7,所以在等比数 列{bn}中,由于 4+8=5+7,所以应有 b4+b8>b5+b7 或 b4+b8<b5+b7. 3 4 6 7 ∵b4=b1q ,b5=b1q ,b7=b1q ,b8=b1q , 3 7 4 6 ∴(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q +b1q )-(b1q +b1q ) 6 3 6 3 =b1q ·(q-1)-b1q (q-1)=(b1q -b1q )(q-1) 3 3 =b1q (q -1)(q-1). ∵q>1,bn>0,∴b4+b8>b5+b7.故选 A. 7.C [解析] f1(x)=(sinx)′=cosx, f2(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=(-sinx)′=-cosx, f4(x)=(-cosx)′=sinx, f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x), f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x), fn+4(x)=?=?=fn(x), 故可猜测 fn(x)以 4 为周期,有 f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx, f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx, 所以 f2 013(x)=f503×4+1(x)=f1(x)=cosx,故选 C. 8.C [解析] 考查归纳推理,以及观察能力;解题的突破口是通过观察得到后一项与 2 2 3 3 4 4 5 5 前两项结果之间的关系.由于 a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?, 通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此, a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+ b10=76+47=123,故选 C. 9.C [解析] 交换 4 次是一个周期,第 2 014 次小兔的位置和第 2 次小兔的位置一样. 10. n [解析] 观察 1,3,7,15,?与对应项的关系,显然满足 2 -1, n (2 -1)x+2 观察 2,4,8,16,?与对应项的关系,显然满足 2 ,故 fn(x)= n n. (2 -1)x+2 a?2 a?3 a3 a3 ? ? 11. [解析] 平面内? ? 类比到空间? ? = . 8 ?2? ?2? 8 4n-1 n 2n-1 s 12. 2 +(-1) 2 [解析] 给出的一系列等式中, 右边为两项 2 形式加减轮换的规
n

x

n

x

律,其中第一个 2 的指数由 3,7,11,?,4n-1 构成,第二个 2 的指数由 1,3,5,7,?, s n 4n-1 2n-1 2n-1 构成.由此可归纳为:第二个 2 前有(-1) ,二项指数分别为 2 ,2 ,所以,对 * 1 5 9 4n+1 4n-1 n 2n-1 于 n∈N ,C4n+1+C4n+1+C4n+1+?+C4n+1=2 +(-1) 2 . 13.(1)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列 叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 5n-1 ,n为奇数, 2 (2)3 Sn= 5n ,n为偶数 2 [解析] (1)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数 列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.

s

s

? ? ? ? ?

(2)由题意知数列{an}为 2,3,2,3,2,3,?,故 a18=3;当 n 为偶数时,Sn=5· = 2 5n 5(n-1) 5n-1 ;当 n 为奇数时,Sn= +2= . 2 2 2 1 1 1 a 26 a 14.解:当 n=1 时, + + > ,即 > , 1+1 1+2 3+1 24 24 24 所以 a<26. 1 1 1 25 而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明: + +?+ > . n+1 n+2 3n+1 24 (1)当 n=1 时,已证; 1 1 1 25 (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 + +?+ > . k+1 k+2 3k+1 24 则当 n=k+1 时, 1 1 1 有 + +?+ (k+1)+1 (k+1)+2 3(k+1)+1 1 1 1 1 1 1 1 = + +?+ + + + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 25 1 1 2 > + + - . 24 3k+2 3k+4 3(k+1) 1 1 6(k+1) 2 因为 + = 2 > , 3k+2 3k+4 9k +18k+8 3(k+1) 1 1 2 所以 + - >0. 3k+2 3k+4 3(k+1) 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 1 1 1 25 由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 + +?+ > , n+1 n+2 3n+1 24 所以 a 的最大值等于 25. a+x 15.解:(1)∵a+x>b+x>0,∴1< , b+x a+x a x(b-a) a+x a 又 - = <0,∴1< < . b+x b b(b+x) b+x b b b+x b a a+x (2)∵a<b,∴ >1,应用第(1)小题结 论,得 1< < ,取倒数,得 < <1. a a+x a b b+x

n

a b c + + <2. b+c c+a a+b a b c 证明:由(2)的结论得 a,b,c>0,且 , , 均小于 1, b+c c+a a+b
(3)由正弦定理,原题△ABC 中,求证:

2a b 2b c 2c , < , < , b+c a+b+c c+a a+b+c a+b a+b+c a b c 2a 2b 2c + + < + + =2. b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c ∴ < (4)如得出: 四边形 ABCD 中, 各边长分别为 a, b, c, d, 求证: +

a

a b c + + b+c+d c+d+a a+b+d

d <2. a+b+c
如得出:凸 n 边形 A1A2A3?An 中,各边长依次为 a1,a2,?,an,求证:

a1 a2 an + +?+ <2. a2+a3+?+an a1+a3+?+an a1+a2+?+an-1 如得出:{an}为各项为正数的等差数列(d≠0),求证: a1 a2 a2n-1 a2 a4 a2n + +?+ < + +?+ . a2 a3 a2n a3 a5 a2n+1
【难点突破】 16.解:(1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,又 PM∩PN=P, ∴BB1⊥平面 PMN.∴BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 S2ABB1A1=S2BCC1B1+S2ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1cosα . 其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角. 证明如下: ∵CC1⊥平面 PMN,∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中, 2 2 2 ∵PM =PN +MN -2PN·MNcos∠MNP, 2 2 2 2 2 2 ∴PM ·CC1=PN ·CC1+MN ·CC1-2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP, 由于 SBCC1B1=PN·CC1,SACC1A1= MN·CC1, SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1, 2 2 2 ∴S ABB1A1=S BCC1B1+S ACC1A1-2SBCC1B1·SACC1A1·cosα .


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