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高一数学函数测试题2


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2.2 函数?例题解析 【例 1】判断下列各式,哪个能确定 y 是 x 的函数?为什么? (1)x2+y=1 (2)x+y2=1
1? x x?1

(3)y=



(1)由 x2+y=1 得 y=1-x2,它能确定 y 是 x 的函数.
2

(2) 由 x+ y = 1得 y= ± 1 ? x . 它 不 能 确 定 y是 x的 函 数 , 因 为 对

于任意的 x∈{x|x≤1},其函数值不是唯一的.
(3)y = 1? x x?1 的 定 义 域 是 ? , 所 以 它 不 能 确 定 y是 x的 函 数 .

【例 2】下列各组式是否表示同一个函数,为什么?
(1)f(x) = | x| , ? (t) = (2)f(x) = (3)f(x) =
2

t

2

x , g(x) = ( x ) x ? 1?

2

x ? 1, g(x) =

x ?1
2 2

(4)f(x) = 1 ? x ? 1 ? x , g(x) = 1 ? x

解 (1)中两式的定义域部是 R,对应法则相同,故两式为相同函数. (2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数. (4)中两式的定义域都是-1≤x≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数. 【例 3】求下列函数的定义域:
(1)f(x) = x ? 1+ 4 ? x + 2 (2)f(x) = x?5 3x ? 2 10 x ? x ? 21
2

(3)f(x) =
(4)f(x) =

| x |? 5
8 | x| ? 1+ (4x - 5)



? x - 1≥ 0 (1) 由 ? 得 1≤ x ≤ 4 . ∴ 定 义 域 是 {x|1≤ x ≤ 4} ? 4 - x≥ 0 2 3 , ∴ 定 义 域 是 {x| x > 2 3 }

(2) 由 3x - 2 > 0 , 得 x >

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?10x - x 2 - 21≥ 0 (3) 由 ? 得 3 ≤ x≤ 7 且 x≠ 5 , ?| x| - 5 ≠ 0 ∴ 定 义 域 是 {x|3 ≤ x ≤ 7 , 且 x ≠ 5}

?8 ? | x | - 1≥ 0 ? ? (4) 由 ?| x| ≠ 0 ? ? 4x - 5 ≠ 0 ? ?

解 得 - 8 ≤ x< 0 或 0 < x<

5 4



5 4

< x≤ 8

∴ 定 义 域 是 [ - 8 , 0) ∪ (0 ,

5 4

)∪ (

5 4

, 8)

【例 4】已知函数 f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:
(1)y = f ( 1 x
2

) 2 3 )

(2)y = f(2x) + f ( x ? x (3)y = f ( ) a



(1) 由 0 < ∴ f( 1 x
2

1 x
2

≤ 1 , 得 x ≤ - 1或 x ≥ 1 ,

) 的 定 义 域 是 {x| x≤ - 1或 x≥ 1}

? 0 ≤ 2x ≤ 1 ? (2) 由 ? 2 ? 0 ≤ x+ ≤ 1 3 ? ∴ f(2x) + f(x + (3)0 ≤ x a ≤1 2

得 0 ≤ x≤

1 3

1 ) 的 定 义 域 是 {x|0 ≤ x ≤ } 3 3

x 当 a > 0 时 , 得 0 ≤ x ≤ a , f( ) 定 义 域 为 [0 , a] a x 当 a < 0 时 , 得 a ≤ x ≤ 0 , f( ) 的 定 义 域 为 [a , 0] a 【 例 5 】 若 函 数 y = ax ? ax ?
2

1 a

的定义域是一切实数.

求实数 a 的取值范围.

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解 ∵ x∈ R , ax - ax+ ?a> 0 ∴? ? 2 ?Δ = a - 4 ≤ 0

2

1 a

≥0

0 < a≤ 2 .

为所求 a 的取值范围. 【例 6】求下列函数的值域: (1)y=-5x2+1
(2)y= 3 + x?4

(3)y=x2-5x+6,x∈[-1,1) (4)y=x2-5x+6,x∈[-1,3]
(5)y = (6)y = 2x 5x ? 1 3x ? 1
2

x ?2
2

(7)y =

4 x ? 12 x ? 5
2

x ? 3x ? 2
2

(8)y = 2x - 3 + 4 x ? 13

(9)y=|x-2|-|x+1| 解 (1)∵x∈R,∴-5x2+1≤1,值域 y≤1.
x ? 4 ≥ 3 , ∴ 值 域 y≥ 3 5 2 ) -
2

(2) ∵ x ≥ - 4 , ∴ 3 +
2

(3) ∵ y = x - 5x + 6 = ( x ?

