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2015高考数学模拟试卷(2)


2015 高考数学模拟试题(2)附答案
一、选择题 1.[2014?北京文卷] 若集合 A ? ?0,1, 2, 4? , B ? ?1, 2,3? ,则 A B ? ( A. ?0,1, 2,3, 4? D. ?3? 【答案】C 【解析】 A ? B ? ?0,1,2,4? ? ?1,2,3? ? ?1,2?. 2. [2014?北京文卷] 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e? x D. y ? x 【答案】B 【解析】由定义域为 R 排除选项 C,定义域单调递增排除选项 A、D. 3. [2014?北京文卷] 已知向量 a ? ? 2, 4 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b ? ( A. ? 5, 7 ? D. ? 3,9 ? 【答案】A 【解析】2a-b= 2?2,4? ? ?? 1,1? ? ?5,7 ? . 4. [2014?北京文卷] 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) B. ? 5,9 ? ) C. ? 3, 7 ? B. y ? x ) C. y ? ln x B. ?0, 4? ) C. ?1, 2?

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A. 1 D. 15
开始

B. 3

C. 7

否 是

输出

结束

【答案】C 【解析】 S ? 20 ? 21 ? 22 ? 7 . 5. [2014?北京文卷] 设 a 、 b 是实数,则“ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的( A.充分而不必要条件 不必要条件 C.充分必要条件 分不必要条件 【答案】D 【解析】当 a ? b ? 0 时,由 a ? b 推不出 a 2 ? b 2 ,反之也不成立. 6. [2014?北京文卷] D.既不充 ) B.必要而

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已知函数 f ? x ? ? ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是 ( A. ? 0,1? D. ? 4, ?? ? 【答案】C 【解析】 ) B. ?1, 2 ? C. ? 2, 4 ?

6 x

在同一坐标系中作函数 h?x ? ? 与 g ?x ? ? log 2 x 的图象如图,可得 f ?x ? 零 点所在区间为 ?2,4? . 7. [2014?北京文卷] 已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A ? ?m, 0 ? , B ? m, 0 ? ? m ? 0 ? ,若圆 C 上
2 2

6 x

存在点
P ,使得 ?APB ? 90 ,则 m 的最大值为(

) C. 5

A. 7 D. 4 【答案】B

B. 6

【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使 ?APB ? 90? ,即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点,∴ m ? 1 ? 32 ? 42 ? m ? 1 ,解之得 4 ? m ? 6 .

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P

A?? m,0?

B?m,0?

8. [2014?北京文卷] 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特 定条件下,可食用率
p 与加工时间 t (单位:分钟)满足的函数关系 p ? at 2 ? bt ? c ( a 、 b 、

,下图 c 是常数)
p 0.8 0.7 0.5

O

3

4

5

t

记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最 佳加工时间为( A. 3.50 分钟 D. 4.25 分钟 【答案】B
?0.7 ? 9a ? 3b ? c ?a ? ?0.2 ? 【解析】由题意得 ?0.8 ? 16a ? 4b ? c ,解之得 ? ?b ? 1.5 , ?0.5 ? 25a ? 5b ? c ?c ? ?2 ? ?
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) B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟

∴ p ? ?0.2t 2 ? 1.5t ? 2 ? ?0.2?t ? 3.75?2 ? 0.0625 , 即当 t ? 3.75 时,P 有最大值. 二、填空题 9. [2014?北京文卷] 若 ? x ? i ? i ? ?1 ? 2i ? x ? R ? ,则 x ? 【答案】2 【解析】∵ ?x ? i ?i ? ?1 ? xi ? ?1 ? 2i ,∴ x ? 2 . 10. [2014?北京文卷] 设双曲线 C 的两个焦点为 ? ? 2, 0 ? , ? 2, 0 ? ,一个顶点式 ?1, 0 ? ,则 C 的 方程为 . 【答案】 x 2 ? y 2 ? 1 【解析】由题意设双曲线方程 x 2 ? 双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 11. [2014?北京文卷] 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长 为 .
y2 ? 1 ,又∵ 1 ? b 2 ? 2 b

.

? 2 ? ,∴ b
2

2

?1即

2

2 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

俯视图
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【答案】 2 2 【 解 析 】 三 棱 锥的 直 观 图 如 图 所示 , 并 且 PB ? 面ABC , PB ? 2 ,
AB ? 2, AC ? BC ? 2 , PA ? 22 ? 22 ? 2 2 , PC ? 22 ?
P

? 2?

2

? 6.

