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数学1(必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组]


数学1(必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组] 一、选择题
1。若函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? 上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( )

A.若 f ( a ) f ( b ) ? 0 ,不存在实数 c ? ( a , b ) 使得 f ( c ) ? 0 ; B.若 f ( a ) f ( b )

? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? ( a , b ) 使得 f ( c ) ? 0 ; C.若 f ( a ) f ( b ) ? 0 ,有可能存在实数 c ? ( a , b ) 使得 f ( c ) ? 0 ; D.若 f ( a ) f ( b ) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? ( a , b ) 使得 f ( c ) ? 0 ; 2.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3 C. 1 ) D. 0
x

3.若 x 1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x 2 是 10 则 x 1 ? x 2 的值为( A.
3 2

? x ? 3 的解,

) D.
1 3

B.

2 3
?2

C. 3 在区间 [
1 2

4.函数 y ? x A.
1 4

, 2 ] 上的最大值是(



B. ? 1

C. 4

D. ? 4

x x 5.设 f ? x ? ? 3 ? 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3 x ? 8 ? 0 在 x ? ?1 , 2 ?

内近似解的过程中得 f ?1 ? ? 0 , f ?1 . 5 ? ? 0 , f ?1 . 25 ? ? 0 , 则方程的根落在区间( A. (1,1 .2 5 ) C. (1 .5 , 2 ) )

B. (1 .2 5 ,1 .5 ) D.不能确定 )

6.直线 y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x 的图象的交点个数为( A. 4 个
x

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

7.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ? ? ) C. ( 0 , 2 ) B. ( 0 ,1) D. ( 0 , ? ? )

二、填空题
1. 1 9 9 2 年底世界人口达到 5 4 .8 亿,若人口的年平均增长率为 x % , 2 0 0 5 年底世界人口

为 y 亿,那么 y 与 x 的函数关系式为 2. y ? x a
2

. .

?4a?9

是偶函数,且在 ( 0 , ?? ) 是减函数,则整数 a 的值是
x ? 1 2

3.函数 y ? ( 0 .5 ? 8 )

的定义域是



4.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________. 5. 函数 f ( x ) ? ( m 2 ? m ? 1) x m
2

?2m ?3

是幂函数, 且在 x ? ( 0 , ? ? ) 上是减函数, 则实数 m ? ______.

三、解答题
1.利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根:
2 ① x ? 7 x ? 12 ? 0 ;② lg( x ? x ? 2 ) ? 0 ;
2

③ x ? 3x ? 1 ? 0 ;
3

④3

x ?1

? ln x ? 0 。

2.借助计算器,用二分法求出 ln( 2 x ? 6 ) ? 2 ? 3 在区间 (1, 2 ) 内的近似解(精确到 0 .1 ).
x

3.证明函数 f ( x ) ?

x ? 2 在 [ ? 2 , ? ? ) 上是增函数。

4. 某电器公司生产 A 种型号的家庭电脑, 9 9 6 年平均每台电脑的成本 5 0 0 0 元, 并以纯利润 2 % 1 标定出厂价. 1 9 9 7 年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成 本逐年降低. 2 0 0 0 年平均每台电脑出厂价仅是 1 9 9 6 年出厂价的 8 0 % , 但却实现了纯利 润 5 0 % 的高效率. ① 2 0 0 0 年的每台电脑成本; ②以 1 9 9 6 年的生产成本为基数,用“二分法”求 1 9 9 6 年至 2 0 0 0 年生产成本平均每年降 低的百分率(精确到 0 .0 1 )

(数学1必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组]
一、选择题 1. C 2. 对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一

x C 作出 y 1 ? lg x , y 2 ? 3 ? x , y 3 ? 1 0 的图象, y 2 ? 3 ? x , y ? x

交点横坐标为

3 2

,而 x 1 ? x 2 ? 2 ?

3 2

? 3

3.

D

作出 y 1 ? lg x , y 2 ? x 的图象,发现它们没有交点
y ? 1 x
2

4.

C

, [

1 2

, 2 ] 是函数的递减区间, y m a x ? y |

x?

1 2

? 4

5. 6. 7.

B

f ? 1 .5 ? ? f ? 1 .2 5 ? ? 0

A 作出图象,发现有 4 个交点 A 作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点
x

二、填空题 1. 2.
y ? 5 4 .8 (1 ? x % )
13

增长率类型题目

1, 3 , 5 或 ? 1
2

a ? 4 a ? 9 应为负偶数,
2
2 * 2

即 a ? 4a ? 9 ? (a ? 2) ? 13 ? ?2k , (k ? N ) ,(a ? 2) ? 13 ? 2 k , 当 k ? 2 时, a ? 5 或 ? 1 ;当 k ? 6 时, a ? 3 或 1 3. 4.
( ? 3, ? ? )
0 .5 ? 8 ? 0 , 0 .5
x
2

x

? 0 .5
2

?3

, x ? ?3

0, 2

f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x
2

? 2 x ? 0, x ? 0, 或 x ? 2

5.