1 4



5 2

? [ - 1, 1) , y在 区 间 [ - 1, 1) 上 为 减 函 数 , 如 图 2 . 2 - 1.

∴ 值 域 y∈ (2 , 12) . (4)y= ( x ? 5 2 5 2 ) -
2

1 4

, 5 2 1 4



?[ - 1, 3] , 如 图 2.2 - 2 , 当 x=

时 , y min = -



当 x= - 1时 , y max = 12 . ∴ 值 域 y∈ [ - 1 4 , 12]

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1 ? ) 2x 2 2 5 5 (5)y = = = - 1 5x ? 1 5 5( 5 x ? 1) 5(x + ) 5 2 2 ∴ y ≠ . 故 值 域 y ∈ {y| y ∈ R 且 y ≠ } 5 5 (6)定义域为 R 2( x ?
∵ y≠ 3 , ∴ 由 y= 又 ∵ x ≥ 0, ∴ 解得- 1 2
2

1

3x ? 1
2

x ?2
2

,解得x =

2

? 1 ? 2y y?3



? 1 ? 2y y?3

≥0 1 2 , 3)

≤ y< 3 , 值 域 y∈ [ -

(7)解:定义域 x≠1 且 x≠2
由 4 x ? 12 x ? 5
2

x ? 3x ? 2
2

去分母整理得:

(y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ① 当 y-4≠0 时,∵方程①有实根,∴Δ ≥0, 即 9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0 化简得 y2-20y+64≥0,得 y<4 或 y≥16 当 y=4 时,①式不成立. 故值域为 y<4 或 y≥16.
(8) 解 法 ( 一 ) 由 4x- 13 > 0 , 得 x ≥ 13 4 , 设 t = 4 x ? 13 , 则 t ≥ 0 .

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∴ x=

t ? 13
2

4


2

那 么 y= 2 ? = 1 2

t ? 13 4
2

- 3+ t

(t + 1) + 3 (t ≥ 0)

函数 y 在 t≥0 时为增函数(见图 2.2-3).



1 2

(t + 1) + 3 ≥

2

7 2

. 7 2 .

故 所 求 函 数 值 域 为 y≥

解 法 ( 二 ) ∵ y = 2x - 3 + 4 x ? 13 .

∴ 2y= 4x- 6 + 2 4x ? 13 = ( 4x ? 13 + 1)2 + 6 ∴ y= 1 2 ( 4x ? 13 + 1) + 3 ≥
2

7 2

, 即 y≥

7 2

(9)解:去掉绝对值符号,
?- 3 ? f(x) = ? - 2x + 1 ? ?3 (x > 2) ( - 1≤ x ≤ 2) (x < - 1)

其图像如图 2.2-4 所示.

由图 2.2-4 可得值域 y∈[-3,3]. 说明 求函数值域的方法:
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1°观察法:常利用非负数:平方数、算术根、绝对值等.(如例 1,2) 2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题,常用配方,借助二次函数的图 像性质结合对称轴的位置处理.假如求函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),在给定区间 [m,n]的值域(或最值),分三种情况考虑:
(i) 当 对 称 轴 x= - f(x) min = f(n) . (ii) 当 对 称 轴 x= - b 2a ∈ [m, n] 时 , 如 图 2 . 2 - 5( 乙 ) , f(x) min = f( - b 2a ), b 2a > n时 , 如 图 2 . 2 - 5( 甲 ) , f(x) max = f(m) ,

f(x) max 是 f(m) , f(n) 两 值 较 大 者 . (iii) 当 对 称 轴 x= - f(x) min = f(m) b 2a < m时 , 如 图 2 . 2 - 5( 丙 ) , f(x) max = f(n) ,

3 ° 分 离 常 数 法 : 型 如 y=

ax ? b cx ? d

( 既 约 分 式 , c ≠ 0) 的 值 域 为 y ≠

a c



(如例 5)可做公式用.