B

C

A

12. [2014?北京文卷] 在 ?ABC 中, 则c ? cos C ? , a ? 1, b?2, 【答案】2、
15 8

1 4

; sin A ?

.

【解析】由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ,即
c ? 2;

1 4

b2 ? c2 ? a 2 4 ? 4 ? 1 7 15 ?7? . cos A ? ? ? ,∴ sin A ? 1 ? ? ? ? 2bc 2? 2? 2 8 8 ?8?

2

13. [2014?北京文卷]
?y ?1 若 x 、 y 满足 ? ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?

.

【答案】1 【解析】可行域如图,当目标函数线 z ? y ? 3 x 过可行域内 A 点时, z 有最小值,联立
?y ? 1 ,解之得 A?0,1? , Z min ? 3 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 . ? ?x ? y ? 1 ? 0
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A

y ?1

x ? y ?1 ? 0

x ? y ?1 ? 0

y ? ? 3x

14. [2014?北京文卷] 【答案】 42 【解析】交货期最短即少耽误工期,所以先让徒弟加工原料 B,交货 期为 6 ? 21 ? 15 ? 42 天. 顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师 带一位徒弟完成这 项任务, 每件颜料先由徒弟完成粗加工, 再由工艺师进行精加工完成 制作,两件工艺品都 完成后交付顾客, 两件原料每道工序所需时间 (单位: 工作日) 如下:

工序 粗加工 时间 原料 原料 A 原料 B 则最短交货期为
9 6 15

精加工

21

工作日.
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15. [2014?北京文卷] 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 ,a4 ? 12 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,b4 ? 20 , 且 ?bn ? an ? 是等比数列. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 【解析】⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 d ? a4 ? a1 ? 12 ? 3 ? 3
3 3

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? n ? 1,2 , ? . 设等比数列 ?bn ? a n ? 的公比为 q ,由题意得· ·
q3 ? b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? ? b1 ? a1 ? q n ?1 ? 2n ?1 . 从而 bn ? 3n ? 2n ?1 ? n ? 1,2 , ? ⑵ 由⑴知 bn ? 3n ? 2n ?1 ? n ? 1,2 , ? . 数 列 ?3n? 的 前 n 项 和 为
1× 1 ? 2n ? 2n ? 1 . 1? 2
2 3 n ? n ? 1? 2

, 数 列 ?2n ?1? 的 前 n 项 和 为

所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 3 n ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 16. [2012?北京文卷]
?? 函数 f ? x ? ? 3sin ? ? 2 x ? ? 的部分图象如图所示.
? 6?

(1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?? , ?
? 2

?

12 ? ?

??

上的最大值和最小值.

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y y0

O

x0

x

【解析】⑴
x0 ?

f ? x ? 的最小正周期为 π

7π . 6 y0 ? 3
? 2 π? 5π ? ,所以 2 x ? π ? ? ? ? 6 ,0 ? . 12 ? 6 ? ? ?

π ⑵ 因为 x ? ? ? ? ,?

于是当 2 x ? π ? 0 ,即 x ? ? π 时, f ? x ? 取得最大值 0;
6 12

当 2 x ? π ? ? π ,即 x ? ? π 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 .
6 2 3

17. [2014?北京文卷] 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 棱 垂 直 于 底 面 , AB ? BC ,
AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 A1C1 、 BC 的中点.

(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1 F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.
A1 E B1 C1

A B F

C

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解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC . 所以 BB1 ? AB . 又因为 AB ? BC . 所以 AB ? 平面 B1 BCC1 . 所以平面 ABE ? 平面 B1 BCC1 . (Ⅱ)取 AB 中点 G ,连结 EG , FG . 因为 E , F 分别是 A1C1 , BC 的中点, 所以 FG ∥ AC ,且 FG ? 1 AC .
2

A1

E B1

C1

A

G

B

F

C

因为 AC ∥ A1C1 ,且 AC ? A1C1 , 所以 FG ∥ EC1 ,且 FG ? EC1 . 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1 F ∥ EG . 又因为 EG ? 平面 ABE , C1 F ? 平面 ABE , 所以 C1 F ∥ 平面 ABE . (Ⅲ)因为 AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , AB ? BC , 所以 AB ? AC 2 ? BC 2 ? 3 . 所以三棱锥 E ? ABC 的体积
1 1 1 3 V ? S△ ABC ? AA1 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 3 2 3



18. [2014?北京文卷] 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位: 小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

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(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间 少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计 样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出 结论) 解: (Ⅰ)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小 时的学生共有 6 ? 2 ? 2 ? 10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 10 1? ? 0.9 .
100

