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2015秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元复习课件 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ)复习课

1、 n 次方根的定义:

n 次方根:如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, 且n ? N *
2、 n 次方根的性质
(1) 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数,记为: n

a ; (2)当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,记为 ? n a ; (3)负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0

3、

n

a

n

? ? a; n为奇数 ?? ? ? a ; n为偶数

4、 有理数指数幂的运算性质
an ? a ?? a? ?? ?a ? ? ?
n个a

(n ? N ? ) ; a0 ? 1? a ? 0? ;

a?n ?

1 ? a ? 0, n ? N . ? ? n a

(1) a ? a ? a
m n
n

m?n

? m, n ? Z ? ;

(2) a

? ?
n

m n

? a mn ? m, n ? Z ? ;

n n (3) ? ab ? ? a ? b ? n ? Z ?

m n m ?n m ?n 其中 a ? a ? a ? a ? a ,

n n a ?a? ?1 n ?n ? ? ? ?a ?b ? ? a ?b ? n . b ?b?

5、 对数: 如果 a x ? N (a ? 0且a ? 1) , 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x ? loga N 。 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

当 0 ? a ? 1 时, a x ? N ? x ? loga N (符号功能)——熟练转化
常用对数:以 10 为底 log10 N 写成 lg N ; 自然对数:以 e 为底 log e N 写成 ln N ( e ? 2.71828 ?)

6、对数的性质:

(1)在对数式中 N ? a x ? 0 (负数和零没有对数) ; (2) loga 1 ? 0,loga a ? 1; (1 的对数等于 0,底数的对数等于 1) ;
b (3)如果把 a ? N 中 b 的写成 log a N ,则有 a

log a N

? N (对数恒等式) 。

7、对数的运算性质:如果 0 ? a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么:
(1) loga MN ? loga M ? loga N ; (2) log a (3) loga M n ? n loga M ; (4) log a b ?

M ? log a M ? log a N ; N

log c b ; ,(a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) (换底公式) logc a 1 ; log b a
n log a b ; m

(5) log a b ?
n

(6) log a m b ?

8、指数函数的性质
函数名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

1

x 0
R
(0,+∞)

O

1

x 0

图象过定点(0,1) ,即当 x=0 时,y=1. 非奇非偶 在 R 上是增函数 y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0) 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在 R 上是减函数 y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x> 0) 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠 近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠 近 x 轴.

a 变化对
图象的影 响

9、对数函数的性质
函数名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
y
图象
O

0 ? a ?1
y ? log a x

x ? 1

y

x ?1

y ? log a x

(1, 0)

1 (1, 0) 0

x

O

1

0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低, 越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高, 越靠近 y 轴

a 变化对
图象的 影响

10、反函数
(1)反函数概念
函数 y=ax(x∈R)与对数函数 y=logax(x∈(0,+∞) )互为反函数.即同底的指数函数与对 数函数互为反函数。

(2)反函数的性质

互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。

11. 11、幂函数

(1)幂函数的定义
一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.
(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时, 图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限 (图 象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 ( 0 ?? 都有定义,并且图象都通过点 . (1, 1 ) , ) ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 , 则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q p

(其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇 数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数.
? ⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下
q p q p

方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上 方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.

(一)、指数、对数运算 熟练掌握指数幂的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则、公式是指、对函 数及其一切运算赖以施行的基础。
例 1、计算下列各式的值

?1? ? 7? (1) (0.027) ? ? ? ? ? 2 ? ? ?7? ? 9?
3 2

1 ? 3

?2

1 2

?

2 ?1 ;

?

0

1 (2) lg 5(lg 8 ? lg1000) ? (lg 2 ) ? lg ? lg 0.06 6
答案: (1)-45; (2)1.

1 2 例 2、设 4 ? 5 ? 100, 求2( ? ) 的值. a b
a b

答案:2.

4x , 且0 ? a ? 1, 例 3(选讲) 、已知 f ( x) ? x 4 ?2
1 2 3 1000 )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( )的值 . (1)求f (a) ? f (1 ? a)的值 ; (2)求f ( 1001 1001 1001 1001

答案: (1)1; (2)500.

ax 说明:如果函数 f ( x) ? x ,则函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 a ? a

(二) 、指数函数、对数函数、幂函数的图像 熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质是熟练求解幂指对问题的关键。
例 4. 已知 c<0,下列不等式中成立的一个是( )

