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【高考领航】2015北师大数学(理)总复习 第5章-第5课时 数列的综合应用Word版含解析]


【A 级】

基础训练

1.(2014· 孝感模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,过点 P(n,Sn)和 Q(n+1,Sn
+1

)(n∈N+)的直线的斜率为 3n-2,则 a2+a4+a5+a9 的值等于( B.40 D.20 Sn+1-Sn =3n-2, ?n+1?-n

)

A.52 C.26 解析:由题意,知

∴Sn+1-Sn=3n-2,即 an+1=3n-2.∴an=3n-5. 因此数列{an}是等差数列,a5=10. ∴a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40. 答案:B n 2.(2014· 重庆模拟)数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n-1an=2,则 an=( 1 A. n-1 3· 2 1 C.2n B. 1 - 2· 3n 1 )

n D.3n

1 1 解析:令 n=1,得 a1=2,排除 A、D;再令 n=2,得 a2=6,排除 C,故选 B. 答案:B 1? ? 3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+n?,则 an=( ? ? A.2+ln n C.2+n ln n 1? ? 解析:a2=a1+ln?1+1?, ? ? 1? ? a3=a2+ln?1+2?,?, ? ? 1 ? ? an=an-1+ln?1+n-1? ? ? B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n )

??2??3??4? ? n ?? ?an=a1+ln??1??2??3???n-1??=2+ln n. ?? ?? ?? ? ? ?? 答案:A 4.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1 且 n∈N+)满足 y=2x-1,则 a1+ a2+?+a10=________. 解析:an=2an-1-1?an-1=2(an-1-1), ∴{an-1}是等比数列,则 an=2n-1+1. ∴a1+a2+?+a10=10+(20+21+22+?+29) =10+ 1-210 =1 033. 1-2

答案:1 033 5.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N+)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的 前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 解析:由 x2-x<2nx(n∈N+),得 0<x<2n+1,因此 an=2n,所以数列{an}是一个 100×?2+200? 等差数列,所以 S100= =10 100. 2 答案:10 100 6.(2014· 南宁模拟)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部 资金的一半多一万元, 第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的 一半多一万元, 到第十名恰好分完, 则此单位共拿出________万元资金进行奖励. 1 解析:设第十名到第一名得到的资金分别是 a1,a2,?,a10,则 an=2Sn+1, 1 ∴a1=2,又 an-1=2Sn-1+1(n≥2), 1 故 an-an-1=2an. ∴an=2an-1 则每人所得资金数组成一个以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,所 2?1-210? 以 S10= =2 046. 1-2 答案: 2 046 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,数列{bn}是各项为正的等比数列,满 足 a1=-b1,b3(a2-a1)=b1.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn=an· bn,求 cn 的最大值. ?S1, 解:(1)∵an=? ?Sn-Sn-1, ?-1, ∴an=? ?4n-5, n=1, n≥2, n=1, n≥2,

即 an=4n-5(n∈N+). 故 b1=1,b1q2(a2-a1)=b1, 1 1 ∴q2=4,∵bn>0,∴q=2, ?1? ∴bn=?2?n-1(n∈N+). ? ? ?1? (2)由(1)可知,cn=(4n-5)?2?n-1, ? ? ?cn≥cn-1 9 13 则由? 可得4≤n≤ 4 , ?cn≥cn+1 7 又 n∈N+,故 n=3.即 c3 最大,故 cn 的最大值为4. 1 ? ? an+n?n为奇数,n∈N+? 8.(2014· 武汉模拟)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=?2 . ? ?an-2n?n为偶数,n∈N+? (1)求 a2,a3; (2)设 bn=a2n-2,n∈N+,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; 1 1 1 (3)已知 cn=log1|bn|,求证:c c +c c +?+ <1. cn-1cn 2 1 2 2 3 解:(1)由数列{an}的递推关系易知: 3 5 a2=2,a3=-2. 1 (2)证明:bn+1=a2n+2-2=2a2n+1+(2n+1)-2 1 1 =2a2n+1+(2n-1)=2(a2n-4n)+(2n-1) 1 1 1 =2a2n-1=2(a2n-2)=2bn.

bn+1 1 1 又 b1=a2-2=-2,∴bn≠0,∴ b =2, n 1 1 即数列{bn}是公比为2,首项为-2的等比数列, 1?1? ?1? bn=-2?2?n-1=-?2?n. ? ? ? ? ?1? (3)证明:由(2)有 cn=log1|bn|=log1?2?n=n. 2 2? ? 1 1 1 ∵ = -n(n≥2). ?n-1?n n-1 1 1 1 ∴c c +c c +?+ c 1 2 2 3 n-1cn 1 1 1 = + +?+ 1×2 2×3 ?n-1?n 1 1 1 1 1 1 =1-2+2-3+?+ -n=1-n<1. n-1 【B 级】 nπ 1.(2014· 淮安模拟 )已知 an =sin 6 + ( A.6 C.8 ) B.7 19 D. 3 能力提升 16

nπ(n ∈N+ ),则数列 {an}的最小值为 2+sin 6

nπ 16 16 解析:令 t=2+sin 6 (1≤t≤3),则 an=f(t)=t+ t -2,f′(t)=1- t2 <0,∴f(t) nπ 19 在其定义域上单调递减,∴当 t=3,即 sin 6 =1 时,an 取得最小值 3 ,故选 D. 答案:D
2 当n为奇数时 ?n 2.(2014· 赣州模拟)已知函数 f(n)=? ,且 an=f(n)+f(n+1), 2 ?-n 当n为偶数时