从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的 概率为 0.9 . (Ⅱ)课外阅读时间落在组 [4 ,6) 的有 17 人,频率为 0.17 ,所以
a? 频率 0.17 ? ? 0.085 . 组距 2

课外阅读时间落在组 [8 , 10) 的有 25 人,频率为 0.25 , 所以 b ? 频率 ? 0.25 ? 0.125 .
组距 2

(Ⅲ)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组. 19. [2014?北京文卷]

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已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 4 . (1) 求椭圆 C 的离心率; (2) 设 O 为原点, 若点 A 在直线 y ? 2 , 点 B 在椭圆 C 上, 且 OA ? OB , 求线段 AB 长度的最小值. 解: (Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为 x 所以 a ? 4 , b 因此 a ? 2 , c ?
2 2 2 2 2

2

4

?

y2 ?1. 2

? 2 ,从而 c ? a ? b ? 2 .
2.

故椭圆 C 的离心率 e ? c ?
a

2 2



(Ⅱ)设点 A , B 的坐标分别为 ? t ,2 ? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 . 因为 OA ? OB , 所以 OA ? OB ? 0 , 即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 2 y0 .
x0

又 x02 ? 2 y02 ? 4 ,所以 2 2 2 AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2 ?
? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x0 ? ? 4 y2 2 2 ? x0 ? y0 ? 20 ? 4 x0
2 2 ? x0 ?
2

2 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 ? ?4 2 2 x0

?

2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0

因为 x0
2

2

?

8 2 2 2 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 2 x0
2.

故线段 AB 长度的最小值为 2 20. [2014?北京文卷] 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x .

(1)求 f ( x) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2) 若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切, 求 t 的取值范围;
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(3)问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相 切?(只需写出结论) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 x3 ? 3x 得 f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 3 . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?
? ?
2 2

或x?

2 2

.
? 2? f? ? ? ? 2 ,f ?1? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 2? ?? 2 2 ? ?

因为 f ? ?2 ? ? ?10 , f ? ??

2? ?? 2, 2 ? ?

1? 上的最大值为 f ? 所以 f ? x ? 在区间 ? ?2 , ??

.

(Ⅱ)设过点 P ?1,t ? 的直线与曲线 y ? f ? x ? 相切于点 ? x0 ,y0 ? , 则 y0 ? 2 x03 ? 3x0 , 且切线斜率为 k ? 6 x02 ? 3 , 所以切线方程为 y ? y0 ? ? 6 x02 ? 3? ? x ? x0 ? , 因此 t ? y0 ? ? 6 x02 ? 3? ?1 ? x0 ? . 整理得 4 x03 ? 6 x02 ? t ? 3 ? 0 . 设 g ? x ? ? 4 x3 ? 6 x 2 ? t ? 3 , 则“过点 P ?1,t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切”等价于“ g ? x ? 有 3 个不同零点”.
g ? ? x ? ? 12 x 2 ? 12 x ? 12 x ? x ? 1? .

g ? x ? 与 g ? ? x ? 的情况如下:
(?? ,0)
x

(0 , 1)

(1 ,? ?)

0
?

1
?

g ?( x)

0
t ?3

0
t ?1

?

g ( x)







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所以, g (0) ? t ? 3 是 g ( x) 的极大值, g (1) ? t ? 1 是 g ( x) 的极小值.
1? 和 (1 ,? ?) 上分 当 g (0) ? t ? 3 ≤ 0 ,即 t ≤ ?3 时,此时 g ( x) 在区间 ? ?? ,

别至多有 1 个零点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g (1) ? t ? 1≥ 0 ,即 t ≥ ?1 时,此时 g ( x) 在区间 (?? ,0) 和 ?0 ,? ? ? 上分 别至多有 1 个零点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g ? 0 ? ? 0 且 g ?1? ? 0 , 即 ?3 ? t ? ?1 时, 因为 g ? ?1? ? t ? 7 ? 0 ,g ? 2 ? ? t ? 11 ? 0 , 所以 g ? x ? 分别在区间 ? ?1,0 ? , ?0 ,1? 和 ?1,2 ? 上恰有 1 个零点.由于 g ? x ? 在 区间 ? ?? ,0 ? 和 ?1,? ? ? 上单调,所以 g ? x ? 分别在区间 ? ?? ,0 ? 和 ?1,? ? ? 上 恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P ?1,t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切时, t 的 取值范围是 ? ?3 ,? 1? . (Ⅲ)过点 A ? ?1,2 ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切;
10 ? 存在 2 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切; 过点 B ? 2 ,

过点 C ? 0 ,2 ? 存在 1 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切.:

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