A.c>2

c

1 c B.c>( ) 2

1 c C.2 <( ) 2
c

1 c D.2 >( ) 2
c

1 x [解析] 在同一坐标系中分别作出 y=x, y=( ) , y=2x 的图象(如下图), 显然 x<0 时, 2 1 1 x<2x<( )x,即 c<0 时,c<2c<( )c,故选 C. 2 2

例 5. 方程 2 - x =2x+1 的解的个数为______.

x

2

[解析] 原方程即 2 = x +2x+1,在同一坐标系中画出 y= 2 ,y= x +2x+1 的图象, 由图象可知有 3 个交点.

x

2

x

2

例 6.
2

0.32 ,log 0.3, 2 0.3 这三数之间的大小顺序是(
2

)

A. 0.3 < 2

0.3

< log2 0.3
2
0.3

B. 0.3 < log2 0.3 < 2 D. log2 0.3 < 2
x
0.3

2

0.3

C. log2 0.3 < 0.3 < 2

< 0.3

2

[分析] 可分别画出 y= 2 ,y= log2 x 与 y= x 的图象用图象来解决,也可以由幂、指、 对函数值的分布规律解决.

2

[解析] 如图,在同一坐标系中作出函数 y= 2 ,y= x 及 y= log2 x 的图象.观察图象知 当 x=0.3 时, log2 0.3 < 0.3 < 2
2
0.3

x

2

.选 C.

例 7. 方程 log3 x +x=3 的解所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2)

) C.(2,3) D.(3,+∞)

[解析] 直接解方程是无法实现的,而借助于数形结合思想作出图象,则问题易于解决. 设 y1 = log3 x , y2 =-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如下图)观察可排除 A,D. 其交点 P 的横坐标应在(1,3)内.又 x=2 时, y1 = log3 2 <1,而 y2 =-x+3=1,且知 y1 是 增函数, y2 是减函数,所以交点 P 的横坐标应在(2,3)内,∴选 C.

例 8.

函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的大致图象是(

)

[答案]

C

[解析] f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有 C 符合

(三) 、指数函数、对数函数的性质

例 9、比较下列每组中两个数的大小

(1)2.10.3 _____ 2.10.4 ;

1 1 (2)( )1.3 _____( )1.6 ; 5 5

1 (3)2.10.3 _____( ) ?1.3 5

(4)log5 1.9 _____ log5 2; (5)log0.7 0.2 _____ log0.5 2; (6)log4 2 _____ log3 4

答案: (1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.

例 10、求下列函数的定义域 (1) y ? 8
1 2 x ?1

; (2) y ? 1 ? ( ) ; (3) y ? log 1 (3x ? 2) ; (4) y ?
x
2

1 2

log 1 ( x ? 5)
2

答案: (1) ? ??, ? ? ?

? ?

1? ?1 ? ?2 ? (3) ? , ?? ? ; (4) ? 5, 6? 。 , ?? ? ;(2) ?0, ??? ; 2? ?2 ? ?3 ?

例 11、求下列函数的值域 (1) y ? 1 ? 2 , x ?[1, 4] ; (2) y ? 3 ? log2 x, x ?[1, ??) ;
x

答案: (1) ? ?15, ?1? ; (2) ?3, ?? ? 。

例 12、解下列不等式 (1)

1 ? 2 x ?1 ? 4 ; (2) log0.7 (2 x) ? log0.7 ( x ?1) 2

答案: (1) ? 0,3? ; (2) ?1, ?? ? 。

?2? x , ( x ? 0) 变式:设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 2 ,求 x0 的取值范围 ? x ? 1, ( x ? 0)
答案: ? ?1,1?

例 13、 函数f ( x) ? loga x, x ?[2, 4](0 ? a ? 1)的最大值比最小值大1 ,求实数a的值 答案:2 或

1 。 2

x 变式:函数 y ? a x在[0,1] 上的最大值与最小值的和为 3,求函数 y ? 3( ) 在[0,1] 上的最大

1 a

值。

答案:3.

(四) 、指数、对数型复合函数的单调性
指数、 对数函数的单调性应用十分广泛, 可以用来比较数或式的大小, 求函数的定义域、 值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。 对复合函数 y ? f [ g ( x)] ,若 u ? g ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数,其值域为 (c, d ) ,又 函数 y ? f (u ) 在 (c, d ) 上是增函数,那么复合函数在 ( a, b) 上为增函数。可推广为下表(简 记为同增异减) :

u ? g ( x)
y ? f (u )

增 增

增 减

减 增

减 减

y ? f [ g ( x)]
增 减 减 增

例 14、如果函数 f ( x) ? (a2 ?1) x 在R上是减函数,求实数a的取值范围

答案: ? 2, ?1 ? 1, 2 。
例 15、求下列函数的单调区间。

?