4 ° 判 别 式 法 : 型 如 y= 型 如 )y= ax ? b cx ? d

a 1x ? b1x ? c1
2

a2x ? b2x ? c2

(a 1 、 a 2 不 同 为 零 , 不 能 约 为

. 可 将 函 数 解 析 式 转 化 为 关 于 x的 二 次 方 程 , 用 判 别 式

法求 y 的范围(如例 6-7).
5 ° 型 如 y= ax+ b ± cx ? d , 可 利 用 换 元 法 或 配 方 法 将 原 函 数 化

为二次函数求值域.但要注意中间量 t 的范围(如例 6-8). 6°分离有界变量法:从已知函数式中把有界变量解出来.利用有界变量的范 围,求函数 y 的值域(如例 6-6). 7°图像法(如例 6-9): 由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻,它要根据 函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解.

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【 例 7 】 (1) 已 知 f(x + 1) = 2x - 4x , 求 f(1- 2 ) ?10 (2) 已 知 f(x) = ? ?10x (x < 0) (x ≥ 0) 求 f[f( - 7)] .

2

解 (1) 由 x + 1= 1- 2 得 x = - 2 , ∴ f(1- 2 ) = 2( - 2 ) - 4( - 2 ) = 4 + 4 2 .
2

解 (2)∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=100. 说明 本例较简单,但主要用意是深刻理解函数符号 f(x)的意义.求分段函数 值时,要注意在定义域内进行. 【例 8】根据已知条件,求函数表达式. (1)已知 f(x)=3x2-1,求①f(x-1),②f(x2). (2)已知 f(x)=3x2+1,g(x)=2x-1,求 f[g(x)].
(3) 已 知 f( x - 1) = x- 6 x - 7 .

求 f(x). (4)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x). (5)设周长为 a(a>0)的等腰三角形,其腰长为 x,底边长为 y,试将 y 表示为 x 的函数,并求它的定义域和值域. (1)分析:本题相当于 x=x-1 时的函数值,用代入法可求得函数表达式. 解 ∵f(x)=3x2-1 ∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2 f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1 (2)分析:函数 f[g(x)]表示将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替而得到的解析式,∴ 仍用代入法求解. 解 由已知得 f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4
(3) 分 析 : ∵ 已 知 f( x - 1) = x - 6 x - 7 , 可 将 右 端 化 为 关 于 的 表 达 式 , 然 后 用 x代 替 x-1

x - 1, 就 可 求 得 f(x) 表 达 式 . 这 种 方 法 叫 凑 配

法(或观察法).
解 法 (一 ) f( x - 1) = x - 6 x - 7 = ( x - 1) - 4( x - 1) - 12 ∴ f(x) = x - 4x - 12
解 法 (二 ) 令 t=
2 2

( x - 1≥ - 1)

(x ≥ - 1)

x - 1, 则 t ≥ - 1 ,

∴x=(t+1)2 代入原式有 f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7

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=t2-4t-12 (t≥-1) 即 f(x)=x2-4x-12 (x≥-1) 说明 解法二是用的换元法.注意两种方法都涉及到中间量的问题,必须要 确定中间量的范围,要熟练掌握换元法. (4)分析:本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由 f(0)=2,得 c=2.由 f(x+1)-f(x)=x-1,得恒等式 2ax+

(a + b) = x- 1, 比 较 等 式 两 边 x的 同 次 幂 的 系 数 得 a = 求 函 数 f(x) = 1 2 x -
2

1 2

, b= -

3 2

,故所

3 2

x+ 2

说明 待定系数是重要的数学方法,应熟练掌握. (5)解:∵2x+y=a,∴y=a-2x 为所求函数式. ∵三角形任意两边之和大于第三边, ∴得 2x+2x>a,又∵y>0,

? 4x> a ∴ a - 2x> 0 , 由 ? ? a - 2x > 0 得 函 数 的 定 义 域 为 x∈ (
a 4 a 2

? a 2

a 4

< x<

a 2

a 4



)
a 2



< x<

, 得 0 < a - 2x< a 2



即 得 函 数 的 值 域 为 y∈ (0 ,

).

说明 求实际问题函数表达式,重点是分析实际问题中数量关系并建立函数 解析式,其定义域与值域,要考虑实际问题的意义.

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