2

?m ? m ? 1 ? 1 ? ,得 m ? 2 ? 2 ?m ? 2m ? 3 ? 0 ?

三、解答题 1.解:作出图象 2.解:略 3.证明:任取 x 1 , x 2 ? [ ? 2 , ? ? ) ,且 x 1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
? ( x1 ? 2 ? x 2 ? 2 )( x1 ? 2 ? x 1? 2 ? x2 ? 2 x ? 2) 2 ? x1 ? x 2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

x1 ? 2 ?

x2 ? 2

因为 x1 ? x 2 ? 0 , 所以函数 f ( x ) ? 4.解:略

x1 ? 2 ?
x?

x2 ?2

?,得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 0

2在 [ ? 2 ,? ? 上是增函数。 )

(数学 1 必修)第三章 函数的应用 [提高训练 C 组]
一、选择题 1. 2. A C
f (? x) ? (? x)
3

? ?x

3

? ? f ( x ) 为奇函数且为增函数 ? 1, c ? 0 .2
1 .3

a ? lo g 2 0 .3 ? 0 , b ? 2

0 .1

?1

3. 4.

B B

f ( 0 ) ? ? 3 ? 0 , f (1) ? ? 1 ? 0 , f ( 2 ) ? 3 1 ? 0 , f (1) ? f ( 2 ) ? 0

作出图象,图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如 指数函数 f ( x ) ? 2 的图象;向下弯曲型,例如对数函数 f ( x ) ? lg x 的图象;
x

5.

C

唯一的一个零点必然在区间 ( 0 , 2 )
3 2

6. A 令 2 x ? x ? 1 ? ( x ? 1)( 2 x ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根 7. C 容易验证区间 ( a , b ) ? ( ? 2 , ? 1) 二、填空题 1. 2. 3.
3 2

对称轴为 x ?

1 2

,可见 x ?

1 2

是一个实根,另两个根关于 x ?

1 2

对称

4
85

作出函数 y ? x 2 ? 4 x 与函数 y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点 2000 年: 3 0 ? 1 .0 ? 3 0 (万) ;2001 年: 4 5 ? 2 .0 ? 9 0 (万) ; 2002 年: 9 0? 1 . ? 5
1 (万) x ? 3 5 ;
3 0? 9 ? 0 3 1 3 5 ? 8 5 (万)

4. 5.

y ? x

2

幂函数的增长比对数函数快 在同一坐标系中画出函数 y ? x 与 y ? 2 的图象,可以观察得出
2 x

[2, 4]

三、解答题
x 1. 解:由 2 ? 2 5 6 得 x ? 8 , lo g 2 x ? 3 即

1 2

? lo g 2 x ? 3
x? 3 2 ) ?
2

f ( x ) ? (lo g 2 x ? 1) ? (lo g

2

x ? 2 ) ? (lo g 1 4

1 4

2

.

当 lo g 2 x ?

3 2

, f ( x ) m in ? ?

,当 lo g 2 x ? 3 , f ( x ) m a x ? 2
4 x ? 2 ? 100

2. 解: y ? 4 ? 3 0 0 ? 2 x ? 2 ? 1 0 0 ? 2 ?
y ? 400 x ? 1600 x ? 1200

3.解: lo g a ( x ? a k ) ? lo g a ( x ? a )
2 2 2
2 2

? ? ? x ? ak ? x ? ak x ? ak ? ? ? ? 2 ? ? 2 ,即 ? x ? a ①,或 ? x ? ? a ② ?x ? a ? ? ? 2 2 2 2 2 a ( k ? 1) a ( k ? 1) ?(x ? ak ) ? x ? a ?x ? ?x ? ? ? 2k 2k ? ?

当 k ? 1 时,①得

a (k

2

? 1)

? ak , k

2

? 1 ,与 k ? 1 矛盾;②不成立

2k a (k
2

当 0 ? k ? 1 时,①得

? 1)

? a, k

2

? 1 ? 2 k ,恒成立,即 0 ? k ? 1 ;②不成立

2k a (k
2

显然 k ? 0 ,当 k ? 0 时,①得

? 1)

? a, k

2

? 1 ? 2 k ,不成立,

2k a (k ? 1) ? ? a , 得 k ? ?1 2k
2

②得 a k ? ∴ 0 ? k ? 1 或 k ? ?1


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