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排列与排列数公式


排列 与 排列数公式

问题1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达 航线,需要准备多少种不同的单程飞机票? 起点站 终点站 飞机票 上海 北京 上海 北京 北京 广州 广州 上海 北京 北京 上海 上海 广州 广州 广州 北京 北京 广州 上海 广州 上海 我们把上面问题中被取的对象叫做元素。 于是, 所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中 任取2个

,然后按一定的顺序排成一列, 求一共有多少种不同的排列方法。

问题2 由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 2 1 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 4 1 2 4 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 4 1 3 1 1 3 4 2 4 1 1 4 2 2 4 2 4 3 1 4 1 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 1 4 1 3 3 1 4 4 2 1 3 2 1 3 3 2 4 2 4 4 2 3 3 2 4 4 3 1 3 4 1 3 4 4 3 4 3 2 3 4 2

排列与排列数
一、排列 定义
从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列。

只有用相同的元素,又按相同的顺序组成的排列, 才叫做相同的排列。

例1 写出从 a , b , c , d 4 个元素中,任取3 个元素的不同排列。 解:abc , abd , acb , acd , adb , adc bac , bad , bca , bcd , bda , bdc cab , cad , cba , cbd , cda , cdb 共 24 个 dab , dac , dba , dbc , dca , dcb

二、排列数 定义 从 n 个不同元素中,任取 m (m ? n) 个元素的所有
不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
m 排列数。用符号 An 表示。

第 1位

第 2位

A
n n-1

2 n

? n ( n ? 1)

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ? (n ? m ? 1)

第 1位 第 2位 第 3位

第 m位

······
n n-1 n-2 n-m+1

三、排列数公式: Am ? n(n ?1)?(n ? m ? 1) n
公式特点:
(1)第一个因数是 n, 后面的每个因数都比前 面的因数小 1; (2)共有m个因数相乘,最后一个 因数是 n?m?1
n 特别地,当 m ? n 时,有公式 An ? n(n ?1)?3 ? 2 ?1,

这是从 n 个不同元素中,取出全部元素参加排列的排列数, 叫做 n 个不同元素的全排列数,记作 Pnn ? n !。
n! 这样,A ? 。注意,当 m ? n 时,分母就变成 0!, (n ? m)!
m n

为使公式仍然成立,特别规定 0! ? 1。

(n ? 1)! ( 2 ) 例:计算:( 1)A (n ? 3)! (k ? 1)! (k ? 1)! ( 1 ) 原 式? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) ?6 (k ? 1 ? k ? 4)! 5 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)! ( 2 ) 原 式? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 3)! 例:用排列数表示下列 各式:
k-4 k ?1

( 1 ) (m ? 2)(m ? 3) ?(m ? n ? 2)
( 2 )m(m2 ? 1)(m2 ? 4)(m2 ? 9)
n ?1 ( 1 )原式? (m ? 2)(m ? 3)?[m ? (n - 1) ? 1] ? Am ?2

( 2 )原式? m(m ? 1)(m- 1)(m? 2)(m? 2)(m ? 3)(m ? 3)

?A

7 m ?3

x x ?1 例:解方程: 3A8 ? 4A9

? x ? N* ? 由 题 意 得? :x ? 8 ? x ? 8 ?x ? 1 ? 9 ?
8! 9! 1 12 且3 ? ? 4? (8 ? x)! (10 ? x)! ? (8 ? x)! ? (10 ? x)! 1 12 ? ? (8 ? x)! (10 ? x)(9 ? x)(8 ? x)!
?x ? 6

例:求 0!?1!?2!? ? ? 100 !的个位数
0!? 1,1!? 1,2!? 2,3!? 6,4!? 24,5!? 120

?当n ? 5时,n!? [n(n ? 1)(n ? 2)?7 ? 6] ? 5!, ? 此时个位数是 0, ? 0!?1!?2!?3!?4!?5!的个位数是 4

? 原式的个位数也是 4

18. (1) 求证: (n ? 1)!? n ! ? n ? n !,并求 1?1!? 2 ? 2!? ? ? 10 ?10!。 例:
k ?1 (2) 求证:A k ? nA n n ?1 ( n ? 2) ?1 n 2 n ?1 (3) 求证:A n ? A ? n An ?1 (n ? 2) n ?1 n m ?1 m (4) 求证:A m ? mA ? A n n n ?1

证明: (1) (n ? 1)!? n! ? (n ? 1) ? n!? n! ? n ? n!
原式 ? (2!?1!) ? (3!? 2!) ? (4!? 3!) ? ? ? (11!? 10!)

