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2005-2006学年第三学期计算机系数学分析试卷A答案


厦门大学《数学分析》课程试卷
计算机系 2005 级 姓名
主考教师:林建华

学号

试卷类型: (A 卷)2006.7.17

一、利用狄利克雷(Dirichlet)判别法证明阿贝尔(Abel)判别法。 证:由于

?

??

a

f ( x)dx 收敛,即 lim

u ??? a

?

u

f ( x)dx 存在,则 ? f ( x)dx 在 [0, ??) 上有界,又 g ( x) 在 [a, ??)
a
x ???

u

上单调有界,则必有极限,设 lim g ( x) ? c ,即有 lim [ g ( x ) ? c ] ? 0 。
x ???

设 ? ( x) ? g ( x) ? c ,则由有狄利克雷判别法知,

?

??

a

f ( x)[ g ( x) ? c]dx 收敛,即
?? a

?
由于

??

a

[ f ( x) g ( x) ? f ( x)c]dx ? ?
?? a

??

a

f ( x) g ( x)dx ? c ?

f ( x)dx

?

??

a

f ( x)dx 收敛,从而 ?
2

f ( x) g ( x)dx 收敛。

二、设抛物线 ln : y ? nx ?

1 1 ' 2 和 ln : y ? (n ? 1) x ? 的交点的横坐标的绝对值为 an (n ? 1, 2, ) 。 n n ?1

' (1)求抛物线 ln 与 ln 所围成的平面图形的面积 Sn ;
?

(2)求级数

?a
n ?1

Sn
n

的和。

三、利用 Raabe 判别法判断级数

? (a ? 1)(a ? 2)
n ?1

?

n!

(a ? n)

(a ? 0) 的敛散性。

四、设 f ( x ) 在 [?1,1] 上具有二阶连续导数,且 lim
x ?0

? f ( x) 1 ? 0 ,证明级数 ? f ( ) 绝对收敛。 x n n ?1

五、设 S0 ( x) 在 [0, a ] 上连续,令

Sn ( x) ? ? Sn?1 (t )dt , n ? 1, 2,
0

x



证明: {Sn ( x)} 在 [0, a ] 上一致收敛于 0。 六、设 f ( x) ?

? an xn ,则不论 ? an xn 在 x ? r 是否收敛,只要 ?
n ?0 n ?0

?

?

an n ?1 x 在 x ? r 处收敛,就成立 n ?0 n ? 1

?

?
并由此证明

r

0

f ( x)dx ? ? ln

an n ?1 r n ?0 n ? 1

?

?

1

0

1 dx ? 1 ? ?? 1 ? x x n?1 n2
1

七、 在曲面 z ? xy 上求一点, 使这点的切平面平行于平面 x ? 3 y ? z ? 9 ? 0 ; 并写出这切平面和法线方程。 八、求函数 u ? xyz 在点 A(5,1, 2) 处沿点 B(9, 4,14) 的方向 AB 上的方向导数。

?? ?? ? 2? , , 九、设 ? ? f ( x, y, z ), x ? u ? v, y ? u ? v, z ? uv ,求 d ? , ?u ?v ?u?v

2


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