则 a1+a2+a3+?+a100 等于( A.0 C.-100 解析:∵an=f(n)+f(n+1),

) B.100 D.10 200

∴ a1 + a2 + a3 + ? + a100 = [f(1) + f(2)] + [f(2) + f(3)] + [f(3) + f(4)] + ? + [f(100) + f(101)] =[(32-22)+(52-42)+(72-62)+?+(1012-1002)]+[(12-22)+(32-42)+(52- 62)+?+(992-1002)] =(5+9+13+?+201)-(3+7+11+?+199)=100. 答案:B 3.据科学计算,运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过 的路程为 2 km, 以后每秒钟通过的路程增加 2 km, 在到达离地面 240 km 的高度 时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间为( A.10 秒钟 C.15 秒钟 B.13 秒钟 D.20 秒钟 )

解析:设每一秒钟通过的路程依次为 a1,a2,a3,?,an,则数列{an}是首项 a1 n?n-1?d =2,公差 d=2 的等差数列,由求和公式有 na1+ =240,即 2n+n(n- 2 1)=240,解得 n=15. 答案:C 4.(2013· 高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 n?n+1? 1 2 1 2 =2n +2n.记第 n 个 k 边形数

为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)=2n2+2n, 正方形数 N(n,4)=n2, 3 1 五边形数 N(n,5)=2n2-2n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, ?? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________. 解析:由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,?,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k) ?k ? ?k ? =?2-1?n2-?2-2?n, 于是 N(n, 24)=11n2-10n, 故 N(10,24)=11×102-10×10 ? ? ? ? =1 000.

答案:1 000 5.(2014· 泉州模拟)设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项和.记 17Sn-S2n Tn= ,n∈N+.设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=________. an+1 a1?1-qn? 解析:根据等比数列的前 n 项和公式 Sn= , 1-q a1?1-qn? a1?1-q2n? 17× - 1-q 1-q q2n-17qn+16 1 ? n 16 ? ?q + qn -17? ,令 qn= 则 Tn = = = n a1qn ? ? ?1-q?q 1-q 16 1 ( 2)n=t, 则函数 g(t)=t+ t , 当 t=4 时函数 g(t)取得最小值, 此时 n=4, 而 1-q 1 = <0,故此时 Tn 最大,所以 n0=4. 1- 2 答案:4 33 6.两个相距 23464厘米的物体相向运动,甲第一秒经过 3 厘米,以后每秒比前 3 一秒多行 4 厘米.乙第一秒经过 2 厘米,以后每秒行的路程是前一秒的2倍,则 经过________秒两物体相遇. 解析:第 n 秒甲、乙两物体各行 an,bn 厘米, ?3?n-1 ?2? (n∈N+). an=4n-1,bn=2· ? ? {an}的前 n 项和 Sn=2n2+n, ?3?n ?2? -4. {bn}的前 n 项和为 Tn=4· ? ? 33 由题意知:23464=Sn+Tn?n=8. 答案:8 7.(创新题)某商店投入 38 万元经销某种纪念品,经销时间共 60 天,为了获得 更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,市场调研表明,该商 1, ? ? 店在经销这一产品期间第 n 天的利润 an=? 1 n, ? ?25 1≤n≤25 26≤n≤60 (单位:万元,n

第n天的利润 a3 ∈N+),记第 n 天的利润率 bn= ,例如 b3= . 前n天投入的资金总和 38+a1+a2 (1)求 b1,b2 的值; (2)求第 n 天的利润率 bn; (3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率. 1 1 解:(1)当 n=1 时,b1=38;当 n=2 时,b2=39. (2)当 1≤n≤25 时,a1=a2=?=an-1=an=1. an 1 1 ∴bn= = = . 38+a1+a2+?+an-1 38+n-1 37+n 当 26≤n≤60 时, an bn= 38+a1+?+a25+a26+?+an-1 n 25 2n = = 2 , ?n-26??n+25? n -n+2 500 63+ 50 1 ? ?37+n, ∴第 n 天的利润率 bn=? 2n 2 ? ?n -n+2 500, (3)当 1≤n≤25 时, 1 1 bn= 是递减数列,此时 bn 的最大值为 b1=38; 37+n 当 26≤n≤60 时, 2n bn= 2 = n -n+2 500 2 2 2 ≤ = 2 500 2 2 500-1 99 n+ n -1 1≤n≤25 (n∈N+). 26≤n≤60

2 500 ? ? ?当且仅当n= n ,即n=50时,“=”成立?. ? ? 1 2 1 又∵38>99,∴n=1 时,(bn)max=38. 1 ∴该商店经销此纪念品期间,第 1 天的利润率最大,且该天的利润率为38.


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