? 11!? 1
k (2) An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? k ?1)

? n ? (n ? 1)(n ? 2)?[(n ? 1) ? (k ? 1) ? 1]
k ?1 ? nAn ?1

18. (1) 求证: (n ? 1)!? n ! ? n ? n !,并求 1?1!? 2 ? 2!? ? ? 10 ?10!。 例:
k ?1 (2) 求证:A k ? nA n n ?1 ( n ? 2) ?1 n 2 n ?1 (3) 求证:A n ? A ? n An ?1 (n ? 2) n ?1 n m ?1 m (4) 求证:A m ? mA ? A n n n ?1

n?1 n 2 2 n?1 (3) An ? A ? ( n ? 1)! ? n ! ? n ? n ! ? n ? ( n ? 1)! ? n An?1 ?1 n

(4) 左边 ? n(n ?1)?(n ? m ? 1) ? mn(n ?1)?(n ? m ? 2)

? (n ? m ? 1 ? m) ? n(n ? 1)?(n ? m ? 2)
? (n ? 1)n?[(n ? 1) ? m ? 1]
m ? An ?1 ? 右边

n 1 1 1 2 9 (5) 求证: ? ? ,并化简: ? ? ? ? 。 (n ? 1)! n ! (n ? 1)! 2! 3! 10! k ?2 1 1 (6) 求证: ? ? k !? (k ? 1)!? (k ? 2)! (k ? 1)! (k ? 2)!
n n ? 1 ?1 n ?1 1 1 1 证明: (5) ? ? ? ? ? (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! n! (n ? 1)!
1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 1! 2! 2! 3! 3! 4! 9! 10! 10!

k ?2 k ?2 (6) 左边 ? ? k !? [1 ? (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2)] k !? (k 2 ? 4k ? 4)

1 k ?1 k ? 2 ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? 右边 k !(k ? 2) (k ? 2)! (k ? 2)! (k ? 1)! (k ? 2)!

3 4 n?2 (7) 求和: ? ?? ? 1!? 2!? 3! 2!? 3!? 4! n!? ( n ? 1)!? ( n ? 2)!

1 1 1 1 1 1 解:原式 ? ? ? ? ? ? ? ? 2! 3! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 2)!

1 1 ? ? 2 (n ? 2)!

例 2 用1, 2, ?, 9 中任意 3 个不同数字构成三位数,共有几个 不同三位数?

解:A3 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 504

例3 从 6 个同学中,选 3 人任组长、副组长和干事,共有几种?

解:A ? 6 ? 5 ? 4 ? 120
3 6

例 4 安排 5 人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工, 已知甲不能当钳工、油漆工,问有几种方法?

解法一: 先考虑甲,A1 A4 ? 3? 4! ? 72 3 4 解法二: 3 先考虑谁当钳工、油漆工,A2 A 4 3 ? 4 ? 3 ? 3! ? 72

四、几种特殊的排列 1.优先排列
例5 6人排一排,甲不在头,也不在尾,有几种排法?
2 4 A5 A4 ? 480

解法一: 特殊位置 (头和尾) 解法二: 特殊元素 (甲) 解法三: 间接法

1 5 A4 A5 ? 480

6 5 A6 ? 2 A5 ? 480

2.集团排列(捆绑法)
例 6 已知 4 男3女排成一排,①男一起;②女一起; ③男一起,女一起,分别有几种排法?
(1)第一步:排男生有A4 4
第二步:把男生捆绑在一起后看作一个整体,有A4 4
? 共有P44 ? P44 ? 576
3 5 ② A3 A5 ? 720

4 3 2 ③ A4 A3 A2 ? 288

3.间隔排列 例7 已知 4 男3女排成一排,①男不一起;②女不一起;
③男不一起,女不一起,分别有几种排法? (1)第一步:排女生有A3 3
第二步:女生之间加上两端共有4个空位排男生,即A4 4
4 ?共有A3 ? A 3 4 ? 144

4 3 3 4 ② A4 A5 ? 1440 ③ A3 A4 ? 144

例8 已知 4 男4 女排成一排,男不一起且女不一起, 有几种排法?