? ?

?

1 x2 ?6 x ?17 (1) f ( x) ? ( ) ; (2)求函数 y ? log5 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调区间 2
答案: (1) 增区间: 减区间: (2) 增区间: 减区间: ?3, ??? , ? ??,3? ; ?3, ??? , ? ??, ?1? 。
变式:求下列函数的单调区间 (1) y ? 5
x2 ? 2 x

; (2) y ? log0.1 (2 x2 ? 5x ? 3)

答案: (1) 增区间:?1, ?? ? , 减区间:? ??,1? ; (2) 增区间:?

? 1 5? ?5 ? 减区间:? ? , ? 。 ,3 ? , ? 2 4? ?4 ?

例 16、函数 y ? loga ( x ? 4)的单调增区间是(4, ??),求实数a的取值范围

答案: ?1, ?? ?

例 17(选讲) 、求函数 y ? 4x ? 2x?1 ? 3在区间 [0,1] 上的最大值与最小值。

答案: ?6,11? 。

1 例 18、 求函数 y ? 2log x ? log 1 x ? 1( ? x ? 4) 的值域. 4 2
2 1 2 2

1 [解析] 令 log 1 x =u,∵ ≤x≤4,∴-2≤u≤2, 4
2

1 2 1 2 函数变为 y=2u -2u+1=2(u- ) + (-2≤u≤2). 2 2 1 1 ∴当 u= 时, ymin = ;当 u=-2 时, ymax =13. 2 2 1 2 由 u= 得,x= ,由 u=-2 得,x=4. 2 2 2 1 1 ∴在 x= 时,函数取最小值 ,在 x=4 时,函数取最大值 13,值域为[ ,13]. 2 2 2

(五) 、探究问题
例 19、教材第 75 页习题 2.2 B 组第 5 题 (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ”的函数例 子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ”的函数例 子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

答案: (1) y ? log 2 x , y ? log0.3 x ; (2) y ? 3x , y ? 0.1x

课堂巩固:

6、函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 a ,求实数 a 的值 7、求下列函数的单调区间 (1) f ( x) ? 2? x
2

?2 x?8

; (2) f ( x) ? log4 (2 x ? 3 ? x 2 ) ; (3) f ( x) ? a x

2

?2 x?3

(0 ? a ? 1)

8、 (1) y ? log ( a2 ?1) x 是减函数,求实数 a 的取值范围; (2) 若函数 f ( x) ? log0.5 ( x2 ? ax ? 3a)在区间 求实数 a 的取值范围; [2, ??) 上是减函数, (3)已知函数f ( x) ? loga (2 ? ax)在区间 [0,1]上是减函数,求实数a的取值范围

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 (4) 已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数, 求实数 a 的取值范围; ? log a x, x ? 1
9、 求不等式 loga (2x ? 7) ? loga (4x ?1)(0 ? a, 且a ? 1)中x的取值范围 。

10、已知 f ( x6 ) ? log2 x, 求 f (8) 11、判断函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性 12、已知函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断函数 f ( x ) 的的奇偶性; (3)求是不等式 f ( x) ? 0 的 解集.

答案: 1.(1)2; (2)1; (3)0; 2.0.5; 3.(1)? ??,0? ; (2)? ,1? ; (3)?1,4? ? ? 4, ??? ; (4)? ??,1? ? ?1, ??? ; (5)? ?1, 2? 。

?3 ? ?4 ?

4.(1) ?

?19 ? (2)R。 ,5? ; ?9 ?
1 , ymax ? 2. ; 4

5. ymin ? ?

1 6. ; 2
7. 答案: (1) 减区间:?1, ?? ? , 增区间:? ??,1? ; (2) 增区间:? ?1,1? , 减区间:?1,3? ; (3)a>1 时,增区间: ? ?1, ?? ? ,减区间: ? ??, ?1? ;a<1 时,增区间: ? ??, ?1? ,减 区间: ? ?1, ?? ? ; 8.(1) ? 2, ?1 ? 1, 2 ; (2) ? ?4, 4? ; (3) ?1, 2 ? ; (4) ?

?

? ?

?

?1 1? , ?。 ? 7 3?

?1 ? 9.a>1 时,解为 ? , 4 ? ;1>a>0 时,解为 ? 4, ??? 。 ?4 ?
10.-1; 11.奇函数; 12.(1) ? ?1,1? ; (2)奇函数; (3)a>1 时, ? 0,1? ;0<a<1 时, ? ??,0? ? ?1, ?? ? 。


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