解: ?? ?? ?? ?? 或 ? ?? ?? ?? ?

A A A ? 1152
4 4 3 4 1 2

4.有序排列
例9 已知5 人比赛跑步,甲比乙快,有几种情形?
5 A 解:甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多, 5 / 2 ? 60

例10 a , b , c , d , e , f ,按 a , b , c 顺序的排列有几种?

A 解: ? 120 A
例11 书架上有 6 本书,插入 3 本,要求不改变原顺序, 有几种插法?

6 6 3 3

A 解: ? 9 ? 8 ? 7 ? 504 A

9 9 6 6

综合练习 2. 七人站成一排照相
(1) 有几种站法? (2) 若甲必须站在中间,有几种站法? (3) 若甲不能站两端,有几种站法? (4) 若甲、乙必须相邻,有几种站法?
7 解: (1) A7 ? 5040

(2) 先将其余6人排好,再将甲插在中间即可。A6 6 ? 720
1 6 (3) A5 A6 ? 3600 2 (4) 先合后分。A6 A 6 2 ? 1440

5. 从 1, 2,?,9 中取出5 个,组成无重复数字的五位数。规定 奇数数字必须排在奇数位号,求这样的五位数的个数。

解:偶数位上只能放偶数,而奇数位上皆可。
2 3 ?共有 A4 A7 ? 2520 个

9. 穿有 1 ~ 8 号运动衣的 8 位运动员排成一排,其中 4 号运动员 必须排在号码比他大的运动员左边,共有几种排法?

解:设有 x 种排法,
把 4 号分别与 5, 6, 7, 8 号运动员互换位置,仍然分别得到 x 种排法。
8 ?5x ? A8 ? 8! ? x ? 8064

10. 2 名教师, 5 名学生排二排照相,前排 3 人,后排 4 人。 (1) 共有几种排法? (2) 两教师在前排? (3) 两教师相邻且在前排? (4) 教师甲在前排,乙在后排?

解:本题关键在于将两排对应到一排。

(1) A ? 5040
7 7

(2) A A ? 720
2 3 5 5
1 2 2 2 5 5

(3) 将 2 教师作为一个整体,先合后分,A A A ? 480

(4) A A A ? 1440
1 1 3 4 5 5

12. 10 个同学排一队行走,要求 4 女相邻,且既不走前面, 又不走后面,问有几种排法?

解:A A A ? 86400
1 5 6 6 4 4

13. 用1, 2,? , 7 排成无重复数字的七位数。 (1) 偶数不相邻,有几种排法? (2) 偶数一定在奇数位上? (3) 奇数位上一定是奇数,偶数位上一定是偶数?

解: (1) 间隔排列。A A

4 4

3 5

4 (2) 先在 4 个奇数位上排偶数。A3 A 4 4

(3) A A

4 4

3 3

14. 3 人坐8 个位置,要求每人两旁都为空位,有几种?
解:由题意,有 5 个空位。

只要在 5 个空位之间的 4 个间隔插入 3 人即可。
3 ?有 A4 ? 24 种。

15. 9 个座位坐6 人,要求3 个空位各不相邻,有几种?

解:先将6 人排好,再将3个空位插入 7 个间隔中即可。
6 3 A7 / 3! ? 25200 个。 ?3个空位是相同的,?共有 A6

16. 有8 名划船手共划一条船参加比赛,其中2 人只能左, 3人 只能右。现要使两边各有 4 人,分别负责不同岗位,问: 有多少种安排方式?

解:有3 人能左能右,在其中选一人到右边。

A A A ? 1728
1 3 4 4 4 4


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